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1、1六年级数学奥数习题讲义-第 28 讲 表面积与体积（二）一、知识要点一、知识要点解答立体图形的体积问题时,要注意以下几点:（1）物体沉入水中,水面上升部分的体积等于物体的体积.把物体从水中取出,水面下降部分的体积等于物体的体积.这是物体全部浸没在水中的情况.如果物体不全部浸在水中,那么派开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积.（2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后,形状变了,但它的体积保持不变.（3）求一些不规则形体体积时,可以通过变形的方法求体积.（4）求与体积相关的最大、最小值时,要大胆想象,多思考、多尝试,防止思维定.二、精讲精练二、精讲精练【例题例题 1】1】有大、中、小三
2、个正方体水池,它们的内边长分别为 6 米、3 米、2 米.把两堆碎石分别沉在中、小水池里,两个水池水面分别升高了 6 厘米和 4 厘米.如果将这两堆碎石都沉在大水池里,大水池的水面升高多少厘米?中、小水池升高部分是一个长方体,它的体积就等同于碎石的体积.两个水池水面分别升高了 6 厘米和 4 厘米,两堆碎石的体积就是 330.06+220.04=0.7（立方米）.把它沉到大水池里,水面升高部分的体积也就是 0.7 立方米,再除以它的底面积就能求得升高了多少厘米.330.06+220.04=0.7（立方米）0.76 的平方=7/360（米）=1 又 17/18（厘米）答:大水池的水面升高了 1
3、又 17/18 厘米.练习练习 1:1:1、有大、中、小三个正方体水池,它们的内边长分别为 4 米、3 米、2 米.把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水中,两个水池的水面分别升高了 4 厘米和 11 厘米,如果将这两堆碎石都沉没在大水池中,那么大水池水面将升高多少厘米?2、用直径为 20 厘米的圆钢,锻造成长、宽、高分别为 30 厘米、20 厘米、5 厘米的长方体钢板,应截取圆钢多长（精确到 0.1 厘米）?23、将表面积为 54 平方厘米、96 平方厘米、150 平方厘米的三个铁质正方体熔铸成一个大正方体（不计损耗）,求这个大正方体的体积.【例题例题 2】2】一个底面半径是 10 厘米的圆柱形
4、瓶中,水深 8 厘米,要在瓶中放入长和宽都是 8 厘米、高是 15 厘米的一块铁块,把铁块竖放在水中,水面上升几厘米?在瓶中放铁块要考虑铁块是全部沉入水中,还是部分沉入水中.如果铁块是全部沉入水中,排开水的体积是 8815=960（立方厘米）.而现在瓶中水深是 8 厘米,要淹没 15 厘米高的铁块,水面就要上升 158=7（厘米）,需要排开水的体积是（3.14101088）7=1750（立方厘米）,可知铁块是部分在水中.当铁块放入瓶中后,瓶中水所接触的底面积就是 3.14101088=250（平方厘米）.水的形状变了,但体积还是 3.1410108=2512（立方厘米）.水的高度是251225
5、0=10.048（厘米）,上升 10.0488=2.048（厘米）3.1410108（3.14101088）8=25122508=10.0488=2.048（厘米）答:水面上升了 2.048 厘米.练习练习 2:2:1、一个底面积是 15 平方厘米的玻璃杯中装有高 3 厘米的水.现把一个底面半径是 1 厘米、高 5 厘米的圆柱形铁块垂直放入玻璃杯水中,问水面升高了多少厘米（取 3）?2、一个圆柱形玻璃杯内盛有水,水面高 2.5 厘米,玻璃杯内侧的底面积市 2 平方里.在这个杯中放进棱长 6 厘米的正方形铁块后,水面没有淹没铁块,这时水面高多少厘米?33、在底面是边长为 60 厘米的正方形的一个
6、长方形容器里,直立放着一个长 100 厘米、底面边长为 15 厘米的正方形的四棱柱铁棍.这时容器里的水 50 厘米深.现在把铁棍轻轻地向上方提起 24 厘米,露出睡眠的四棱柱铁棍浸湿部分长多少厘米?【例题例题 3】3】某面粉厂有一容积是 24 立方米的长方体储粮池,它的长是宽或高的 2 倍.当贴着它一最大的内侧面将面粉堆成一个最大的半圆锥体时,求这堆面粉的体积（如图 28-1 所示）.设圆锥体的底面半径是 r,则长方体的高和宽也都是 r,长是 2r.长方体的容积是2rrr=24,即 r 的立方=12.这个半圆锥体的体积是 1/3r 的平方r2=1/6r 的立方,将 r 的立方=12 代入,就可
7、以求得面粉的体积.设圆锥体的底面半径是 r,则长方体的容积是 2rrr=24,r 的立方=12.1/33.14r 的平方r2=1/63.14r 的立方=1/63.1412=6.28（立方米）答:这堆面粉的体积是 6.28 立方米.练习练习 3:3:1、已知一个圆锥体的底面半径和高都等于一正方体的棱长,这个正方体的体积是 216 立方分米.求这个圆锥体的体积.42、一个正方体的纸盒中如图 28-2 所示,恰好能装入一个体积 6.28 立方厘米的圆柱体.纸盒的容积有多大（取 3.14）?3、如图 28-3 所掷,圆锥形容器中装有 3 升水,水面告诉正好是圆锥高读的一半.这个容器还能装多少水?【例题
8、例题 4】4】如果把 12 件同样的长方体物品打包,形成一件大的包装物,有几种包装方法?怎样打包物体的表面积最小呢?图 284cba图 285图 286设长方体物品的长、宽、高分别是 a、b、c,并且 abc（入土 28-4）.比较“34”和“26”两种包法.图 28-5 中大长方体表面积为 6ab+8ac+24bc,图 28-6 中大长方体的表面积为 4ab+12ac+24bc,两个式子中都曲调相同的部分 4ab+8ac+24bc 后,式与式的大小要看 2ab 与 4ac 的大小.（1）当 b=2c 时,2ab=￥ac,两种包法相同.（2）当 b2c 时,5“34”的包法表面积最小.（3）当
9、 b2c 时,“26”的包法表面积最小.练习练习 4:4:1、如果把长 8 厘米,宽 7 厘米,高 3 厘米的 2 件同样的长方体物品打包,形成一件大的包装物,有几种包装方法?怎样打包,物体的表面积最小?2、一个精美小礼品盒的形状是长 9 厘米,宽 6 厘米,高 4 厘米的长方体.请你帮厂家设计一个能装 10 个小礼品盒的大纸箱,你觉得怎样设计比较合理?为什么?3、一包香烟的形状是长方体,它的长是 9 厘米,宽是 5 厘米,高是 2 厘米.把 10 包香烟包装在一起形成一个大长方体,称为一条.可以怎样包装?算一算需要多少包装纸（包转念能够纸的重叠部分忽略不计）.你认为哪一种包装比较合理?【例题
10、例题 5】5】一只集装箱,它的内尺寸是 181818.现在有批货箱,它的外尺寸是149.问这只集装箱能装多少只货箱?因为集装箱内尺寸 18 不是货箱尺寸 4 的倍数,所以,只能先在 181618 的空间放货箱,可放 181618（149）=144（只）.这时还有 18218 的空间,但只能在 18216的空间放货箱,可放 18216（149）=16（只）.最后剩下 1822 的空间无法再放货箱,所以最多能装 144+16=160（只）.181618（149）+18216（149）=144+16=160（只）答:这只集装箱能装 160 只货箱.6练习练习 5:5:1、有一个长方体的盒子,从里面量长为 40 厘米、宽为 12 厘米、高为 7 厘米.在这个盒子里放长 5 厘米、宽 4 厘米、高 3 厘米的长方体木块,最多可放几块?2、从一个长、宽、高分别为 21 厘米、15 厘米、12 厘米的厂房体上面,尽可能大地切下一个正方体,然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体,最后再从六年级数学奥数习题讲义-第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体,剩下的体积是多少立方厘米?3、现有一张长 40 厘米、宽 20 厘米的长方形铁皮,请你用它做一只深是 5 厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计,容积越大越好）,你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米?