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1、逻辑代数基础用第1页，此课件共37页哦3.1 概概 述述数字电路数字电路要研究的是电路的输入输出之间的要研究的是电路的输入输出之间的因果关系因果关系,也就是逻辑关系，所以数字电路又称也就是逻辑关系，所以数字电路又称逻辑逻辑电路电路，相应的研究工具是，相应的研究工具是逻辑代数逻辑代数（逻辑代数是（逻辑代数是19世纪中叶英国数学家布尔首先提出的，所以又叫世纪中叶英国数学家布尔首先提出的，所以又叫布布尔代数尔代数）。）。逻辑关系是如何来表述的呢？逻辑关系是如何来表述的呢？第2页，此课件共37页哦3.2 逻辑函数逻辑函数3.2.1 基本逻辑关系与逻辑代数基本逻辑关系与逻辑代数如果决定某一件事如果决定某
2、一件事F F发生或成立与否的条发生或成立与否的条件有多个件有多个,分别用分别用A A、B B、C C表示，并规定：表示，并规定：F F“1”1”代表事件发生（或成立代表事件发生（或成立)，F F“0”0”代表事件不发生（或不成立代表事件不发生（或不成立)；第3页，此课件共37页哦ABC“1”代表条件具备，代表条件具备，ABC“0”代表条件不具备；代表条件不具备；那麽那麽F与与ABC之间就有以下三种基本的逻辑之间就有以下三种基本的逻辑关：关：第4页，此课件共37页哦1.“与与”逻辑逻辑A、B、C都具备时，事件都具备时，事件F才发生。才发生。EFABC&ABCF逻辑符号逻辑符号AFBC000010
3、00010011000010101001101111逻辑式：逻辑式：F=ABC逻辑乘法逻辑乘法逻辑与逻辑与真值表真值表逻辑函数逻辑函数逻辑变量逻辑变量第5页，此课件共37页哦2.“或或”逻辑逻辑A、B、C只有一个具备时，事件只有一个具备时，事件F就发生。就发生。1ABCF逻辑符号逻辑符号AEFBCAFBC00001001010111010011101101111111逻辑式：逻辑式：F=A+B+C逻辑加法逻辑加法逻辑或逻辑或真值表真值表第6页，此课件共37页哦3.“非非”逻辑逻辑A具备时具备时，事件，事件F不发生；不发生；A不具备时，事件不具备时，事件F发生。发生。逻辑符号逻辑符号AEFRAF
4、逻辑非逻辑非逻辑反逻辑反真值表真值表AF0110第7页，此课件共37页哦4.几种常用的逻辑关系逻辑几种常用的逻辑关系逻辑“与与”、“或或”、“非非”是三种基本的逻辑关系，是三种基本的逻辑关系，任何其它的逻辑关系都是在此基础上发展的。任何其它的逻辑关系都是在此基础上发展的。与非：与非：全全1则则0，任，任0则则1。&ABCF第8页，此课件共37页哦或非：或非：任任1则则0，全，全0则则1。1ABCF异或：异或：条件条件A、B有一个具备，有一个具备，另一个不具备则另一个不具备则F 发生。发生。=1ABCF第9页，此课件共37页哦标准符号惯用符号国外符号&ABCFABCFABCF1ABCF+ABCF
5、ABCF1AFAFAF1ABFABFABF第10页，此课件共37页哦5.几种基本的逻辑运算几种基本的逻辑运算从三种基本的逻辑关系，我们可以得到以下逻辑从三种基本的逻辑关系，我们可以得到以下逻辑运算：运算：0 0=0 1=1 0=01 1=10+0=00+1=1+0=1+1=1第11页，此课件共37页哦3.3 逻辑代数的基本定律和规则逻辑代数的基本定律和规则一、基本运算规则一、基本运算规则A+0=A A+1=1 A 0=0 A=0 A 1=A第12页，此课件共37页哦二、基本代数规律二、基本代数规律交换律交换律结合律结合律分配律分配律A+B=B+AA B=B AA+(B+C)=(A+B)+C=(
6、A+C)+BA(B C)=(A B)CA(B+C)=A B+A CA+B C=(A+B)(A+C)普通代普通代数不适数不适用用!第13页，此课件共37页哦三、吸收规则三、吸收规则1.原变量的吸收：原变量的吸收：A+AB=A证明：证明：A+AB=A(1+B)=A1=A利用运算规则可以对逻辑式进行化简。利用运算规则可以对逻辑式进行化简。例如：例如：被吸收被吸收第14页，此课件共37页哦2.反变量的吸收：反变量的吸收：证明：证明：例如：例如：被吸收被吸收第15页，此课件共37页哦3.混合变量的吸收：混合变量的吸收：证明：证明：例如：例如：1吸收吸收第16页，此课件共37页哦3.反演定理：反演定理：可
7、以用列真值表的方法证明：可以用列真值表的方法证明：提供了一个求反函数的途径所以是一条重要的定律异或求反第17页，此课件共37页哦注意：注意：ABACAB=AC未必有未必有BC未必有BC逻辑代数中没有减法与除法。逻辑代数中没有减法与除法。第18页，此课件共37页哦3.4 逻辑函数的表示法逻辑函数的表示法将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。3.3.1 真值表真值表注意：注意：n个变量可以有个变量可以有2n个个组合，一般按二进制的顺组合，一般按二进制的顺序，输出与输入状态一一序，输出与输入状态一一对应，列出所有可能的状对应，列出所有可能的状态。态。第1
8、9页，此课件共37页哦3.3.2 逻辑函数式逻辑函数式逻辑代数式：逻辑代数式：把逻辑函数的输入、输出关系写成与、把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式。也称为逻辑函数或、非等逻辑运算的组合式。也称为逻辑函数式，式，通常采用通常采用“与或与或”的形式。的形式。例：例：最小项：最小项：若表达式中的乘积包含了所有变量的原变若表达式中的乘积包含了所有变量的原变量或反变量，则这一项称为最小项。量或反变量，则这一项称为最小项。逻辑相邻：逻辑相邻：若两个最小项只有一个变量以原、反区别，若两个最小项只有一个变量以原、反区别，则称它们逻辑相邻。则称它们逻辑相邻。上例中每一项都是最小项。上例中
9、每一项都是最小项。第20页，此课件共37页哦逻辑相邻逻辑相邻逻辑相邻的项可以逻辑相邻的项可以合并，消去一个因子合并，消去一个因子第21页，此课件共37页哦3.3.3 卡诺图卡诺图卡诺图是逻辑函数最小项的图形表示。卡诺图是逻辑函数最小项的图形表示。1最小项的定义最小项的定义：对于：对于n个变量的逻辑函数，若某一与项个变量的逻辑函数，若某一与项中，包含了全部的中，包含了全部的n个变量，且每个变量都是以原变量或反变个变量，且每个变量都是以原变量或反变量的形式仅出现一次，则称这个与项为该逻辑函数的最小项。量的形式仅出现一次，则称这个与项为该逻辑函数的最小项。2最小项的数目最小项的数目：n个变量共有个变
10、量共有2n个最小项，即个最小项，即n个变量的每个变量的每一种取值组合都是一个最小项。如一种取值组合都是一个最小项。如3个变量有个变量有8个最小项，分个最小项，分别是别是 3最小项的表示最小项的表示：最小项常用：最小项常用mi表示，其中表示，其中i为最小项取值为最小项取值所对应的十进制数。如所对应的十进制数。如3个变量的最小项还可表示成：个变量的最小项还可表示成：m0，m1，m2，m3，m4，m5，m6，m7。第22页，此课件共37页哦 卡诺图的构成：卡诺图的构成：将将n个输入变量的全部最小个输入变量的全部最小项用小方块阵列图表示，并且将逻辑相临项用小方块阵列图表示，并且将逻辑相临的最小项放在相
11、临的几何位置上，所得到的最小项放在相临的几何位置上，所得到的阵列图就是的阵列图就是n变量的卡诺图。变量的卡诺图。卡诺图的每一个方块（最小项）代表一种输入卡诺图的每一个方块（最小项）代表一种输入组合，并且把对应的输入组合注明在阵列图的上方组合，并且把对应的输入组合注明在阵列图的上方和左方。和左方。第23页，此课件共37页哦ABCD0001111000011110四变量卡诺图四变量卡诺图编号为编号为0010的的单元对应于最单元对应于最小项：小项：ABCD=0100时函时函数取值数取值函数取函数取0、1均可，称为均可，称为无所谓状态无所谓状态。只有一只有一项不同项不同AB0101两变量卡诺图两变量卡
12、诺图ABC0001111001三变量卡诺图三变量卡诺图第24页，此课件共37页哦有时为了方便，用二进制对应的十进制表示单元有时为了方便，用二进制对应的十进制表示单元格的编号。单元格的值用函数式表示。格的编号。单元格的值用函数式表示。ABC0001111001F(A,B,C)=(1,2,4,7)1,2,4,7单元取单元取1，其它取，其它取0ABCD0001111000011110四变量卡诺图单四变量卡诺图单元格的编号元格的编号第25页，此课件共37页哦3.3.4 逻辑图逻辑图把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来，就构成了逻辑图。来，就构成了逻辑图。&AB
13、&CD 1FF=AB+CD第26页，此课件共37页哦3.5 逻辑函数的两种化简法逻辑函数的两种化简法3.5.1 利用逻辑代数的基本公式利用逻辑代数的基本公式例例1：反变量吸收反变量吸收提出提出AB=1提出提出A第27页，此课件共37页哦例例2：反演反演配项配项被吸收被吸收被吸收被吸收第28页，此课件共37页哦AB=ACB=C?A+B=A+CB=C?请注意与普通代数的区别！请注意与普通代数的区别！第29页，此课件共37页哦3.5.2 利用卡诺图化简利用卡诺图化简ABC0001111001第30页，此课件共37页哦ABC0001111001ABBCF=AB+BC化简过程：化简过程：第31页，此课件
14、共37页哦利用卡诺图化简的规则利用卡诺图化简的规则1.相邻单元的个数是相邻单元的个数是2N个，并组成矩形时，可以合并。个，并组成矩形时，可以合并。ABCD0001 111000011110ADABCD0001111000011110第32页，此课件共37页哦2.先找面积尽量大的组合进行化简，可以减少每项的先找面积尽量大的组合进行化简，可以减少每项的因子数。因子数。3.各最小项可以重复使用。各最小项可以重复使用。3.注意利用无所谓状态，可以使结果大大简化。注意利用无所谓状态，可以使结果大大简化。5.所有的所有的1都被圈过后，化简结束。都被圈过后，化简结束。6.化简后的逻辑式是各化简项的逻辑和。化
15、简后的逻辑式是各化简项的逻辑和。第33页，此课件共37页哦例例1：化简化简F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)ABCD0001 11 1000011110A第34页，此课件共37页哦例例2：化简化简ABCD0001111000011110ABD第35页，此课件共37页哦例例3：已知真值表如图，用卡诺图化简。已知真值表如图，用卡诺图化简。101状态未给出，即是无所谓状态。状态未给出，即是无所谓状态。第36页，此课件共37页哦ABC0001111001化简时可以将无所谓状态当作化简时可以将无所谓状态当作1或或 0，目的是得，目的是得到最简结果。到最简结果。认为是认为是1AF=A第37页，此课件共37页哦