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1、第第6章章 无限脉冲响无限脉冲响应数字滤波器的设应数字滤波器的设计计-第1页，共138页，编辑于2022年，星期一6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 1.数字滤波器的分类数字滤波器的分类 数数字字滤滤波波器器从从实实现现的的网网络络结结构构或或者者从从单单位位脉脉冲冲响响应应分分类类，可可以以分分成成无无限限脉脉冲冲响响应应(IIR)滤滤波波器器和和有有限限脉脉冲响应冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为：滤波器。它们的系统函数分别为：(6.1.1)(6.1.2)第2页，共138页，编辑于2022年，星期一图图6.1.1 6.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性
2、理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性 功能分类功能分类)(ejw wH)(ejw wH)(ejw wH)(ejw wH0低通低通0高通高通0带通带通0带阻带阻w ww ww ww w2-2-2-2-2222LowpassHighpassBandpassBandstop第3页，共138页，编辑于2022年，星期一 2数字滤波器的技术要求数字滤波器的技术要求 我我们们通通常常用用的的数数字字滤滤波波器器一一般般属属于于选选频频滤滤波波器器。假设数字滤波器的传输函数假设数字滤波器的传输函数H(e j)用下式表示：用下式表示：图图6.1.2 低通滤波器的技术要求低通滤波器的技术要求第4页，共138
3、页，编辑于2022年，星期一BASIC SPECIFICATIONS FOR DIGITAL FILTERBASIC SPECIFICATIONS FOR DIGITAL FILTERphase-frequencyAmplitude-frequency输入信号各频率成分的衰减输入信号各频率成分的衰减输入信号各频率成分在时间上的延时输入信号各频率成分在时间上的延时 Transition 3dB通带截止频率通带截止频率Pass bandStop band第5页，共138页，编辑于2022年，星期一 通通带带内内和和阻阻带带内内允允许许的的衰衰减减一一般般用用dB数数表表示示，通通带带内内允允许许的
4、的最最大大衰衰减减用用p表表示示，阻阻带带内内允允许许的的最最小小衰衰减用减用s表示，表示，p和和s分别定义为：分别定义为：(6.1.3)(6.1.4)如将如将|H(ej0)|归一化为归一化为1，(6.1.3)和和(6.1.4)式则表示成：式则表示成：(6.1.5)(6.1.6)第6页，共138页，编辑于2022年，星期一3.3.数字滤波器的设计过程数字滤波器的设计过程数字滤波器的设计过程数字滤波器的设计过程滤波器设计的三个步骤滤波器设计的三个步骤滤波器设计的三个步骤滤波器设计的三个步骤(basic stepsbasic steps)：分析设计需求：分析设计需求：分析设计需求：分析设计需求：滤
5、波器类型滤波器类型滤波器类型滤波器类型/基本参数基本参数基本参数基本参数(specificationspecification)（1 1）低通）低通）低通）低通/高通高通高通高通/带通带通带通带通/带阻带阻带阻带阻 （2 2）边界频率）边界频率）边界频率）边界频率/通带和阻带衰减通带和阻带衰减通带和阻带衰减通带和阻带衰减 （3 3）通带纹波特性）通带纹波特性）通带纹波特性）通带纹波特性 利用因果稳定系统函数逼近设计需求，这利用因果稳定系统函数逼近设计需求，这利用因果稳定系统函数逼近设计需求，这利用因果稳定系统函数逼近设计需求，这 种传递函数分为种传递函数分为种传递函数分为种传递函数分为IIRI
6、IR和和和和FIRFIR传递函数传递函数传递函数传递函数 通过有限精度的运算实现该系统函数通过有限精度的运算实现该系统函数通过有限精度的运算实现该系统函数通过有限精度的运算实现该系统函数第7页，共138页，编辑于2022年，星期一4.IIR4.IIR数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法一个一个一个一个N N阶阶阶阶IIRIIR数字滤波器的系统函数：数字滤波器的系统函数：数字滤波器的系统函数：数字滤波器的系统函数：H(z)H(z)的设计目的的设计目的的设计目的的设计目的：确定系数：确定系数：确定系数：确定系数a ai i和和和和b bi i或零极点或零
7、极点或零极点或零极点c ci i和和和和d di i，从而，从而，从而，从而保证滤波器满足设计需求。保证滤波器满足设计需求。保证滤波器满足设计需求。保证滤波器满足设计需求。IIRIIR数字滤波器系统函数的数字滤波器系统函数的数字滤波器系统函数的数字滤波器系统函数的三种设计方法三种设计方法三种设计方法三种设计方法：零极点位置累试法零极点位置累试法零极点位置累试法零极点位置累试法 利用模拟滤波器的理论利用模拟滤波器的理论利用模拟滤波器的理论利用模拟滤波器的理论 利用优化技术设计利用优化技术设计利用优化技术设计利用优化技术设计第8页，共138页，编辑于2022年，星期一单位圆内的极点单位圆内的极点单
8、位圆内的极点单位圆内的极点 频谱中的峰值频谱中的峰值频谱中的峰值频谱中的峰值单位圆内的零点单位圆内的零点单位圆内的零点单位圆内的零点 频谱中的谷值频谱中的谷值频谱中的谷值频谱中的谷值 滤波器设计方法滤波器设计方法滤波器设计方法滤波器设计方法（1 1 1 1）简单滤波器零极点位置累试法）简单滤波器零极点位置累试法）简单滤波器零极点位置累试法）简单滤波器零极点位置累试法频响的几何表示法频响的几何表示法频响的几何表示法频响的几何表示法Geometric evaluationGeometric evaluationPole-zero diagramPole-zero diagram 第9页，共138页
9、，编辑于2022年，星期一模拟滤波器的设计方法：模拟滤波器的设计方法：简单严格的设计公式简单严格的设计公式 设计参数已表格化设计参数已表格化（2 2 2 2）利用模拟滤波器的理论）利用模拟滤波器的理论）利用模拟滤波器的理论）利用模拟滤波器的理论设计原理：设计原理：设计需求设计需求 AF AF的的H Ha a(s)(s)DF DF的的H H (z)(z)常用方法：常用方法：脉冲响应不变法脉冲响应不变法 双线性变换法双线性变换法第10页，共138页，编辑于2022年，星期一（3 3 3 3）利用优化技术设计）利用优化技术设计）利用优化技术设计）利用优化技术设计 OptimizationOptimi
10、zation 循环尝试的方法进行参数设置循环尝试的方法进行参数设置 最优化准则最优化准则运算量大运算量大运算量大运算量大第11页，共138页，编辑于2022年，星期一 用模拟滤波器设计数字滤波器遵循的两个原则用模拟滤波器设计数字滤波器遵循的两个原则用模拟滤波器设计数字滤波器遵循的两个原则用模拟滤波器设计数字滤波器遵循的两个原则 （1 1）S S平面的虚轴平面的虚轴平面的虚轴平面的虚轴 j j 映射到映射到映射到映射到z z平面的单位圆上平面的单位圆上平面的单位圆上平面的单位圆上e ejw jw 上（频响模拟：上（频响模拟：上（频响模拟：上（频响模拟：HHa a(s)(s)H(z)H(z)）（2
11、 2）HHa a(s)(s)的因果稳定性经映射后的因果稳定性经映射后的因果稳定性经映射后的因果稳定性经映射后H(z)H(z)仍保持，仍保持，仍保持，仍保持，即：即：即：即：S S平面左半平面平面左半平面平面左半平面平面左半平面Res0Res0映射到映射到映射到映射到z z平面单平面单平面单平面单 位圆内位圆内位圆内位圆内|z|1|z|1。第12页，共138页，编辑于2022年，星期一6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 模模拟拟滤滤波波器器的的理理论论和和设设计计方方法法已已发发展展得得相相当当成成熟熟，且且有有若若干干典典型型的的模模拟拟滤滤波波器器供供我我们们选选择择，如如巴巴特特沃沃
12、斯斯(Butterworth)滤滤波波器器、切切比比雪雪夫夫(Chebyshev)滤滤波波器器、椭椭圆圆(Ellopse)滤滤波波器器、贝贝塞塞尔尔(Bessel)滤滤波波器器等等，这这些些滤滤波波器器都都有有严严格格的的设设计计公公式式、现现成成的的曲曲线线和和图图表表供供设计人员使用。设计人员使用。第13页，共138页，编辑于2022年，星期一 图图6.2.1 6.2.1 各种理想滤波器的幅频特性各种理想滤波器的幅频特性 第14页，共138页，编辑于2022年，星期一 1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 模模拟拟低低通通滤滤波波器器的的设设计计指指标标
13、有有p,p,s和和s。其其中中p和和s分分别别称称为为通通带带截截止止频频率率和和阻阻带带截截止止频频率率，p是是通通带带(=0p)中中的的最最大大衰衰减减系系数数，s是是阻阻带带s的的最最小小衰衰减减系系数数，p和和s一一般般用用dB数数表表示示。对对于于单单调调下下降的幅度特性，可表示成：降的幅度特性，可表示成：(6.2.1)(6.2.2)第15页，共138页，编辑于2022年，星期一 如如果果=0处处幅幅度度已已归归一一化化到到1，即即|Ha(j0)|=1,p和和s表示为表示为 以以上上技技术术指指标标用用图图6.2.2表表示示。图图中中c称称为为3dB截截止止频率频率，因，因(6.2.
14、3)(6.2.4)第16页，共138页，编辑于2022年，星期一图图6.2.2 6.2.2 低通滤波器的幅度特性低通滤波器的幅度特性第17页，共138页，编辑于2022年，星期一 滤滤波波器器的的技技术术指指标标给给定定后后，需需要要设设计计一一个个传传输输函函数数Ha(s)，希希望望其其幅幅度度平平方方函函数数|Ha(j)2满满足足给给定定的的指指标标p和和s，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此(6.2.5)Ha(s)必须是稳定的，极点落在必须是稳定的，极点落在s平面的左半平面平面的左半平面第18页，共138页，编辑于2022年，星期一 2.巴特沃斯低
15、通滤波器的设计方法巴特沃斯低通滤波器的设计方法 巴巴特特沃沃斯斯低低通通滤滤波波器器的的幅幅度度平平方方函函数数|Ha(j)|2用用下式表示：下式表示：(6.2.6)图图6.2.3 巴特沃斯幅度特性和巴特沃斯幅度特性和N的关系的关系N称为滤波器的阶数称为滤波器的阶数幅度响应单调下降幅度响应单调下降(monotonically decreasing)第19页，共138页，编辑于2022年，星期一 将幅度平方函数将幅度平方函数|Ha(j)|2写成写成s的函数：的函数：(6.2.7)此式表明幅度平方函数有此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点个极点，极点sk用下式表示：用下式表示：(6.2.8)k=
16、0，1，.,2N-1第20页，共138页，编辑于2022年，星期一图图6.2.4 6.2.4 三阶巴特沃斯滤波器极点分布三阶巴特沃斯滤波器极点分布N=3第21页，共138页，编辑于2022年，星期一 为为形形成成稳稳定定的的滤滤波波器器，2N个个极极点点中中只只取取s平平面面左左半半平平面面的的N个个极极点点构构成成Ha(s)，而而右右半半平平面面的的N个个极极点点构构成成Ha(-s)。Ha(s)的表示式为的表示式为设设N=3，极点有，极点有6个，它们分别为个，它们分别为第22页，共138页，编辑于2022年，星期一取取s平面左半平面的极点平面左半平面的极点s0,s1,s2组成组成Ha(s)：
17、第23页，共138页，编辑于2022年，星期一 由由于于各各滤滤波波器器的的幅幅频频特特性性不不同同，为为使使设设计计统统一一，将将所所有有的的频频率率归归一一化化。这这里里采采用用对对3dB截截止止频频率率c归归一一化，归一化后的化，归一化后的Ha(s)表示为表示为 式中，式中，s/c=j/c。令令=/c，称称为为归归一一化化频频率率；令令p=j，p称称为为归归一化复变量一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为，这样归一化巴特沃斯的传输函数为(6.2.10)(6.2.11)第24页，共138页，编辑于2022年，星期一 式中，式中，pk为归一化极点，用下式表示：为归一化极点，用下式表示：(
18、6.2.12)第25页，共138页，编辑于2022年，星期一总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：(1)根据技术指标根据技术指标p,p,s和和s，求出滤波器的阶数，求出滤波器的阶数N。(2)求出归一化极点求出归一化极点pk，得到归一化传输函数，得到归一化传输函数Ha(p)。(3)将将Ha(p)去归一化去归一化(将将p=s/c代入代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输，得到实际的滤波器传输函数函数Ha(s)。第26页，共138页，编辑于2022年，星期一表表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数巴特沃斯归一化低通滤波器参数 第27页，共138页，
19、编辑于2022年，星期一第28页，共138页，编辑于2022年，星期一第29页，共138页，编辑于2022年，星期一 例例6.2.1 已已知知通通带带截截止止频频率率fp=5kHz，通通带带最最大大衰衰减减p=2dB，阻阻 带带 截截 止止 频频 率率 fs=12kHz，阻阻 带带 最最 小小 衰衰 减减s=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解解(1)确定阶数确定阶数N。第30页，共138页，编辑于2022年，星期一 (2)按照按照(6.2.12)式，其极点为式，其极点为按照按照(6.2.11)式，归一化传输函数为式，归一化传输函数为第
20、31页，共138页，编辑于2022年，星期一 上上式式分分母母可可以以展展开开成成为为五五阶阶多多项项式式，或或者者将将共共轭轭极极点点放放在在一一起起，形形成成因因式式分分解解形形式式。这这里里不不如如直直接接查查表表6.2.1简单，由简单，由N=5，直接查表得到：，直接查表得到：极点：极点：-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878;-1.0000 式式 b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361第32页，共138页，编辑于2022年，星期一 (3)为将为将Ha(p)去归一化去归一化，先求，先求3dB截止频率截止频率c
21、。按照按照(6.2.17)式，得到：式，得到：将将c代入代入(6.2.18)式，得到：式，得到：将将p=s/c代入代入Ha(p)中得到：中得到：第33页，共138页，编辑于2022年，星期一 我们这里仅介绍切比雪夫型滤波器的设计方法。图6.2.5分别画出阶数N为奇数与偶数时的切比雪夫型滤波器幅频特性。其幅度平方函数用A2()表示：(6.2.19)第34页，共138页，编辑于2022年，星期一图图6.2.5 切比雪夫切比雪夫型滤波器幅频特性型滤波器幅频特性 3.切比雪夫切比雪夫型滤波器型滤波器第35页，共138页，编辑于2022年，星期一)(jH1c N=2N=3N=7e e:通带波纹通带波纹
22、N：阶数：阶数(由阻带指标确定由阻带指标确定)第36页，共138页，编辑于2022年，星期一图6.2.6 N=0,4,5切比雪夫多项式曲线第37页，共138页，编辑于2022年，星期一 图图6.2.7 切比雪夫切比雪夫型与巴特沃斯低通的型与巴特沃斯低通的|Ha(j)|2曲线曲线第38页，共138页，编辑于2022年，星期一切比雪夫切比雪夫II型模拟低通滤波器型模拟低通滤波器第39页，共138页，编辑于2022年，星期一 4.模模拟拟滤滤波波器器的的频频率率变变换换模模拟拟高高通通、带带通通、带带阻阻滤滤波器的设计波器的设计 为了防止符号混淆，先规定一些符号如下：1)低通到高通的频率变换 和之间
23、的关系为 上式即是低通到高通的频率变换公式，如果已知低通G(j)，高通H(j)则用下式转换：(6.2.41)(6.2.40)第40页，共138页，编辑于2022年，星期一图6.2.9 低通与高通滤波器的幅度特性第41页，共138页，编辑于2022年，星期一 模拟高通滤波器的设计步骤如下：模拟高通滤波器的设计步骤如下：(1)确确定定高高通通滤滤波波器器的的技技术术指指标标：通通带带下下限限频频率率p，阻阻带带上上限限频频率率s，通通带带最最大大衰衰减减p，阻阻带带最最小小衰衰减减s。(2)确确 定定 相相 应应 低低 通通 滤滤 波波 器器 的的 设设 计计 指指 标标：按按 照照(6.2.40
24、)式式，将将高高通通滤滤波波器器的的边边界界频频率率转转换换成成低低通通滤滤波器的边界频率，各项设计指标为：波器的边界频率，各项设计指标为：低通滤波器通带截止频率低通滤波器通带截止频率p=1/p；低通滤波器阻带截止频率低通滤波器阻带截止频率s=1/s；通带最大衰减仍为通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减仍为，阻带最小衰减仍为s。第42页，共138页，编辑于2022年，星期一 (3)设计归一化低通滤波器设计归一化低通滤波器G(p)。(4)求求模模拟拟高高通通的的H(s)。将将G(p)按按照照(6.2.40)式式，转转换换成成归归一一化化高高通通H(q)，为为去去归归一一化化，将将q=s/c代代入入H
25、(q)中，得中，得 例例6.2.3 设设计计高高通通滤滤波波器器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅幅度度特特性性单单调调下下降降，fp处处最最大大衰衰减减为为3dB，阻阻带带最最小小衰衰减减s=15dB。(6.2.42)第43页，共138页，编辑于2022年，星期一 解解 高通技术要求：高通技术要求：fp=200Hz,p=3dB;fs=100Hz,s=15dB 归一化频率归一化频率低通技术要求：低通技术要求：第44页，共138页，编辑于2022年，星期一 设计归一化低通设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故。采用巴特沃斯滤波器，故第45页，共138页，编辑于2022年，星期一 求
26、模拟高通求模拟高通H(s)：2)低通到带通的频率变换低通到带通的频率变换 低通与带通滤波器的幅度特性如图低通与带通滤波器的幅度特性如图6.2.10所示。所示。第46页，共138页，编辑于2022年，星期一图6.2.10 带通与低通滤波器的幅度特性 表6.2.2 与的对应关系 第47页，共138页，编辑于2022年，星期一 由与的对应关系，得到：由表6.2.2知p对应u，代入上式中，有 (6.2.43)式称为低通到带通的频率变换公式。利用该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率。下面推导由归一化低通到带通的转换公式。由于 第48页，共138页，编辑于2022年，星期一 将(6.2.43)式代入上
27、式，得到：将q=j代入上式，得到：为去归一化，将q=s/B代入上式，得到：(6.2.44)(6.2.45)第49页，共138页，编辑于2022年，星期一上式就是由归一化低通直接转换成带通的计算公式。下面总结模拟带通的设计步骤。(1)确定模拟带通滤波器的技术指标，即：带通上限频率u，带通下限频率l下阻带上限频率 s1,上阻带下限频率 s2 通带中心频率20=lu，通带宽度B=ul与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：第50页，共138页，编辑于2022年，星期一 (2)确定归一化低通技术要求：s与-s的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的s，这样保证在较大的s处更能满足要求。通带最大衰减仍为p，
28、阻带最小衰减亦为s。(3)设计归一化低通G(p)。(4)由(6.2.45)式直接将G(p)转换成带通H(s)。第51页，共138页，编辑于2022年，星期一 例6.2.4 设计模拟带通滤波器，通带带宽B=2200rad/s，中心频率0=21000rad/s，通带内最大衰减p=3dB，阻带s1=2830rad/s,s2=21200rad/s，阻带最小衰减s=15dB。解(1)模拟带通的技术要求：0=21000rad/s,p=3dB s1=2830rad/s,s2=21200rad/s,s=15dB B=2200rad/s;0=5,s1=4.15,s2=6第52页，共138页，编辑于2022年，星
29、期一 (2)模拟归一化低通技术要求：取s=1.833,p=3dB,s=15dB。(3)设计模拟归一化低通滤波器G(p)：采用巴特沃斯型，有第53页，共138页，编辑于2022年，星期一 取N=3，查表6.2.1，得(4)求模拟带通H(s)：第54页，共138页，编辑于2022年，星期一 3)低通到带阻的频率变换 低通与带阻滤波器的幅频特性如图6.2.11所示。图6.2.11 低通与带阻滤波器的幅频特性第55页，共138页，编辑于2022年，星期一 图中，l和u分别是下通带截止频率和上通带截止频率，s1和s2分别为阻带的下限频率和上限频率，0为阻带中心频率，20=ul，阻带带宽B=ul，B作为归
30、一化参考频率。相应的归一化边界频率为 u=u/B,l=l/B,s1=s1/B,s2=s2/B;20=ul 表6.2.3 与的对应关系 第56页，共138页，编辑于2022年，星期一 根据与的对应关系，可得到：且ul=1，p=1，(6.2.46)式称为低通到带阻的频率变换公式。将(6.2.46)式代入p=j，并去归一化，可得 上式就是直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式。(6.2.46)(6.2.47)(6.2.48)第57页，共138页，编辑于2022年，星期一下面总结设计带阻滤波器的步骤：(1)确定模拟带阻滤波器的技术要求，即：下通带截止频率l,上通带截止频率u阻带下限频率s1，阻带上限
31、频率s2阻带中心频率+20=ul，阻带宽度B=ul它们相应的归一化边界频率为 l=l/B,u=u/B,s1=s1/B;s2=s2/B,20=ul以及通带最大衰减p和阻带最小衰减s。第58页，共138页，编辑于2022年，星期一 (2)确定归一化模拟低通技术要求，即：取s和s的绝对值较小的s；通带最大衰减为p，阻带最小衰减为s。(3)设计归一化模拟低通G(p)。(4)按照(6.2.48)式直接将G(p)转换成带阻滤波器H(s)。第59页，共138页，编辑于2022年，星期一 例6.2.5 设计模拟带阻滤波器，其技术要求为：l=2905rad/s,s1=2980rad/s,s2=21020rad/
32、s,u=21105rad/s,p=3dB,s=25dB。试设计巴特沃斯带阻滤波器。解 (1)模拟带阻滤波器的技术要求：l=2905,u=21105;s1=2980,s2=21020;20=lu=4+21000025,B=ul=2200;第60页，共138页，编辑于2022年，星期一 l=l/B=4.525,u=u/B=5.525;s1=s1/B=4.9,s2=5.1;20=lu=25 (2)归一化低通的技术要求：(3)设计归一化低通滤波器G(p):第61页，共138页，编辑于2022年，星期一 (4)带阻滤波器的H(s)为第62页，共138页，编辑于2022年，星期一6.3 用脉冲响应不变法设
33、计用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器 为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求：(1)因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。第63页，共138页，编辑于2022年，星期一 设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(t)设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示：(6.3.1)式中si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行逆拉氏变换得到ha(t)：(
34、6.3.2)第64页，共138页，编辑于2022年，星期一 式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到：(6.3.3)对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：(6.3.4)设ha(t)的采样信号用ha(t)表示，第65页，共138页，编辑于2022年，星期一 对 进行拉氏变换，得到:式中ha(nT)是ha(t)在采样点t=nT时的幅度值，它与序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到:(6.3.5)第66页，共138页，编辑于2022年，星期一 上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式表示：我们知道模拟信
35、号ha(t)的傅里叶变换Ha(j)和其采样信号 的傅里叶变换 之间的关系满足(1.5.5)式，重写如下：(6.3.6)第67页，共138页，编辑于2022年，星期一将s=j代入上式，得由(6.3.5)式和(6.3.8)式得到:(6.3.7)(6.3.8)(6.3.9)第68页，共138页，编辑于2022年，星期一 上式表明将模拟信号ha(t)的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期s=2/T延拓后，再按照(6.3.6)式映射关系，映射到z平面上，就得到H(z)。(6.3.6)式可称为标准映射关系。下面进一步分析这种映射关系。设按照(6.3.6)式，得到:因此得到:(6.3.10)第69页，共138页
36、，编辑于2022年，星期一 那么 =0,r=1 0,r0,r1 另外，注意到z=esT是一个周期函数，可写成为任意整数第70页，共138页，编辑于2022年，星期一图6.3.1 z=esT,s平面与z平面之间的映射关系第71页，共138页，编辑于2022年，星期一图6.3.2 脉冲响应不变法的频率混叠现象第72页，共138页，编辑于2022年，星期一 假设 没有频率混叠现象，即满足 按照(6.3.9)式，并将关系式s=j代入，=T，代入得到：令第73页，共138页，编辑于2022年，星期一 一般Ha(s)的极点si是一个复数，且以共轭成对的形式出现，在(6.3.1)式中将一对复数共轭极点放在一
37、起，形成一个二阶基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为极点为(6.3.11)可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节(只有实数乘法)的形式为 (6.3.12)第74页，共138页，编辑于2022年，星期一 如果模拟滤波器二阶基本节的形式为 极点为(6.3.13)(6.3.14)第75页，共138页，编辑于2022年，星期一 例6.3.1 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为 用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。解 首先将Ha(s)写成部分分式：极点为那么H(z)的极点为第76页，共138页，编辑于2022年，星期一按照(6.3.4)式，并经过整理，得到 设T=1s时
38、用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则 转换时，也可以直接按照(6.3.13),(6.3.14)式进行转换。首先将Ha(s)写成(6.3.13)式的形式，如极点s1,2=1j1,则第77页，共138页，编辑于2022年，星期一再按照(6.3.14)式，H(z)为第78页，共138页，编辑于2022年，星期一图6.3.3 例6.3.1的幅度特性第79页，共138页，编辑于2022年，星期一6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字数字低通滤波器低通滤波器 正切变换实现频率压缩：(6.4.1)式中T仍是采样间隔，当1从/T经过0变化到/T时，则由经过0变化到+，实现了s平
39、面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的/T之间的转换。这样便有(6.4.2)第80页，共138页，编辑于2022年，星期一 再通过 转换到z平面上，得到：(6.4.3)(6.4.4)第81页，共138页，编辑于2022年，星期一 下面分析模拟频率和数字频率之间的关系。图6.4.1 双线性变换法的映射关系第82页，共138页，编辑于2022年，星期一 令s=j,z=e j，并代入(6.4.3)式中，有(6.4.5)图6.4.2 双线性变换法的频率变换关系第83页，共138页，编辑于2022年，星期一图6.4.3 双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射第84页，共138页，编辑于2022年，星期一
40、 设 第85页，共138页，编辑于2022年，星期一 表6.4.1 系数关系表 第86页，共138页，编辑于2022年，星期一第87页，共138页，编辑于2022年，星期一 例6.4.1试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将图6.4.4所示的RC低通滤波器转换成数字滤波器。解 首先按照图6.4.4写出该滤波器的传输函数Ha(s)为 利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数H1(z)为 第88页，共138页，编辑于2022年，星期一 利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数H2(z)为 H1(z)和H2(z)的网络结构分别如图6.4.5(a),(b)所示。图6.4.5 例6.4.1图H1(
41、z)和H2(z)的网络结构 (a)H1(z);(b)H2(z)第89页，共138页，编辑于2022年，星期一 下面我们总结利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤。(1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率p、通带衰减p、阻带截止频率s、阻带衰减s。(2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。如果采用双线性变换法，边界频率的转换关系为第90页，共138页，编辑于2022年，星期一图6.4.6例6.4.1 图数字滤波器H1(z)和H2(z)的幅频特性 第91页，共138页，编辑于2022年，星期一 (3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。(4)将模拟滤
42、波器Ha(s)，从s平面转换到z平面，得到数字低通滤波器系统函数H(z)。例6.4.2 设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2rad时，容许幅度误差在1dB以内；在频率0.3到之间的阻带衰减大于15dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。第92页，共138页，编辑于2022年，星期一 解 (1)用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。数字低通的技术指标为 p=0.2rad,p=1dB;s=0.3rad,s=15dB 模拟低通的技术指标为 T=1s,p=0.2rad/s,p=1dB;s=0.3rad/s,s=15dB第93页，共138页，编
43、辑于2022年，星期一 设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数N及3dB截止频率c。第94页，共138页，编辑于2022年，星期一 取 N=6。为 求 3dB截 止 频 率 c,将 p和 p代 入(6.2.17)式，得到c=0.7032rad/s，显然此值满足通带技术要求，同时给阻带衰减留一定余量，这对防止频率混叠有一定好处。根据阶数N=6，查表6.2.1，得到归一化传输函数为 为去归一化，将p=s/c代入Ha(p)中，得到实际的传输函数Ha(s),第95页，共138页，编辑于2022年，星期一 用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z)。首先将Ha(s)进行部分分式，并按照(6.3.11)式、(
44、6.3.12)式，或者(6.3.13)式和(6.3.14)式，得到：第96页，共138页，编辑于2022年，星期一图6.4.7 例6.4.2图用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性第97页，共138页，编辑于2022年，星期一 (2)用双线性变换法设计数字低通滤波器。数字低通技术指标仍为 p=0.2rad,p=1dB;s=0.3rad,s=15dB 模拟低通的技术指标为第98页，共138页，编辑于2022年，星期一 设计巴特沃斯低通滤波器。阶数N计算如下：取N=6。为求c,将s和s代入(6.2.18)式中，得到c=0.7662rad/s。这样阻带技术指标满足要求，通带指标已经超过。第9
45、9页，共138页，编辑于2022年，星期一 根据N=6，查表6.2.1得到的归一化传输函数Ha(p)与脉冲响应不变法得到的相同。为去归一化，将p=s/c代入Ha(p)，得实际的Ha(s)，用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)：第100页，共138页，编辑于2022年，星期一图6.4.8 例6.4.2图用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性第101页，共138页，编辑于2022年，星期一6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计数字高通、带通和带阻滤波器的设计 例如高通数字滤波器等。具体设计步骤如下：(1)确定所需类型数字滤波器的技术指标。(2)将所需类型数字滤波器的技术指标转
46、换成所需类型模拟滤波器的技术指标，转换公式为 第102页，共138页，编辑于2022年，星期一 (3)将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标(具体转换公式参考本章6.2节)。(4)设计模拟低通滤波器。(5)将模拟低通通过频率变换，转换成所需类型的模拟滤波器。(6)采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。第103页，共138页，编辑于2022年，星期一 例6.5.1 设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率p=0.8rad，通带衰减不大于3dB，阻带截止频率s=0.44rad,阻带衰减不小于15dB。希望采用巴特沃斯型滤波器。解 (1)数字高通的技术
47、指标为 p=0.8rad,p=3dB;s=0.44rad,s=15dB第104页，共138页，编辑于2022年，星期一 (2)模拟高通的技术指标计算如下：令T=1，则有(3)模拟低通滤波器的技术指标计算如下：第105页，共138页，编辑于2022年，星期一 将p和s对3dB截止频率c归一化，这里c=p,(4)设计归一化模拟低通滤波器G(p)。模拟低通滤波器的阶数N计算如下：第106页，共138页，编辑于2022年，星期一 查表6.2.1，得到归一化模拟低通传输函数G(p)为 为去归一化，将p=s/c代入上式得到：(5)将模拟低通转换成模拟高通。将上式中G(s)的变量换成1/s，得到模拟高通Ha
48、(s)：第107页，共138页，编辑于2022年，星期一 (6)用双线性变换法将模拟高通H(s)转换成数字高通H(z)：实际上(5)、(6)两步可合并成一步，即第108页，共138页，编辑于2022年，星期一 例6.5.2设计一个数字带通滤波器，通带范围为0.3rad到0.4rad，通带内最大衰减为3dB，0.2rad以下和0.5rad以上为阻带，阻带内最小衰减为18dB。采用巴特沃斯型模拟低通滤波器。解 (1)数字带通滤波器技术指标为 通带上截止频率 u=0.4rad 通带下截止频率 l=0.3rad第109页，共138页，编辑于2022年，星期一 阻带上截止频率 s2=0.5rad 阻带下
49、截止频率 s1=0.2rad 通带内最大衰减p=3dB，阻带内最小衰减s=18dB。第110页，共138页，编辑于2022年，星期一 (2)模拟带通滤波器技术指标如下：设T=1，则有(通带中心频率)(带宽)第111页，共138页，编辑于2022年，星期一 将以上边界频率对带宽B归一化，得到 u=3.348,l=2.348;s2=4.608,s1=1.498;0=2.804 (3)模拟归一化低通滤波器技术指标：归一化阻带截止频率归一化通带截止频率p=1p=3dB,s=18dB第112页，共138页，编辑于2022年，星期一 (4)设计模拟低通滤波器：查表6.2.1，得到归一化低通传输函数G(p)
50、,第113页，共138页，编辑于2022年，星期一 (5)将归一化模拟低通转换成模拟带通：(6)通过双线性变换法将Ha(s)转换成数字带通滤波器H(z)。下面将(5)、(6)两步合成一步计算：第114页，共138页，编辑于2022年，星期一 将上式代入(5)中的转换公式，得将上面的p等式代入G(p)中，得 第115页，共138页，编辑于2022年，星期一 例6.5.3设计一个数字带阻滤波器，通带下限频率l=0.19,阻带下截止频率s1=0.198，阻带上截止频率s2=0.202，通带上限频率u=0.21，阻带最小衰减s=13dB，l和u处衰减p=3dB。采用巴特沃斯型。解 (1)数字带阻滤波器