广东省茂名市2020-2021高二下学期数学期末试卷及答案.pdf

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1、 2020-2021 学年广东省茂名市高二（下）期末数学试卷学年广东省茂名市高二（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合0A =，1，2，3，4，2 |40Bx xx=，4220212022xx+，则p为( ) A1x ，4220212022xx+ B1x ，4220212022xx+ C1x ，4220212022xx+ D1x ，4220212022xx+ 3 （5 分） 已知双曲线2

2、222:1(0,0)xyCabab=的一条渐近线为第一象限与第三象限的角平分线，则C的离心率为( ) A2 B3 C2 D3 4 （5 分）已知倾斜角为的直线l与直线:30lxy=平行，则222sin2cos2cossin的值为( ) A3 B57 C518 D3 5 （5 分）冼夫人故里、放鸡岛、窦州古城、茂名森林公园这 4 个景区均为广东茂名市的热门旅游景区 现有 5 名学生决定于今年暑假前往这 4 个景区旅游， 若每个景区至少有 1 名学生前去，且每名学生只去一个景点，则不同的旅游方案种数为( ) A120 B180 C240 D360 6 （5 分）某圆柱的轴截面是周长为 4 的矩形，

3、则该圆柱的侧面积的最大值是( ) A2 B C32 D2 7 （5 分）记ABC的面积为S，若10ACBC+=，6AB =，则S的最大值为( ) A4 B6 C12 D24 8 （5 分）草地贪夜蛾是一种起源于美洲的繁殖能力很强的农业害虫，日增长率为8%，若100 只草地贪夜蛾经过t天后， 数量落在区间6(2 10，72 10 内， 则t的值可能为( )（参考数据：1.080.0334lg，20.301)lg A80 B120 C150 D200 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出

4、的选项中，有多项符合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）已知复数z满足7(1)2zii+=，则( ) Az的虚部为12 Bz的共轭复数为3122i C252z = Dz在复平面内对应的点位于第二象限 10 （5 分）茂名市某单位在定点帮扶贫困村A村的过程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高A村村民 2016，2017，2019，2020 年这 4 年的人均年纯收入y（单位：万元）与年份代号x之间的一组数据如表所示： 年份 2016 2017 2019 2020 年份代

5、号x 4 5 7 8 人均年纯收入y 2.1 m n 5.9 若y与x线性相关，且求得其线性回归方程为2yx=，则下列说法错误的是( ) A人均纯收入y（单位：万元）与年份代号x负相关 B8mn+= C从 2016 年起，每经过 1 年，村民人均年纯收入约增加 1 万元 D2023 年A村人均年纯收入约为 11 万元 11 （5 分）已知函数( )2sin()(0f xx =+，|)m，则使不等式( ) 32xf xe +成立的x的值不可能为( ) A2 B1 C1 D2 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知向

6、量(3,4)a =，| 3b =，(3)abb，则向量a，b夹角的余弦值为 14 （5 分）已知等比数列na的前n项和为nS，12a =，234512a a a =，则2a的值为 ，若1(2)nnaan，则10S= 15 （5 分）已知函数( )f x为定义在R上的偶函数，且( )f x在区间(0,1)内单调递减，在区间(1,)+上单调递增，写出一个满足条件的函数( )f x = 16 （5 分）16、在我国古代数学名著九章算术中，将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵” 如图，已知三棱柱111ABCABC是一“堑堵” ， 2ACBC=，13AA =，点D为11BC的中点则三棱锥DABC的外接球

7、的表面积为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）在416S =，2151(2)a aa=+，2nSntn=+三个条件中任选一个，补充到下面问题并解答 已知等差数列na的前n项和为nS，23a =，_，若11nnnba a+=，求数列 nb的前n项和 nT 18 （12 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且3sin3cosAAbc+= （1）求角B的大小； （2）若ABC的面积为3，且ABC的外接圆半径为2 33，试判断ABC的形状，并说明理由 1

8、9 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，ABBC，/ /BCAD，1ABBC=，2AD =，3AP = （1）证明：平面PCD 平面PAC； （2）求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值 20 （12 分）随着智能手机的迅速普及，外卖点餐也开始成为不少人日常饮食中的一部分，但方便群众生活的同时，部分外卖派送人员诸如服务态度差、派送不及时、包装损坏等一系列问题也让市民感到不满，影响了整个行业的持续健康发展A市外卖行业协会为掌握本市外卖派送人员的服务质量水平， 随机选取了 200 名外卖派送人员， 并针对他们的服务质量细化打分，根据他们的服务质量得分分成以下 6 组

9、：40，50)，50，60)，60，70)，90，100，统计得出以下频率分布直方图： （1）求这 200 名外卖派送人员服务质量的平均得分x（每组数据以区间的中点值为代表） ； （2）A市外卖派送人员的服务质量得分Z（单位： 分） 近似地服从正态分布(N，214.31 )，其中近似为样本平均数x若A市恰有 2 万名外卖派送人员，试估计这些外卖派送人员服务质量得分位于区间(41.88，84.81的人数； （3） 为答谢外卖派送人员积极参与调查， 该协会决定给所抽取的这 200 人一定的现金补助，并准备了两种补助方案 方案一：按每人服务质量得分进行补助，每 1 分补助 4 元； 方案二： 以抽奖

10、的方式进行补助， 得分不低于中位数t的可抽奖 2 次， 反之只能抽奖 1 次 在每次抽奖中，若中奖，则补助 200 元/次，若不中奖，则只补助 100 元/次，且假定每次中 奖的概率均为25 问：哪一种补助方案补助总金额更低 参 考 数 据 ： 若 随 机 变 量Z服 从 正 态 分 布2( ,)N ， 即 ( ,2)Z ， 则()0.6827PZ+=，(22 )0.9545PZ时，讨论函数( )f x的单调性； （2）当0 x 时，若不等式3( ) 222xf xexx恒成立，求实数a的取值范围 22 （12 分）已知圆22:20O xy+=与抛物线2:2(0)C ypx p=相交于M，N两

11、点，且| 8MN = （1）求C的标准方程； （2）过点(3,0)P的动直线l交C于A，B两点，点Q与点P关于原点对称，求证：2AQBAQP= 2020-2021 学年广东省茂名市高二（下）期末数学试卷学年广东省茂名市高二（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合0A =，1，2，3，4，2 |40Bx xx=，则AB中元素的个数为( ) A2 B3 C

12、4 D5 【考点】交集及其运算 【分析】先利用一元二次不等式的解法求出集合B，再利用集合交集的定义求出AB，由元素的定义求解即可 【解答】解：因为集合0A =，1，2，3，4，2 |40 |04Bx xxxx=，4220212022xx+，则p为( ) A1x ，4220212022xx+ B1x ，4220212022xx+ C1x ，4220212022xx+ D1x ，4220212022xx+ 【考点】命题的否定 【分析】根据题意，由全称命题的否定方法，先变量词，再否结论，即可得答案 【解答】解：根据题意，命题:1px ，4220212022xx+，是全称命题， 其否定p为：1x ，4

13、220212022xx+； 故选：C 【点评】本题考查命题的否定，涉及全称命题和特称命题的概念，属于基础题 3 （5 分） 已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab=的一条渐近线为第一象限与第三象限的角平分线，则C的离心率为( ) A2 B3 C2 D3 【考点】双曲线的性质 【分析】由双曲线的渐近线方程可得1ba=，再由离心率公式得答案 【解答】解：由题意可知双曲线的一条渐近线方程为yx=，即1ba=， 双曲线C的离心率2212bea=+= 故选：A 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线离心率的求法，是基础题 4 （5 分）已知倾斜角为的直线l与直线:30lxy=平行，则222

14、sin2cos2cossin的值为( ) A3 B57 C518 D3 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【分析】根据题意，分析可得tan3=，又由三角函数的恒等变形公式分析可得答案 【解答】解：根据题意，倾斜角为的直线l与直线:30lxy=平行， 则tan3=， 则有2222222sin2cos2sincoscos2tan152cossin2cossin2tan7= ， 故选：B 【点评】本题考查三角函数的恒等变形，涉及直线的切斜角与斜率的关系，属于基础题 5 （5 分）冼夫人故里、放鸡岛、窦州古城、茂名森林公园这 4 个景区均为广东茂名市的热门旅游景区 现有 5 名学生决定于今年暑假前

15、往这 4 个景区旅游， 若每个景区至少有 1 名学生前去，且每名学生只去一个景点，则不同的旅游方案种数为( ) A120 B180 C240 D360 【考点】排列、组合及简单计数问题 【分析】根据题意，分 2 步进行分析：将 5 名学生分为 4 组，将分好的四组全排列，安排到 4 个景区旅游，由分步计数原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： 将 5 名学生分为 4 组，有2510C =种分组方法， 将分好的四组全排列，安排到 4 个景区旅游，有4424A =种安排方法， 则有1024240=种安排方法； 故选：C 【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的

16、应用，属于基础题 6 （5 分）某圆柱的轴截面是周长为 4 的矩形，则该圆柱的侧面积的最大值是( ) A2 B C32 D2 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【分析】设该圆柱的底面圆半径为r，高为h，由题意得到r和h的关系，由侧面积公式以及基本不等式求解最值即可 【解答】解：设该圆柱的底面圆半径为r，高为h， 则2(2)4rh+=， 所以22rh+=， 该圆柱的侧面积2222()2rhSrhrh+=， 当且仅当21rh=时取等号， 所以该圆柱的侧面积的最大值是 故选：B 【点评】 本题考查了圆柱几何性质的应用， 圆柱的侧面积公式的应用以及基本不等式求解最值

17、的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题 7 （5 分）记ABC的面积为S，若10ACBC+=，6AB =，则S的最大值为( ) A4 B6 C12 D24 【考点】正弦定理；椭圆的性质 【分析】以AB的中点O为原点，直线AB为x轴，直线OC为y轴，建立如图所示直角坐标系，结合椭圆的定义和三角形的面积公式，即可求解 【解答】解：以AB的中点O为原点，直线AB为x轴，直线OC为y轴，建立如图所示直角坐标系， 由椭圆的定义易知，点C的轨迹是分别以A，B为左、右焦点的椭圆（不含长轴两端点） ， 且3c =，5a =， 则4b =，故该椭圆的标准方程为221(0)2516xyy+=， 则三

18、角形面积11|641222SAByc= =，当且仅当| |ACBC=时取等号 故选：C 【点评】本题主要考查了椭圆的定义和三角形的面积公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题 8 （5 分）草地贪夜蛾是一种起源于美洲的繁殖能力很强的农业害虫，日增长率为8%，若100 只草地贪夜蛾经过t天后， 数量落在区间6(2 10，72 10 内， 则t的值可能为( )（参考数据：1.080.0334lg，20.301)lg A80 B120 C150 D200 【考点】根据实际问题选择函数类型 【分析】由题意可得67100(10.08)2 10100(10.8)2 10tt+，两边取对数得1.08241.0

19、825tlglgtlglg+，再结合1.080.0334lg，20.301lg，即可求解 【解答】解：由题意可得67100(10.08)2 10100(10.8)2 10tt+，两边取对数得1.08241.0825tlglgtlglg+， 240.3014128.771291.080.0334lgtlg+， 且250.3015158.711591.080.0334lgtlg+， 即(129,159)t，对照各选项，只有C符合 故选：C 【点评】 本题考查了对数函数的实际应用， 需要学生熟练掌握对数函数的公式， 属于基础题 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小

20、题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）已知复数z满足7(1)2zii+=，则( ) Az的虚部为12 Bz的共轭复数为3122i C252z = Dz在复平面内对应的点位于第二象限 【考点】复数的运算；复数的代数表示法及其几何意义 【分析】先利用复数的除法运算求出z的代数形式，然后由虚部的定义、共轭复数的定义、复数的几何意义以及复数的乘法运算对四个选项逐一判断即可； 【解答】解：因为722(1)

21、(2)3111222iii iziii += = +， 所以z的虚部为12，z的共轭复数为3122i， 它在复平面内对应的点3 1(, )2 2位于第二象限， 故A正确，B正确，D正确； 22313()2222zii= +=，故C错误 故选：ABD 【点评】本题考查了复数的综合应用，涉及了复数的乘法和除法运算，虚部的定义、共轭复数的定义、复数的几何意义的应用，考查了运算能力，属于基础题 10 （5 分）茂名市某单位在定点帮扶贫困村A村的过程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高A村村民 2016，2017，2019，2020 年这 4 年的人均年纯收入y（单位：万元）与年份代

22、号x之间的一组数据如表所示： 年份 2016 2017 2019 2020 年份代号x 4 5 7 8 人均年纯收入y 2.1 m n 5.9 若y与x线性相关，且求得其线性回归方程为2yx=，则下列说法错误的是( ) A人均纯收入y（单位：万元）与年份代号x负相关 B8mn+= C从 2016 年起，每经过 1 年，村民人均年纯收入约增加 1 万元 D2023 年A村人均年纯收入约为 11 万元 【考点】线性回归方程 【分析】 由回归直线的斜率为10判断A； 求出x， 可得y， 再由y的平均数列式可得mn+ 的值判断B；由回归直线斜率的几何意义判断C；求出 2013 年的年份代号，代入回归直

23、线方程求得y判断D 【解答】解：由回归直线的斜率为 1，得人均年纯收人y（单位：万元）与年份代号x正相关；A错误； 457864x+=，624y =， 于是得2.15.944mn+=， 解得8mn+=，B正确； 由x每增加 1，y约增 1，可知每经过 1 年，村民人均年纯收人约增加 1 万元，C正确； 2023 年的年份代号为 11， 故1129y =， 故可估计 2023 年A村人均年纯收人约为 9 万元，D错误 故选：AD 【点评】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题 11 （5 分）已知函数( )2sin()(0f xx =+，|)m的部分图象如图所示，

24、5|2AB =，则下列结论正确的是( ) A3= B6= C把函数( )f x的图象向左平移32个单位长度后得到函数( )2cos3xg x= 的图象 D 把( )f x图象上所有点的横坐标缩短为原来的6倍， 纵坐标不变， 得到的函数在,4 2 上是减函数 【考点】函数sin()yAx=+的图象变换；由sin()yAx=+的部分图象确定其解析式 【分析】直接利用三角函数的关系式的变换，函数的图象的伸缩变换，正弦型函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论 【解答】 解： 设点A在x轴上的投影为C， 则| 2AC =，22253|442BCABAC=， 3( ,2)2C 1333422T =， 6

25、T=， 263=， 33( )2sin()2232f=+=， 2()22kkZ+=+， 又|，则使不等式( ) 32xf xe +成立的x的值不可能为( ) A2 B1 C1 D2 【考点】利用导数研究函数的单调性 【分析】设( )2( )xf xF xe=，求导分析单调性，得函数( )F x在定义域R上单调递减，由(0)5f=，则(0)3F=，不等式( ) 32xf xe+等价于( )23xf xe，即( )(0)F xF，即可得出答案 【解答】解：设( )2( )xf xF xe=，则( )( )2( )xfxf xF xe+=， ( )( )2f xfx， ( )( )20fxf x+，

26、 ( )0F x，即函数( )F x在定义域R上单调递减 (0)5f=，(0)3F=， 不等式( ) 32xf xe +等价于( )23xf xe，即( )(0)F xF， 解得0 x故不等式的解集为0，)+ 故选：AB 【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分） 已知向量(3,4)a =，| 3b =，(3)abb， 则向量a，b夹角的余弦值为 15 【考点】数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系 【分析】可根据(3)abb求出3a b

27、=，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出cos, a b的值 【解答】解：由(3)abb，得2(3)30abba bb=，且| 3b =， 所以2133a bb=，且| 5a =， 所以31cos,5 35|a ba ba b= 故答案为：15 【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题 14 （5 分） 已知等比数列na的前n项和为nS，12a =，234512a a a =， 则2a的值为 4 ，若1(2)nnaan，则10S= 【考点】等比数列的前n项和 【分析】 根据等比数列的性质可得33234512aa a a=， 解得3a后

28、利用213aa a= 求出2a的值；若1(2)nnaan可得q为正数，利用21aqa=求出q值后根据等比数列前n项和即可求出10S的值 【解答】解：由234512a a a =得33512a =，38a=，2134aa a= = ；设等比数列na的 公比为q， 若1(2)nnaan，则q为正数，故21422aqa=，10102(12 )204612S= 故答案为：4；2046 【点评】 本题考查等比数列的通项公式， 前n项和； 考查学生的运算求解能力， 属于基础题 15 （5 分）已知函数( )f x为定义在R上的偶函数，且( )f x在区间(0,1)内单调递减，在区间(1,)+上单调递增，写

29、出一个满足条件的函数( )f x = 2|1|x （答案不唯一） 【考点】奇偶性与单调性的综合 【分析】通过偶函数的定义以及函数单调性，考虑符合条件的一个函数即可 【解答】解：若2( ) |1|f xx=， 则22() |()1| |1|( )fxxxf x= =， 所以( )f x为偶函数， 当0 x 时，( )f x在区间(0,1)内单调递减，在区间(1,)+上单调递增， 故( )f x的解析式可以是2( ) |1|f xx= 故答案为：2|1|x （答案不唯一） 【点评】本题考查了函数性质的应用，主要考查了函数的奇偶性以及单调性的应用，属于开放性问题，对学生分析问题和解决问题的能力有一定

30、的要求，属于中档题 16 （5 分）16、在我国古代数学名著九章算术中，将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵” 如图，已知三棱柱111ABCABC是一“堑堵” ， 2ACBC=，13AA =，点D为11BC的中点则三棱锥DABC的外接球的表面积为 283 【考点】球的体积和表面积 【分析】取AB的中点E，BC的中点F，连接EF，DF，证明DF 平面ABC，三棱锥 DABC的外接球的球心为O，连接OA，求解三角形可得OA，再由球的表面积公式得答案 【解答】解：如图， 取AB的中点E，BC的中点F，连接EF，则/ /EFAC，且112EFAC= EFBC，又1EFCC，1BCCCC=， EF平面1

31、1BCC B，连接DF，则1DFCC=，且1/ /DFCC， DF平面ABC 设该球的球心为O，设DBC的外心为1O，连接1OO，则1OO 平面11BCC B， 1/ /OOEF，连接OE，EF，OA，由E是ABC的外心得OE 平面ABC， / /OEDF，可得四边形1OO FE为矩形 22221132CDBDCFFDCFAA=+=+=+=， DBC为等边三角形，可知11333OEO FDF=， 则2222237()( 2)33OAOEAE=+=+=， 得三棱锥DABC的外接球的表面积为22843SOA= 故答案为：283 【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，

32、考查运算求解能力，是中档题 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）在416S =，2151(2)a aa=+，2nSntn=+三个条件中任选一个，补充到下面问题并解答 已知等差数列na的前n项和为nS，23a =，_，若11nnnba a+=，求数列 nb的前n项和nT 【考点】数列的求和 【分析】设数列na的公差为d若选择：根据23a =，416S =可解得1a和d的值，进而可得na，又11nnnba a+=，可利用裂项求和法求数列 nb的前n项和nT；若选择：

33、由23a =，2151(2)a aa=+建立关于1a和d的方程组即可解出1a和d的值，又11nnnba a+=，可利用裂项求和法求数列 nb的前n项和nT；若选择：利用222224Stt=+=+，2111Stt=+ = +解得t值后再根据1(2)nnnaSSn=解得na，易知11aS=满足上式，又11nnnba a+=，可利用裂项求和法求数列 nb的前n项和nT 【解答】解：设数列na的公差为d若选： 由23a =，416S =，得113434162adad+=+=，解得11a =，2d =，所以21nan= 因为11nnnba a+=，所以1111()(21)(21)2 2121nbnnnn

34、=+ 则1231111111111.(1)()().()(1)233557212122121nnnTbbbbnnnn=+=+=+ 若选：由23a =，2151(2)a aa=+，得121113(4 )(2)ada ada+=+=+，解得11a =，2d =，所以21nan= 因为11nnnba a+=，所以1111()(21)(21)2 2121nbnnnn=+ 则1231111111111.(1)()().()(1)233557212122121nnnTbbbbnnnn=+=+=+ 若 选 择 ： 因 为2nSntn=+， 所 以222224Stt=+=+，2111Stt=+ = +， 所

35、以 22133aSSt= +=，解得0t =， 则221(1)21(2)nnnaSSnnnn=又111aS=满足上式，所以21nan= 因为11nnnba a+=，所以1111()(21)(21)2 2121nbnnnn=+ 则1231111111111.(1)()().()(1)233557212122121nnnTbbbbnnnn=+=+=+ 【点评】本题主要考查等差数列的通项公式与前n项和、裂项求和法，考查学生的推理论证和运算求解能力，属于基础题 18 （12 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且3sin3cosAAbc+= （1）求角B的大小； （2）若ABC的面积为3

36、，且ABC的外接圆半径为2 33，试判断ABC的形状，并说明理由 【考点】正弦定理；余弦定理 【分析】 （1）根据已知条件，结合正弦定理，可得3sinsin(sin3cos)CBAA=+，再结合正弦函数的两角和公式，即可求解 （2）由ABC的面积为3，可推得4ac =，并且ABC的外接圆半径为2 33，结合正弦定理，可得2b =，再运用余弦定理，即可求解 【解答】解： （1）由正弦定理及3sin3cosAAbc+=， 得3sin3cossinsinAABC+=， 3sinsin(sin3cos)CBAA=+， sinsin()sin()CABAB=+=+， 3sin()sinsin3cossi

37、nBABAAB+=+， 3cossinsinsinBAAB=， sin0A ， 3cossinBB=，即tan3B =， (0, )B， 3B= （2）ABC为等边三角形 理由如下：1sin32ABCSacB=，即1sin323ac=， 4ac=， ABC的外接圆半径为2 33， 2 32sin23bB= 由余弦定理得222222cosbacacBacac=+=+， 即2224bac=+， 228ac+=， 由得2ac=， ABC为等边三角形 【点评】 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用， 考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题 19 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，P

38、A 平面ABCD，ABBC，/ /BCAD，1ABBC=，2AD =，3AP = （1）证明：平面PCD 平面PAC； （2）求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值 【考点】平面与平面垂直；二面角的平面角及求法 【分析】 （1）在梯形ABCD中，过点C作CHAD于点H，利用勾股定理证明ACCD，由AP 平面ABCD，可得CDAP，利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面PCD的法向量，由向量的夹角公式求解即可 【解答】 （1）证明：在梯形ABCD中，过点C作CHAD于点H， 由题意可知

39、1CHAB=，1AHHD=， 所以222ACABBC=+=，222CDCHHD=+= 则2224ACCDAD+=，即ACCD， 因为AP 平面ABCD，CD 平面ABCD， 所以CDAP， 又ACAPA=，所以CD 平面PAC， 又由CD 平面PCD，所以平面PCD 平面PAC； （2）解：因为AB，AD，AP两两垂直， 所以以A为原点，以AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz， 可得(0A，0，0)，(1B，0，0)，(1C，1，0)，(0D，2，0)，(0P，0，3)， 所以(1,1, 3)PC = ，(0,2, 3)PD = ， 设平面PCD的法向量为(

40、, , )nx y z=， 则30230n PCxyzn PDyz=+= ， 取3y =，则2z =，3x =， 则(3,3,2)n =， 平面PAB的一个法向量为(0,2,0)AD =， 所以3 22cos,22|AD nAD nAD n=， 所以平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值为3 2222 【点评】 本题考查了立体几何的综合应用， 涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题 20 （12 分）随着智能手机的迅速普及，外卖点餐也开始成为不少人日常饮食中的一部分

41、，但方便群众生活的同时，部分外卖派送人员诸如服务态度差、派送不及时、包装损坏等一系列问题也让市民感到不满，影响了整个行业的持续健康发展A市外卖行业协会为掌握本市外卖派送人员的服务质量水平， 随机选取了 200 名外卖派送人员， 并针对他们的服务质量细化打分，根据他们的服务质量得分分成以下 6 组：40，50)，50，60)，60，70)，90，100，统计得出以下频率分布直方图： （1）求这 200 名外卖派送人员服务质量的平均得分x（每组数据以区间的中点值为代表） ； （2）A市外卖派送人员的服务质量得分Z（单位： 分） 近似地服从正态分布(N，214.31 )，其中近似为样本平均数x若A市

42、恰有 2 万名外卖派送人员，试估计这些外卖派送人员服务质量得分位于区间(41.88，84.81的人数； （3） 为答谢外卖派送人员积极参与调查， 该协会决定给所抽取的这 200 人一定的现金补助，并准备了两种补助方案 方案一：按每人服务质量得分进行补助，每 1 分补助 4 元； 方案二： 以抽奖的方式进行补助， 得分不低于中位数t的可抽奖 2 次， 反之只能抽奖 1 次 在每次抽奖中，若中奖，则补助 200 元/次，若不中奖，则只补助 100 元/次，且假定每次中奖的概率均为25 问：哪一种补助方案补助总金额更低 参 考 数 据 ： 若 随 机 变 量Z服 从 正 态 分 布2( ,)N ，

43、即 ( ,2)Z ， 则()0.6827PZ+=，(22 )0.9545PZ+= 【考点】频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差；正态分布曲线的特点及曲线所表 示的意义 【分析】 （1）由频率分布直方图列出组中值与频率的表格，由平均数的计算公式求解即可； （2）利用正态分布曲线的对称性求出服务质量得分位于区间(41.88，84.81的概率，再由频率、频数与样本容量的关系求解即可； （3）先求出方案一所补助的费用，对于方案二，设一个人所得补助为Y元，先求出随机变量Y的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解，再比较大小即可 【解答】解： （1）由题意知： 中间值

44、45 55 65 75 85 95 概率 0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1 所以样本平均数为450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5x =+= 所以这 200 名外卖派送人员服务质量的平均得分为 70.5； （2）由（1）可知70.5x =，故70.5=， 所以(2，(70.52 14.31+=，70.514.31(41.88+=，84.81， 而11(2)(22 )()0.818622PZPZPZ+=+=， 故 2 万 名 外 卖 派 送 人 员 中 服 务 质 量 得 分 位 于 区 间(41.88，84.81的 人 数 约 为200000

45、.818616372=（人)； （3）按方案一：所补助的总费用为200420070.5456400 x =（元)； 按方案二：设一个人所得补助为Y元，则Y的可能取值为 100，200，300，400， 由题意知，1()()2P xtP x t=， 133(100)2510P Y =， 1213319(200)2525550P Y =+=， 1321236(300)25525525P Y =+=， 1222(400)25525P Y =， 所以Y的分布列为： Y 100 200 300 400 P 310 1950 625 225 则31962( )10020030040021010502525

46、E Y =+=， 故估算补助的总金额为：20021042000=（元) 又4200056400时，讨论函数( )f x的单调性； （2）当0 x 时，若不等式3( ) 222xf xexx恒成立，求实数a的取值范围 【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （1）求导得( )222 ()xxfxaxxex ea= ，当1a 时，令( )0fx，令( )0fx恒成立，设21( )(0)xexg xxx=，只需要( )2minag x，即可得得出答案 【解答】解： （1）( )f x的定义域为R， 所以( )222 ()xxfxaxxex ea= ， 当1a 时，令( )

47、0fx，得0 xlna， 令( )0fx，得0 x ( )f x在(,0)上单调递减，在(0,)lna上单调递增，在(,)lna +上单调递减 （2）由3( ) 222xf xexx，得222 (1) 0 xaxx ex ， 当0 x 时，22(1) 0 xaxex ， 即2112xexax对0 x 恒成立， 设21( )(0)xexg xxx=， 则2(1)(1)( )xxexg xx=， 设( )1(0)xh xexx=， 则( )1xh xe=， 0 x ，( )0h x，( )h x在(0,)+上单调递增， ( )(0)0h xh=，即1xex+， ( )g x在(0,1)上单调递减，

48、在(1,)+上单调递增， ( )g xg（1）2e=， 22ae， a的取值范围是(，24e 【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题 22 （12 分）已知圆22:20O xy+=与抛物线2:2(0)C ypx p=相交于M，N两点，且| 8MN = （1）求C的标准方程； （2）过点(3,0)P的动直线l交C于A，B两点，点Q与点P关于原点对称，求证：2AQBAQP= 【考点】直线与抛物线的综合 【分析】 （1）由已知求得抛物线与圆的交点坐标，代入抛物线方程求得p，则C的标准方程可求； （2）由题意设出直线l的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及斜率公式求得0

49、AQBQkk+=，即可证明2AQBAQP= 【解答】 （1）解：由题意得圆心O到弦MN的距离22042d =， 则由拋物线和圆的对称性可得M，N两点的坐标分别为(2, 4)， 代入C的方程可得164p=，解得4p =， C的方程为28yx=； （2）证明：当直线l垂直于y轴时，不适合题意； 当直线l不垂直于y轴时， 设直线l方程为3xky=+，1(A x，1)y，2(B x，2)y 联立方程238xkyyx=+=，可得28240yky=， 128yyk+=，1224y y = ， 要证明2AQBAQP= ， 只需要证0AQBQkk+=， 而1212211221121212(3)(3)(6)(6)33(3)(3)(3)(3)AQBQyyy xyxy kyy kykkxxxxxx+=+=+ 1212121226()2 ( 24)6 80(3)(3)(3)(3)ky yyykkxxxx+=+， 2AQBAQP= 【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题 声明：试题解析著 作权属菁优网 所有，未经书 面同意，不得 复制发布 日期：2021/8/6 2 2:00:08； 用户：1817344 7192；邮箱： 18173447192 ；学号：22161 184