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1、三校联考 高二数学试卷 第 1 页（共 4 页） 2020 学年第二学期期末三校联考 高二数学高二数学 命题学校：广州市铁一中学 命题人： 审题人：命题学校：广州市铁一中学 命题人： 审题人： 本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设全集UR，集合22|23,|11AxR xxBxRx，则()UAC B ( ) A. |113x xx 或 B. |1x x C. |13xx D. | 11xx 2 “sincos”是“cos20” 的( )条件
2、A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分又不必要 3函数 2eexxf xx的图像大致为( ) 4二项式53(2)xx的展开式中，3x的系数为( ) A. -80 B. 80 C. -40 D. 40 5.已知样本12,.,nx xx的平均数为x，样本12,.,my yy的平均数为y ()yx.若样本1212,.,.,nmx xxy yy的平均数(1)zaxa y，其中112a，则,( ,)n m n mN的大小关系为( ) A. nm B. nm C. nm D. nm 6 已知等比数列na的前n项积为nT， 若14824,9aa ， 则当nT取最大值时，n的值为( )
3、 A.10 B.8 C.6 D.4 三校联考 高二数学试卷 第 2 页（共 4 页） 7一个旅游景区的游览线路如图所示,某人从P点处进,Q点处出,沿图中线路游览, ,A B C三个景点及沿途风景,则不重复(除交汇点O外)的游览线路有( ) A.6 种 B.8 种 C.12 种 D.48 种 8已知F为抛物线2:4C yx的焦点,过F作两条互相垂直的直线12,l l,直线1l与C交于,A B两点,直线2l与C交于,D E两点,则当|ABDE取得最小值时， 四边形ADBE的面积为 ( ) A.32 B.16 C.24 D.8 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题分，共 20 分。在每小题给出
4、的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分 9已知123,z zzC，且30z ，下列说法正确的是( ) A若1 32 3,z zz z则12zz B若2212zz，则12| |zz C1133|zzzz D1 212z zz z 10 已知双曲线22:14xEy 的右焦点为F， 过F的动直线l与E相交于,A B两点， 则 ( ) A.曲线E与椭圆2216yx 有公共焦点 B. 曲线E的离心率为52， 渐近线方程为20 xy C. |AB的最小值为 1 D. 满足| 4AB 的直线l有且仅有 4 条 11若点M是正方体1111ABCDABC
5、D的侧面11ADD A内的一个动点，则( ) A满足1CMAD的点M的轨迹为线段 B点M存在无数个位置满足直线1/ /BM平面1BC D C在线段1AD上存在点M，使异面直线1B M与CD所成的角是30 D若正方体的棱长为 1，三棱锥1BC MD的体积的最大值为13 12已知函数 sin coscos sinf xxx，其中 x表示不超过实数x的最大整数，则( ) A f x的一个周期是2 B f x是偶函数 三校联考 高二数学试卷 第 3 页（共 4 页） C f x在0,单调递减 D f x的最大值大于2 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题分，共 20 分 13曲线1lnyxx在1x
6、处的切线与坐标轴围成的封闭图形的面积为 _ 14已知0,0,23xyxy，则23xyxy的最小值为 _ 15有 2 个人在一座 10 层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这两人在不同层离开电梯的概率为 _ 16 设,O H分别为斜ABC的外心与垂心， 若()()OHm OA OBOC mR， 则m _ _. 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在ABC中，内角 A,B,C 的对边分别为, ,a b c，已知2222sinsinsinbcaBAbcC （I）求角 C 的值； （II）若4ab
7、，当边c取最小值时，求ABC的面积 18 （12 分）已知数列na的前n项和为nS,111,0,1nnnnaaa aS,其中为常数. （I）证明:2nnaa； （II）当数列na为等差数列时，记数列3nna的前n项和为nT，证明：1nT . 19 （12 分）在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O的直径,FB是圆台的一条母线. （I）已知,G H分别为,EC FB的中点,求证: GH平面ABC； （II）已知12 3,2EFFBACABBC，求平面FBC与平面ABC的夹角的余弦值. 三校联考 高二数学试卷 第 4 页（共 4 页） 20（12 分）某农科所培育一种新型水稻
8、品种,首批培育幼苗 2 000 株,株长均介于 185 mm235 mm,从中随机抽取 100 株对株长进行统计分析,得到如下频率分布直方图: （I）求样本平均株长x和样本方差2S (同一组数据用该区间的中点值代替)； （II）假设幼苗的株长X服从正分布2( ,)N ,其中近似为样本平均数x,2近似为样本方差2S,试估计 2 000 株幼苗的株长位于区间(201,219)的株数； （III）在第（II）问的条件下,选取株长在区间(201,219)内的幼苗进入育种试验阶段.若每株幼苗开花的概率为34,开花后结穗的概率为23,设最终结穗的幼苗株数为,求的数学期望. 附:839； 若2( ,)XN
9、,则()0.683; (22 )0.954;PXPX (33 )0.997PX. 21 （12 分）已知椭圆2222:1(0)xyEabab的左右焦点分别为12,F F,离心率为 ，点P为E上一动点,且12FPF的面积的最大值为3. （I）求E的方程； （II）设E的左顶点为1A,过右焦点2F的直线l与椭圆相交于,A B两点,连结11,A A AB并延长分别交直线4x 于,P Q两点,请判断直线2F P与直线2F Q的位置关系，并证明你的结论. 22 （12 分）设函数( )2()xf xeaxaR. （I）求( )f x的单调区间； （II）若1,ak为整数， 且当0 x 时，( )11kx
10、fxx恒成立， 求k的最大值.(其中( )fx为( )f x的导函数.) 1 / 5 20202020 学年第学年第二二学期期学期期末末三校联考三校联考 高二数学参考答案高二数学参考答案 一一、单选题单选题（每小题（每小题 5 分，共分，共 40 分）分） 1 2 3 4 5 6 7 8 A B B C C D D A 二、多选题二、多选题（每小题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 9 10 11 12 ACD BC ABD AD 三三、填空题（每小题填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13. 94 14. 2 21 15. 89 16. 1 四四、解答题（第解答题（第
11、17 题题 10 分，其余各题分，其余各题 12 分，共分，共 70 分分. 解答应写出文字说明、证明过程或解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤演算步骤 ） 17. 解:(I)由条件及正弦定理，得2222bcabab 整理得222abcab.2 分 由余弦定理，得2221cos222abcabCabab.4 分 又C是三角形的内角,3C.5 分 (II)由(1)及余弦定理，得222222coscababCabab.6 分 4ab,2222()3163cababababab .7 分 22163163 ()42abcab (当且仅当2ab时等号成立). .9 分 c的最小值为 2，此时1sin
12、32ABCSabC. .10 分 18.(I)证明:由题设11nnna aS,得1211nnnaaS. .1 分 两式相减，得121()nnnnaaaa . .3 分 10na,2nnaa . .4 分 2 / 5 (II)由11a ,1211a aa,得21a,由(I)知,311aa. 当na为等差数列时，令2312aaa,解得4. .5 分 而当4时，24nnaa.此时，21na是首项为 1,公差为 4 的等差数列,故211 4(1)2(21) 1nann ； 2na是 首 项 为 3, 公 差 为 4 的 等 差 数 列 , 故2134(1)2 21nann，所以21nan,12nnaa
13、，na为等差数列. 故当na为等差数列时，21nan. .7 分 由12313521.3333nnnT，得2341113521.33333nnnT 两式相减，得2312122221.333333nnnnT 21121(1)1213313313nnn 122233nn. .11 分 1113nnnT .12 分 19. (I)证明:取FC的中点为I,连接,GI HI. 在CEF中,点G是CE的中点,GIEF. 又EFOB,GIOB. ,GIABC OBABC平面平面,GIABC平面 在CFB中,H是FB的中点,HIBC. ,HIABC BCABC平面平面,HIABC平面 又HIGII,HIGHI
14、平面,GIGHI平面,GHIABC平面平面. GHGHI平面,GHABC平面 . .5 分 3 / 5 (II)解法一:连接OO,则OOABC平面. 又=AB BC,且AC是圆O的直径,BOAC. 如图，以 O 为坐标原点建立空间直角坐标系 O-xyz，则 (0,2 3,0), ( 2 3,0,0BC ），故=( 2 3, 2 3,0BC）,过F作FM垂直OB于点M，则22|= |3FMFBBM,故(0, 3,3F）. (0,3,3BF ），设( , , )mx y z是平面BCF的法向量,则 . .7 分 2 32 30330m BCxym BFyz 取3y ，得3,1xz ，(3, 3,1
15、)m 为平面BCF的一个法向量. .9 分 取平面ABC的一个法向量为(0,0,1)n ,则7cos,7|m nm nm n.11分 平面FBC与平面ABC的夹角的余弦值为77.12 分 解法二:连接OO.过点F作,FMOBM为垂足,则有FMOO. 又OOABC平面,FMABC平面. 在Rt FBM中，223FMFBBM. 过点M作MN垂直BC于点N,连接FN， 则由三垂线定理，得FNBC, 又因02FNM ,故FNM为平面FBC与平面ABC的夹角. .9 分 又=AB BC, AC是圆O的直径,6sin452MNBM 从而22422FNFMMN,7cos7MNFNMFN 故平面FBC与平面A
16、BC的夹角的余弦值为77. .12分 4 / 5 20.(I)190 0.02200 0.315210 0.35220 0.275230 0.04210,x 222222( 20)0.02( 10)0.31500.35 100.275200.0483S . 4分 (II)由(I)知，210,839xS,(201219)()0.683PXPX , 2 0000.683=1 366, 2 000 株幼苗的株长位于区间(201,219)内的株数大约是 1 366. .8 分 (III)由题意,进入育种试验阶段的幼苗株数为 1 366,每株幼苗最终结穗的概率321432P ,则1(1366, )2B，
17、所以1( )13666832E. .12 分 21.(I)由E的离心率为12,可设,2 ,ct at则3 (0)bt t.1 分 又12FPF面积取最大值3时,点P为短轴端点. .2 分 12332tt,结合0t ，解得1t . . .4 分 E的方程为22143xy. .5 分 (II) 直线2F P与直线2F Q相互垂直，证明如下：.6 分 依题意，可设直线AB的方程为11221, ( ,), (,)xtyA x yB xy，则 由221143xtyxy，得22(34)690tyty，显然223636(34)0tt 由韦达定理，得122634tyyt,122934y yt .8 分 直线1
18、AA的方程为11(2)2yyxx,令4x ，得1162yyx，116(4,)2yPx 直线1BA的方程为22(2)2yyxx，令4x ，得2262yyx，226(4,)2yQx 又2(1,0)F,故1216(3,)2yF Px,2226(3,)2yF Qx .10 分 5 / 5 12221266922yyF P F Qxx212221212229363634990963 () 9393434y yttt y yt yytttt .12分 22F PF Q，即22F PF Q . 22.(I)函数( )2xf xeax的定义域是R，( )xfxea. 若0a ，则( )0 xfxea， 函数(
19、 )2xf xeax在(,) 上单调递增；.1 分 若0a ， 则当(,ln )xa 时，( )0 xfxea； 当( l n ,)xa时，( )0 xfxea； ( )f x在(,ln )a上单调递减，在(ln ,)a 上单调递增. .4 分 (II)由于1,0,ax故( )11kxfxx()(1)1xkx ex11xxkxe.5 分 令1( )(0)1xxg xx xe，则( )kg x. 221(2)( )1(1)(1)xxxxxxee exg xee ，令( )2(0)xh xexx,则( )10 xh xe , ( )h x在(0,)上单调递增. (1)0, (2)0hh，( )h x在(0,)上存在唯一零点，设此零点为0 x，则0(1,2)x . 当0(0,)xx时，( )0,( )0h xg x；当0(,)xx时，( )0,( )0h xg x. ( )g x在0(0,)x上单调递减，在0(,)x 上单调递增. .9 分 00min001( )()1xxg xg xxe. .10 分 由0()0h x得002xex，故00()1(2,3)g xx . 0()kg x，且k为整数，所以k的最大值为 2. .12 分