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1、11、比例的基本性质2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题3、能够进行各种条件下比例的转化,有目的的转化;4、单位“1”变化的比例问题5、方程解比例应用题比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用,这一部分内容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有：一、比和比例的性质性质 1：若 a:b=c：d,则(a+c)：(b+d)=a：b=c：d;性质 2：若 a:b=c：d,则(a-c)：(b-d)=a：b=c：d;性质 3：若 a:b=c：d,则(a+x c)：(b+x d)=a：b=c：d;(x 为常数)性质 4：若 a:b=c：d,则 ad=bc;(即外
2、项积等于内项积)正比例：如果 ab=k(k 为常数),则称 a、b 成正比;反比例：如果 ab=k(k 为常数),则称 a、b 成反比二、主要比例转化实例 xaybybxa;xyab;abxy;xaybmxamyb;xmaymb(其中0m);xayb xaxyab;xyabxa;xyabxyab;xayb,yczd xaczbd;:x y zac bc bd;x的ca等于y的db,则x是y的adbc,y是x的bcad三、按比例分配与和差关系按比例分配例如：将x个物体按照:a b的比例分配给甲、乙两个人,那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x的比分别为:aab和:bab,所以甲分配到ax
3、ab个,乙分配到bxab个.已知两组物体的数量比和数量差,求各个类别数量的问题例如：两个类别A、B,元素的数量比为:a b(这里ab),数量差为x,那么A的元素数量为axab,知识点拨知识点拨教学目标教学目标比例应用题（一）比例应用题（一）2B的元素数量为bxab,所以解题的关键是求出ab与a或b的比值四、比例题目常用解题方式和思路解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”.题中如果有几个不同的单位“1”,必须根据具体情况,将不同的单位“1”,转化成统一的单位“1”,使数量关系简单化,达到解决问题的效果.在解答分数应用题时,要注意以下几点：1.题中有几种数量相比较时,要选择与各个已知条件关系
4、密切、便于直接解答的数量为单位“1”.2.若题中数量发生变化的,一般要选择不变量为单位“1”.3.应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定,然后再确定是成正比例,还是成反比例.找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系,就能找到更好、更巧的解法.4.题中有明显的等量关系,也可以用方程的方法去解.5.赋值解比例问题模块一、比例转化【例例 1】甲、乙、丙三个数,已知甲:（乙+丙）4:3,乙:丙2:7,求甲:乙:丙.【考点】比例应用题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】由:2:7丙丙可得到:2:9丙丙丙,:7:9丙丙丙,而:4:3丙丙丙,所以：4 2 7:12:
5、2:73 9 9丙丙丙【答案】12:2:7【例例 2】已知甲、乙、丙三个数,甲的一半等于乙的2倍也等于丙的23,那么甲的23、乙的2倍、丙的一半这三个数的比为多少?【考点】比例应用题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】甲的一半、乙的2倍、丙的23这三个数的比为1:1:1,所以甲、乙、丙这三个数的比为121:1 2:123即1 32:2 2,化简为4:1:3,那么甲的23、乙的2倍、丙的一半这三个数的比为214:1 2:332即83:2:32,化简为16:12:9.【答案】16:12:9【例例 3】已知甲、乙、丙三个数,甲等于乙、丙两数和的13,乙等于甲、丙两数和的12,丙等于甲、乙两数和的5
6、7,求甲:乙:丙.【考点】比例应用题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】由甲等于乙、丙两数和的13,得到甲等于三个数和的113+14,同样的乙等于甲、丙两数和的112+13,同样的丙等于甲、乙两个数和的557512,所以甲:乙:丙1 15:3:4:54 3 12【答案】3:4:5例题精讲例题精讲3【例例 4】甲、乙两个工人上班,甲比乙多走15的路程,而乙比甲的时间少111,甲、乙的速度比是 【考点】比例应用题 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】2008 年,清华附中【解析】甲走的路程是乙走的路程的65,甲用的时间是乙用的时间的1110,所以甲的速度是乙的速度的6111251011,即甲、
7、乙的速度比是12:11【答案】12:11【例例 5】右图是一个园林的规划图,其中,正方形的43是草地;圆的76是竹林;竹林比草地多占地 450 平方米 问：水池占多少平方米?【考点】比例应用题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】正方形的43是草地,那如果水池占 1 份,草地的面积便是 3 份;圆的76是竹林,水池占 1 份,竹林的面积是 6 份.从而竹林比草地多出的面积是（6-3=）3 份.3 份的面积是 450 平方米,可见 1 份面积是 4503=150（平方米）,即水池面积是 150 平方米.【答案】150【例例 6】如下图所示,圆B与圆C的面积之和等于圆A面积的45,且圆A中的阴影部
8、分面积占圆A面积的16,圆B的阴影部分面积占圆B面积的15,圆C的阴影部分面积占圆C面积的13求圆A、圆B、圆C的面积之比CBA【考点】比例应用题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】设A与B的共同部分的面积为x,A与C的共同部分的面积为y,则根据题意有564ABCxy,5Bx,3Cy,于是得到56453BCBC,这条式子可化简为15BC,所以5204ABCC.最后得到:20:15:1A B C.【答案】:20:15:1A B C【例例 7】地球表面的陆地面积和海洋面积之比是 2971,其中陆地的四分之三在北半球,那么南、北半球海洋面积之比是（）【例例 8】A.28429B.28487C.87
9、29D.171113【考点】比例应用题 【难度】2 星 【题型】选择【关键词】华杯赛,六年级【解析】解：设地球表面积为 1,【解析】则北半球海洋面积为：0.50.29341.1344【解析】南半球海洋面积为：0.711.1341.714【解析】南北半球海洋面积之比为：1.7141.134171113【解析】答案：D【答案】D【例例 9】某俱乐部男、女会员的人数之比是3:2,分为甲、乙、丙三组已知甲、乙、丙三组的人数比是10:8:7,甲组中男、女会员的人数之比是3:1,乙组中男、女会员的人数之比是5:3求丙组中男、女会员人数之比【考点】比例应用题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】以总人数为
10、1,则甲组男会员人数为103310873 110,女会员为31110310,乙组男会员为8511087535,女会员为1335525;丙组男会员为33113+210510,女会员为21393+2102550;所以,丙组中男、女会员人数之比为19:5:910 50【答案】5:9【巩固巩固】某团体有100名会员,男女会员人数之比是14:11,会员分成三组,甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多,各组男女会员人数之比依次为12:13、5:3、2:1,那么丙组有多少名男会员?【考点】比例应用题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】会员总人数100人,男女比例为14:11,则可知男、女会员人数分别为56人、
11、44人;又已知甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多,则可知甲组人数为50人,乙、丙人数之和为50人,可设丙组人数为x人,则乙组人数为50 x人,又已知甲组男、女会员比为12:13,则甲组男、女会员人数分别为24人、26人,又已知乙、丙两组男、女会员比例,则可得：5224(50)5683xx,解得18x 即丙组会员人数为18人,又已知男、女比例,可得丙组男会员人数为218123人【答案】12【例例 10】一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设,两个工程队建设了相同多的一段时间后,分别剩下60%、40%的任务没有完成,已知两个工程队的工作效率(建设速度)之比3:1,求这两个工程队原
12、先承包的修建公路长度之比.【考点】比例应用题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】(法一)甲工程队以3倍乙工程队建设速度,仅完成了40%的承包任务,而乙工程队完成了60%,所以甲工程队承包任务的40%等于乙工程队承包任务的60%3180%,所以甲工程队的承包的任务是乙工程队承包任务的180%40%450%,所以两个工程队承包的修建公路长度之比为450%:19:2(法二)两个工程队完成的工程任务(修建公路长度)之比等于工作效率之比,等于3:1,而他们分别完成了各自任务的40%和60%,所以两个工程队承包的修建公路长度之比为 340%:1 60%9:2【答案】9:2【例例 11】A、B、C三项工程
13、的工作量之比为1:2:3,由甲、乙、丙三队分别承担三个工程队同时开工,若干天后,甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一,乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一,丙完成的工作量等于甲未完成的工作量,则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少?【考点】比例应用题 【难度】4 星 【题型】解答 5【关键词】2007 年,华杯赛,总决赛【解析】根据题意,如果把A工程的工作量看作1,则B工程的工作量就是2,C工程的工作量就是3 设甲、乙、丙三个工程队的工作效率分别为x、y、z.经过k天,则：22133213kxkykykzkzkx 将代入,得 243kxky,将代入,得2223kxkx,47xk,将47
14、xk代入,得67yk代入,得37zk甲、乙、丙三队的工作效率的连比是463:4:6:3777kkk【答案】4:6:3【巩固巩固】某次数学竞赛设一、二、三等奖已知：甲、乙两校获一等奖的人数相等;甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:6;甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20%;甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50%;甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍那么,乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少?【考点】比例应用题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】由、可知甲、乙两校获奖总人数的比为6:5,不妨设甲校有 60 人获奖,则乙校
15、有 50 人获奖由知两校获二等奖的共有(6050)20%22人;由知甲校获二等奖的有22(4.51)4.518人;由知甲校获一等奖的有606050%1812人,那么乙校获一等奖的也有 12 人,从而所求百分数为1250 100%24%【答案】24%【例例 12】某校毕业生共有 9 个班,每班人数相等已知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数多 1;四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多 1那么该校毕业生中男、女生人数比是多少?【考点】比例应用题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】如下表所示,由知,一、二、三班的男生总数比二、三班总人数多 1;由知,四至九班的男生总数比
16、四、五、六班总人数少 1一班男生比二、三班女生多 1 人加上二、三班男生二、三班男生一、二、三班男生比二、三班总人数多 1 人七、八、九班男生比四、五、六班女生少 1 人加上四、五、六班男生四、五、六班男生四、五、六、七、八、九班男生比四、五、六班总人数少 1 人因此,一至九班的男生总数是二、三、四、五、六共五个班的人数之和,由于每班人数均相等,则女生总数等于四个班的人数之和所以,男、女生人数之比是5:4【答案】5:4=模块二、按比例分配与和差关系（一）量倍对应【例例 13】一些苹果平均分给甲、乙两班的学生,甲班比乙班多分到16个,而甲、乙两班的人数比为13:11,求一共有多少个苹果?【考点】
17、比例应用题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】一共有 1613 1113 11192个苹果.【答案】192个6【巩固巩固】甲、乙两个班共种树若干棵,已知甲班种的棵数的14等于乙班种的棵数的15,且乙班比甲班多种树24棵,甲、乙两个班各种树多少棵?【考点】比例应用题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】甲、乙两班种树棵数之比为：1 1:4:55 4,甲班种树棵数为：2454496(棵),乙班种树棵数为：24545120(棵)【答案】120棵【例例 14】甲乙两校参加数学竞赛的人数之比是 7：8,获奖人数之比是 2：3,两校各有 320 人未获奖,那么两校参赛的学生共有 人.【考点】比例应用题
18、【难度】2 星 【题型】解答【关键词】希望杯,六年级,一试【解析】方法一：设甲、乙两校参加希望杯的学生人数各有7x人,8x人.根据题意列方程得(7320)(8320)2 3xx,解得64x.两校参加人数为7815960 xxx人.【解析】方法二：因为725,835.所以设甲乙两校各有 7 份,8 份人,校参加人数为3205(78)960（人）【答案】960人【例例 15】师徒二人加工一批零件,师傅加工一个零件用 9 分钟,徒弟加工一个零件用 15 分钟完成任务时,师傅比徒弟多加工 100 个零件,求师傅和徒弟一共加工了多少个零件?【考点】比例应用题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】师傅与徒
19、弟的工作效率之比是11:5:39 15,工作时间相同,工作量与工作效率成正比,所以师傅与徒弟分别完成总量的553和353,师傅和徒弟一共加工了53100()4005353个零件(涉及到数量差和数量比的题在以下题目中详细讲述).【答案】400个【巩固巩固】师徒二人共加工零件400个,师傅加工一个零件用9分钟,徒弟加工一个零件用15分钟完成任务时,师傅比徒弟多加工多少个零件?【考点】比例应用题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】师傅与徒弟的工作效率之比是11:5:39 15,而工作时间相同,则工作量与工作效率成正比,所以师傅与徒弟分别完成总量的553和353,师傅比徒弟多加工零件53400100
20、5353个【答案】100个【例例 16】甲、乙两只蚂蚁同时从A点出发,沿长方形的边爬去,结果在距B点2厘米的C点相遇,已知乙蚂蚁的速度是甲的1.2倍,求这个长方形的周长乙乙CBA【考点】比例应用题 【难度】2 星 【题型】解答 7【解析】两只蚂蚁在距B点2厘米的C点相遇,说明乙比甲一共多走了2 24(厘米)又知乙蚂蚁的速度是甲蚂蚁的1.2倍,相同时间内乙蚂蚁爬的路程与甲蚂蚁爬的路程比为：1.2：16：5,所以甲爬的路程是465520(厘米),乙爬的路程是20424(厘米),长方形的周长为202444(厘米)【答案】44【巩固巩固】甲、乙两车分别从A、B两地同时相向开出,甲车的速度是50千米小时
21、,乙车的速度是40千米小时,当甲车驶过A、B距离的13多50千米时与乙车相遇,A、B两地相距 千米【考点】比例应用题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】在相同的时间内,两车行驶的路程比等于两车的速度之比,由于两车的速度之比等于50:405:4,那么A、B距离的13多50千米即是A、B距离的55459,所以50千米的距离相当于全程的512939,全程的距离为2502259(千米)【答案】225【例例 17】小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为3:4:6,三人一共藏书52本,求他们三人各自的藏书数量.【考点】比例应用题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】根据题意可知,他们三人各自的藏书数量
22、分别占三人藏书总量的3346、4346、6346,所以小新拥有的藏书数量为35212346本,小志拥有的藏书数量为45216346本,小刚拥有的藏书数量为65224346本.【答案】24【巩固巩固】有120个皮球,分给两个班使用,一班分到的13与二班分到的12相等,求两个班各分到多少皮球?【考点】比例应用题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】根据题意可知一班与二班分到的球数比1 1:3:22 3,所以一班分到皮球31207232个,二班分到皮球1207248个【答案】48【例例 18】圆珠笔和铅笔的价格比是 4：3,20 支圆珠笔和 21 支铅笔共用 715 元问圆珠笔的单价是每支多少元?【
23、考点】比例应用题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】设圆珠笔的价格为 4,那么铅笔的价格为 3,则 20 支圆珠笔和 21 支铅笔的价格为204+213=143,则单位“1”的价格为 71.5143=0.5 元所以圆珠笔的单价是 0.54=2(元)【答案】2【例例 19】在抗洪救灾区活动中,甲、乙、丙三人一共捐了 80 元已知甲比丙多捐 18 元,甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是10:7,则甲捐 元,乙捐 元,丙捐 元【考点】比例应用题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】由于甲比丙多捐 18 元,所以甲、乙所捐资的和比乙、丙所捐资的和多 18 元,那么甲、乙所捐资的和为：18(10
24、7)1060(元),乙、丙所捐资的和为601842元所以,甲捐了804238(元),乙捐了603822(元),丙捐了381820(元)8【答案】20元【例例 20】一班和二班的人数之比是8:7,如果将一班的8名同学调到二班去,则一班和二班的人数比变为4:5求原来两班的人数【考点】比例应用题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】原来一班的人数为两班总人数的888715,调班后一班的人数是两班人数的44459,调班前后一班人数的比值为84:6:515 9,所以一班原来的人数为865648人,二班原来的人数为48 8 742 人.【答案】42人【例例 21】一把小刀售价3元如果小明买了这把小刀,那么
25、小明与小强剩余的钱数之比是2:5;如果小强买了这把小刀,那么两人剩余的钱数之比变为8:13小明原来有多少钱?【考点】比例应用题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】由已知,小强的钱相当于小明、小强买刀后所剩钱数和的55257,小明的钱相当于小明、小强买刀后钱数和的888+1321,所以小明、小强的钱数的比值为85:8:1521 7,而小明买刀后小明、小强的钱数之比为2:56:15,所以小明买刀前后的钱数之比为8:64:3,所以小刀的售价等于小明原来钱数的43144,所以小明的钱数为13124元.也可这样看,小明买刀与未买刀的钱数比为28:3:47 21,小明的钱数为434312（元）【答案】1
26、2元【巩固巩固】甲、乙两人原有的钱数之比为6:5,后来甲又得到 180 元,乙又得到 30 元,这时甲、乙钱数之比为18:11,求原来两人的钱数之和为多少?【考点】比例应用题 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】十三分,入学测试【解析】两人原有钱数之比为6:5,如果甲得到 180 元,乙得到 150 元,那么两人的钱数之比仍为6:5,现在甲得到 180 元,乙只得到 30 元,相当于少得到了 120 元,现在两人钱数之比为18:11,可以理解为：两人的钱数分别增加 180 元和 150 元之后,钱数之比为18:15,然后乙的钱数减少 120 元,两人的钱数之比变为18:11,所以 120 元
27、相当于 4 份,1 份为 30 元,后来两人的钱数之和为30(18 15)990元,所以原来两人的总钱数之和为990 180 150660元【答案】660元【例例 22】甲本月收入的钱数是乙收入的58,甲本月支出的钱数是乙支出的34,甲节余 240 元,乙节余 480元甲本月收入多少元?【考点】比例应用题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】甲、乙本月收入的比是5:8,分别节余 240 元和 480 元,支出的钱数之比是3:4如果乙节余 480元,甲节余4808 5300 元,那么两人支出的钱数之比也是5:8,现在甲只节余 240 元,多支出了 60 元,结果支出的钱数之比从5:8变成了6:8
28、(即3:4),所以这 60 元就对应651份,那么甲支出了60 6360元,所以甲本月收入为360240600元【答案】600元【例例 23】幼儿园大班和中班共有 32 名男生,18 名女生已知大班男生数与女生数的比为5:3,中班男生数与女生数的比为2:1,那么大班有女生多少名?【考点】比例应用题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】由于男、女生人数有比例关系,而且知道总数,所以可以用鸡兔同笼的方法假设 18 名女生全部9是大班,则大班男生数：女生数5:330:18,即男生应有 30 人,实际上男生有 32 人,相差 2 个人;又中班男生数：女生数2:16:3,以 3 个中班女生换 3 个大班
29、女生,每换一组可增加 1 个男生,所以需要换 2 组;所以,大班女生有183212(名)【答案】12名【例例 24】参加植树的同学共有720人,已知六年级与五年级人数的比是3:2,六年级比四年级多80人,三个年级参加植树的各有多少人?【考点】比例应用题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】假设四年级和六年级人数同样多,则参加植树的同学共有72080800人,四、五、六三个年级的人数比为3:2:3,知道三个量的和及它们的比,就可以按比例分配,分别求出三个年级参加植树的人数六年级：3800300323人;五年级：2800200323人;四年级：30080220人【答案】六年级：300人;五年级：200人;四年级：220人