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1、1六年级数学奥数习题讲义-第 27 讲 表面积与体积（一）一、知识要点一、知识要点小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体.从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃,需要有更高水平的空间想象能力.因此,要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法,能将公式作适当的变形,养成“数、形”结合的好习惯,解题时要认真细致观察,合理大胆想象,正确灵活地计算.在解答立体图形的表面积问题时,要注意以下几点:（1）充分利用正方体六个面的面积都相等,每个面都是正方形的特点.（2）把一个立体图形切成两部分,新增加的表面积等于切面面积的两倍.反之,把两个立体图形粘合到一起,减少的表面积等于粘合面
2、积的两倍.（3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体,应把它们最小的面拼合起来.若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体,应把它们最大的面拼合起来.二、精讲精练二、精讲精练【例题例题 1】1】从一个棱长 10 厘米的正方体木块上挖去一个长 10 厘米、宽 2 厘米、高 2 厘米的小长方体,剩下部分的表面积是多少?这是一道开放题,方法有多种:按图 27-1 所示,沿着一条棱挖,剩下部分的表面积为 592 平方厘米.上 27-1按图 27-2 所示,在某个面挖,剩下部分的表面积为 632 平方厘米.上 27-22按图 27-3 所示,挖通某两个对面,剩下部分的表面积为 672 平方厘米.上 2
3、7-3练习练习 1:1:1、从一个长 10 厘米、宽 6 厘米、高 5 厘米的长方体木块上挖去一个棱长 2 厘米的小正方体,剩下部分的表面积是多少?2、把一个长为 12 分米,宽为 6 分米,高为 9 分米的长方体木块锯成两个想同的小厂房体木块,这两个小长方体的表面积之和,比原来长方体的表面积增加了多少平方分米?3、在一个棱长是 4 厘米的立方体上挖一个棱长是 1 厘米的小正方体后,表面积会发生怎样的变化?3上 274【例题例题 2】2】把 19 个棱长为 3 厘米的正方体重叠起来,如图 27-4 所示,拼成一个立体图形,求这个立体图形的表面积.要求这个复杂形体的表面积,必须从整体入手,从上、
4、左、前三个方向观察,每个方向上的小正方体各面就组合成了如下图形（如图 27-5 所示）.上 275上 上 上 上 上上 上 上 上 上上 上 上 上 上而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面积是相等的.整个立体图形的表面积可采用（S 上+S 左+S 前）2 来计算.（339+338+3310）2=（81+72+90）2=2432=486（平方厘米）答:这个立体图形的表面积是 486 平方厘米.练习练习 2:2:1、用棱长是 1 厘米的立方体拼成图 27-6 所示的立体图形.求这个立体图形的表面积.上 27642、一堆积木（如图 27-7 所示）,是由 16 块棱长是 2 厘米的小正方体
5、堆成的.它们的表面积是多少平方厘米?图 2773、一个正方体的表面积是 384 平方厘米,把这个正方体平均分割成 64 个相等的小正方体.每个小正方体的表面积是多少平方厘米?【例题例题 3】3】把两个长、宽、高分别是 9 厘米、7 厘米、4 厘米的相同长方体,拼成一个大长方体,这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米?把两个相同的大长方体拼成一个大厂房体,需要把两个相同面拼合,所得大厂房体的表面积就减少了两个拼合面的面积.要使大长方体的表面积最小,就必须使两个拼合面的面积最大,即减少两个 97 的面.（99+94+74）22972=（63+36+28）4126=508126=382（平方厘米）答
6、:这个大厂房体的表面积最少是 382 平方厘米.练习练习 3:3:1、把底面积为 20 平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体,长方体的表面积是多少?52、将一个表面积为 30 平方厘米的正方体等分成两个长方体,再将这两个长方体拼成一个大长方体.求大长方体的表面积是多少.3、用 6 块（如图 27-8 所示）长方体木块拼成一个大长方体,有许多种做法,其中表面积最小的是多少平方厘米?3上 上1上 上2上 上图 27-8【例题例题 4】4】一个长方体,如果长增加 2 厘米,则体积增加 40 立方厘米;如果宽增加 3 厘米,则体积增加 90 立方厘米;如果高增加 4 厘米,则体积增加 96 立方里
7、,求原长方体的表面积.我们知道:体积=长宽高;由长增加 2 厘米,体积增加 40 立方厘米,可知宽高=402=20（平方厘米）;由宽增加 3 厘米,体积增加 90 立方厘米,可知长高=903=30（平方厘米）;由高增加 4 厘米,体积增加 96 立方厘米,可知长宽=964=24（平方厘米）.而长方体的表面积=（长宽+长高+宽高）2=（20+30+24）2=148（平方厘米）.即402=20（平方厘米）903=30（平方厘米）964=24（平方厘米）（30+20+24）2=742=148（平方厘米）答:原长方体的表面积是 148 平方厘米.6练习练习 4:4:1、一个长方体,如果长减少 2 厘米
8、,则体积减少 48 立方厘米;如果宽增加 5 厘米,则体积增加 65 立方厘米;如果高增加 4 厘米,则体积增加 96 立方厘米.原来厂房体的表面积是多少平方厘米?2、一个厂房体木块,从下部和上部分别截去高为 3 厘米和 2 厘米的长方体后,便成为一个正方体,其表面积减少了 120 平方厘米.原来厂房体的体积是多少立方厘米?3、有一个厂房体如下图所示,它的正面和上面的面积之和是 209.如果它的长、宽、高都是质数,这个长方体的体积是多少?上上上图 279【例题例题 5】5】如图 27-10 所示,将高都是 1 米,底面半径分别为 1.5 米、1 米和 0.5 米的三个圆柱组成一个物体.求这个物
9、体的表面积.如果分别求出三个圆柱的表面积,再减去重叠部分的面积,这样计算比较麻烦.实际上三个向上的面的面积和恰好是大圆柱的一个底面积.这样,这个物体的表面积就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积.3.141.51.52+23.141.51+23.1411+23.140.51=3.14（4.5+3+2+1）=3.1410.5=32.97（平方米）答:这个物体的表面积是 32.97 平方米.7练习练习 5:5:1、一个棱长为 40 厘米的正方体零件（如图 27-11 所示）的上、下两个面上,各有一个直径为 4 厘米的圆孔,孔深为 10 厘米.求这个零件的表面积.2、用铁皮做一个如图 27-12 所示的工件（单位:厘米）,需用铁皮多少平方厘米?3、如图 27-13 所示,在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞,在上、下侧面的中心打通一个圆柱形的洞.已知立方体棱长为 10 厘米,侧面上的洞口是边长为 4 厘米的正方形,上、下侧面的洞口是直径为 4 厘米的圆,求该立方体的表面积和体积（ 取3.14）.1