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1、-.直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程知识点知识点 1 1：直线与双曲线的位置关系：直线与双曲线的位置关系1.直线与双曲线的位置关系的判断x2y2设直线 y=kx+b，双曲线221(a0，b0)联立消去 y 得 Ax2+Bx+C=0a0，=B2ab4AC。假设 A=0 即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；假设0,直线与双曲线相交，有两个交点；假设=0，直线与双曲线相切，有一个交点；假设0，2k故0，k220.k22222k220，解得k的取值 X 围是2k2(其中O为原点)，求k的取值 X 围x2x2y2解(1)设双曲线C2的方
2、程为221，ab那么a2413，c24，由a2b2c2，得b21，故C2的方程为 y21.3(2)将ykx2代入 y21，得(13k2)x262kx90.3由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得x2x2(62k)36(13k)36(1k)0.22213k20.1k2 且k22，得x1x2y1y22，3k273k291222，即20，解得 k3，3k13k13133由得 k20，b0)的离心率为 2.假设抛物线C2：abx22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为 2，那么抛物线C2的方程为()831632AxyBxy332Cx28yDx216y(2)(2012 XX 高考)抛物线关于x
3、轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)假设点M到该抛物线焦点的距离为3，那么|OM|()A22C4B23D25x2y2ca2b2自主解答(1)双曲线C1：221(a0，b0)的离心率为 2，2，babaa3a，双曲线的渐近线方程为3xy0，抛物线C2：x22py(p0)的焦点0，到双曲2p-.word.zl.-.线的渐近线的距离为p30222，p8.所求的抛物线方程为x216y.(2)依题意，设抛物线方程是y2px(p0)，那么有 2 3，得p2，故抛物线方程是22py24x，点M的坐标是(2，22)，|OM|22823.答案(1)D(2)B练习练习 2 2：假设抛物线的顶点在
4、原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y轴的交点，A 为抛物线上一点,且|AM|17,|AF|3，求此抛物线的方程解析 设点A是点A在准线上的射影，那么|AA|3，由勾股定理知|MA|2 2，点 A的横坐标为(2 2,3x2 8 yp)，代入方程x2 2 py得p 2或 4，抛物线的方程x2 4 y或2题型题型 3 3：直线与抛物线的位置关系：直线与抛物线的位置关系1 设抛物线方程为y22px(p0)，直线AxByC0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2nyq0.(1)假设m0，当0 时，直线与抛物线有两个公共点；当0 时，直线与抛物线只有一个公共点；当0 时，直线与抛
5、物线没有公共点(2)假设m0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行2与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)(1)y1y2p，x1x2.42p22p(2)|AB|x1x2p2(为AB的倾斜角)sin(3)SAOB(为AB的倾斜角)2sin(4)为定值.|AF|BF|p(5)以AB为直径的圆与准线相切(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切(7)CFD90.112p2-.word.zl.-.例例 3 3：(2012XX 高考)如图，等边三角形OAB的边长为 83，且其三个顶点均在抛物线E：x22py(p0)上(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y1
6、 相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点自主解答(1)依题意，|OB|83，BOy30.设B(x，y)，那么x|OB|sin 3043，y|OB|cos 3012.因为点B(43，12)在x22py上，所以(43)22p12，解得p2.故抛物线E的方程为x24y.(2)证明：由(1)知y14x2，y12x.设P(x10，y0)，那么x00，y04x20，且l的方程为yy11102x0(xx0)，即y2x0 x4x20.由y112x0 x4x20，得x42x，0y1，x20y1.2所以Q为x042x，10.设M(0，yMQMQ0 对满足y11)，令MPMP04x20(x00)的x0，y
7、0恒成立x02由于MPMP(x40，y0y1)，MQMQ2x，10y1，由MPMPMQMQ0，得x2042y0y0y1y1y210，即(y21y12)(1y1)y00.(*)由于(*)式对满足y104x20(x00)的y0恒成立，所以1y10，y2解得y11.1y120，故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)-.word.zl.-.练习练习 3 3：(2012XX 模拟)如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线1C：y4x的焦点F.(1)假设点O到直线l的距离为，求直线l的方程；22(2)设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点点B是以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴的交点，试判断A
8、B与抛物线C的位置关系，并给出证明解：(1)抛物线的焦点F(1,0)，当直线l的斜率不存在时，即x1 不符合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：yk(x1)，即kxyk0.所以，|k|13，解得k.31k223(x1)，即x3y10.3故直线l的方程为：y(2)直线AB与抛物线相切，证明如下：2设A(x0，y0)，那么y04x0.因为|BF|AF|x01，所以B(x0,0)所以直线AB的方程为：y2x0y整理得：xx0y0(xx0)，2x0y0把方程代入y24x得：y0y28x0y4x0y00，222264x016x0y064x064x00，所以直线AB与抛物线相切根底练习：根底练习：
9、1(2012XX 模拟)抛物线的焦点为椭圆 1 的下焦点，顶点在椭圆中心，那么抛49物线方程为()Ax245yBy245xCx2413yDy2413xx2y2解析：选 A由椭圆方程知，a29，b24，焦点在y轴上，下焦点坐标为(0，c)，其中ca2b25.抛物线焦点坐标为(0，5)，抛物线方程为x245y.-.word.zl.-.2(2012东北三校联考)假设抛物线y22px(p0)上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为 10 和 6，那么p的值为()A2B18D4 或 16C2 或 18解析：选 Cpx 10，2设P(x，y)，那么|y|6，y2px，0000200362p10，即p22
10、0p360，解得p2 或 18.23(2013XX 模拟)抛物线y22px(p0)的准线与曲线x2y26x70 相切，那么p的值为()A21C.2B11D.4p解析：选 A注意到抛物线y22px的准线方程是x，曲线x2y26x70，即2(x3)2y216 是圆心为(3,0)，半径为 4 的圆于是依题意有34.又p0，因此有 2234，解得p2.4(2012XX 模拟)过抛物线y26x焦点的弦长为 12，那么此弦所在直线的倾斜角是()5A.或6632B.或C.或4433D.2ppp2p6解析：选 B由焦点弦长公式|AB|2得212，sinsin所以 sin23，所以 或.2445(2012XX
11、模拟)抛物线y22px的焦点为F，点A、B、C在此抛物线上，点A坐标为(1,2)假设点F恰为ABC的重心，那么直线BC的方程为()Axy0Bxy0C2xy10D2xy10解析：选 C点A在抛物线上，42p，p2，抛物线方程为y24x，焦点F(1,0)-.word.zl.-.2设点B(x1，y1)，点C(x2，y2)，那么有y14x1，2y24x2，由得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)y1y24得kBC.x1x2y1y2又y1y2230，y1y22，kBC2.1，x1x22，又x1x213BC中点为(1，1)，那么BC所在直线方程为y12(x1)，即 2xy10.6(2013XX 模拟)直
12、线yk(xm)与抛物线y22px(p0)交于A、B两点，且OAOB，ODAB于D.假设动点D的坐标满足方程x2y24x0，那么m()A1C3B2D4解析：选D1b，k设点D(a，b)，那么由ODAB于D，得abkam，那么bkm22222，abk；又动点D的坐标满足方程xy4x0，即ab4a0，将abk1kk3mkm代入上式，得b kb4bk0，即bkb4k0，4k0，又k0，那么1k21k22 222(1k2)(4m)0，因此m4.x2y237(2012XX 模拟)椭圆C1：21(0b2)的离心率为，抛物线C2：x22py(p4b20)的焦点是椭圆的顶点(1)求抛物线C2的方程；(2)过点M
13、(1,0)的直线l与抛物线C2交于E，F两点，过E，F作抛物线C2的切线l1，l2，当l1l2时，求直线l的方程c4b23解：(1)椭圆C1的长半轴长a2，半焦距c4b.由e 得b21，a222椭圆C1的上顶点为(0,1)，即抛物线C2的焦点为(0,1)，-.word.zl.-.故抛物线C2的方程为x24y.(2)由可得直线l的斜率必存在，设直线l的方程为yk(x1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)由x24y得yx2，1yx.211切线l1，l2的斜率分别为x1，x2.2211当l1l2时，x1x21，即x1x24.2214ykx1由2x4y得x24kx4k0，(4k)24(4k)0，解得k1 或k0.且x1x24k4，即k1，满足式，直线l的方程为xy10.-.word.zl.