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1、12021 年中考数学真题分项汇编【全国通用】(第 01 期)专题专题 2525 圆的有关位置关系圆的有关位置关系(共共 7070 题题)一、单选题一、单选题1 1(2021(2021浙江嘉兴市浙江嘉兴市中考真题中考真题)已知平面内有已知平面内有O:和点和点A,B,若若O:半径为半径为2cm,线段线段3cmOA,2cmOB,则直线则直线AB与与O:的位置关系为的位置关系为()A A相离相离B B相交相交C C相切相切D D相交或相切相交或相切【答案答案】D【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断【详解】解:O的半径为 2cm,线段OA=3cm,线段OB=2cm,即点A到圆心O的距离大于圆
2、的半径,点B到圆心O的距离等于圆的半径,点A在O外点B在O上,直线AB与O的位置关系为相交或相切,故选:D【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,正确的理解题意是解题的关键2 2(2021(2021四川凉山彝族自治州四川凉山彝族自治州中考真题中考真题)下列命题中下列命题中,假命题是假命题是()A A直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半B B等腰三角形顶角的平分线等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线底边上的中线,底边上的高相互重合底边上的高相互重合C C若若ABBC,则点则点B B是线段是线段ACAC的中点的中点D D三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形
3、的外心三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心【答案答案】C【分析】根据中点的定义,直角三角形的性质,三线合一以及外心的定义分别判断即可【详解】解:A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,故为真命题;B、等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高相互重合,故为真命题;2C、若在同一条直线上AB=BC,则点B是线段AC的中点,故为假命题;D、三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心,故为真命题;故选 C【点睛】本题考查了中点的定义,直角三角形的性质,三线合一以及外心的性质,属于基础知识,要熟练掌握3 3(2021(2021山东泰安市山东泰安市中考真题中考真题)如图如图
4、,在在ABC:中中,6AB,以点以点A A为圆心为圆心,3,3 为半径的圆与边为半径的圆与边BC相切相切于点于点D D,与与AC,AB分别交于点分别交于点E E和点和点G G,点点F F是优弧是优弧GE上一点上一点,18CDE,则则GFE的度数是的度数是()A A5050B B4848C C4545D D3636【答案答案】B【分析】连接AD,由切线性质可得ADB=ADC=90,根据AB=2AD及锐角的三角函数可求得BAD=60,易求得ADE=72,由AD=AE可求得DAE=36,则GAC=96,根据圆周角定理即可求得GFE的度数【详解】解:连接AD,则AD=AG=3,BC与圆A相切于点D,A
5、DB=ADC=90,在 RtADB中,AB=6,则 cosBAD=ADAB=12,BAD=60,CDE=18,ADE=9018=72,AD=AE,ADE=AED=72,DAE=180272=36,3GAC=36+60=96,GFE=12GAC=48,故选:B【点睛】本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理,熟练掌握切线性质和圆周角定理,利用特殊角的三角函数值求得BAD=60是解答的关键4 4(2021(2021浙江金华市浙江金华市中考真题中考真题)如图如图,在在Rt ABC:中中,90ACB,以该三角形的三条边为边向形外作以该三角形的三条边为边向形外作
6、正方形正方形,正方形的顶点正方形的顶点,E F G H M N都在同一个圆上记该圆面积为都在同一个圆上记该圆面积为1S,ABC:面积为面积为2S,则则12SS的值的值是是()A A52B B3C C5D D112【答案答案】C【分析】先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点,然后利用全等三角形的判定和性质确定ABC是等腰直角三角形,再根据直角三角形斜边中线的性质得到2214SAB,再由勾股定理解得2254OFAB,解得2154SAB,4据此解题即可【详解】解:如图所示,正方形的顶点,E F G H M N都在同一个圆上,圆心O在线段,EF MN的中垂线的交点上,即在Rt ABC:斜边AB的中点,且
7、AC=MC,BC=CG,AG=AC+CG=AC+BC,BM=BC+CM=BC+AC,AG=BM,又OG=OM,OA=OB,AOGBOM,CAB=CBA,ACB=90,CAB=CBA=45,12OCAB,2211112224SAB OCABABAB22222215()24OFAOAFABABAB22154SOFAB,212254514ABSSAB故选:C5【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形斜边的中线的性质、圆的面积、三角形的面积等知识,是重要考点,难度一般,掌握相关知识是解题关键5 5(2021(2021浙江中考真题浙江中考真题)如图如图,已知点已知点O是是ABC:的外心的外心,40A,连结连
8、结BO,CO,则则BOC的度数的度数是是()A A60B B70C C80D D90【答案答案】C【分析】结合题意,根据三角形外接圆的性质,作O:;再根据圆周角和圆心角的性质分析,即可得到答案【详解】ABC:的外接圆如下图40A280BOCA 故选:C【点睛】本题考查了圆的知识;解题的关键是熟练掌握三角形外接圆、圆周角、圆心角的性质,从而完成求解6 6(2021(2021四川泸州市四川泸州市)如图如图,O O的直径的直径ABAB=8,=8,AMAM,BNBN是它的两条切线是它的两条切线,DEDE与与O O相切于点相切于点E E,并与并与AMAM,BNBN分别相交于分别相交于D D,C C两点两
9、点,BDBD,OCOC相交于点相交于点F F,若若CDCD=10,=10,则则BFBF的长是的长是6A A8 179B B10 179C C8 159D D10 159【答案答案】A【分析】过点D作DGBC于点G,延长CO交DA的延长线于点H,根据勾股定理求得6GC,即可得AD=BG=2,BC=8,再证明HAOBCO,根据全等三角形的性质可得AH=BC=8,即可求得HD=10;在 RtABD中,根据勾股定理可得2 17BD;证明DHFBCF,根据相似三角形的性质可得DHDFBCBF,由此即可求得8 179BF【详解】过点D作DGBC于点G,延长CO交DA的延长线于点H,AM,BN是它的两条切线
10、,DE与O相切于点E,AD=DE,BC=CE,DAB=ABC=90,DGBC,四边形ABGD为矩形,AD=BG,AB=DG=8,7在 RtDGC中,CD=10,22221086GCCDDG,AD=DE,BC=CE,CD=10,CD=DE+CE=AD+BC=10,AD+BG+GC=10,AD=BG=2,BC=CG+BG=8,DAB=ABC=90,ADBC,AHO=BCO,HAO=CBO,OA=OB,HAOBCO,AH=BC=8,AD=2,HD=AH+AD=10;在 RtABD中,AD=2,AB=8,2222822 17BDABAD,ADBC,DHFBCF,DHDFBCBF,102 178BFBF
11、,解得,8 179BF 故选 A【点睛】本题是圆的综合题,考查了切线长定理、勾股定理、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定于性质,熟练运用相关知识是解决问题的关键87 7(2021(2021四川眉山市四川眉山市中考真题中考真题)如图如图,在矩形在矩形ABCD中中,对角线对角线AC,BD相交于点相交于点O,6AB,60DAC,点点F在线段在线段AO上从点上从点A至点至点O运动运动,连接连接DF,以以DF为边作等边三角形为边作等边三角形DFE,点点E和点和点A分别位于分别位于DF两侧两侧,下列结论下列结论:BDEEFC;EDEC;ADFECF;点点E运动的路运动的路程是程是2 3,其中正确结论
12、的序号为其中正确结论的序号为()A AB BC CD D【答案答案】B【分析】连接OE并延长交DC于点H,先证ADO为等边三角形,得出2=DAF=60,再根据DEF为等边三角形,得出正确;证出DOECOE,得到ED=EC,得出正确;证出ADF=3,看得出正确;根据DOECOE,得出点E在OH上运动,可得正确【详解】解:连接OE并延长交DC于点H,矩形ABCD,OA=OD=OC,DAC=60,ADO为等边三角形,2=DAF=60,DEF为等边三角形,91=60=5,1=2,D、F、O、E四点共圆,3=4,正确;5=6=60,7=6=60,OD=OC,OE=OE,DOECOE,3=8,CDE=DC
13、E,ED=EC,正确;ADO=FDE=60,ADF=3,ADF=8,即ADF=ECF,正确;DOECOE,点E在DOC的角平分线上与CD的交点为H,即点E在OH上运动,OH=12BC,OH=3,错误故选 B【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,圆的性质,解题的关键是灵活运用这些性质8 8(2021(2021湖北十堰市湖北十堰市中考真题中考真题)如图如图,ABC:内接于内接于,120,OBACABAC BD:是是O:的直径的直径,若若3AD,则则BC()10A A2 3B B3 3C C3 3D D4 4【答案答案】C【分析】首先过点O作OFBC于F,由垂径定理可得B
14、FCF12BC,然后由BAC120,ABAC,利用等边对等角与三角形内角和定理,即可求得C与BAC的度数,由BD为O的直径,即可求得BAD与D的度数,又由AD3,即可求得BD的长,继而求得BC的长【详解】解:过点O作OFBC于F,BFCF12BC,ABAC,BAC120,CABC(180BAC)230,C与D是同弧所对的圆周角,DC30,BD为O的直径,BAD90,ABD60,OBCABDABC30,AD3,BDADcos30332=23,OB12BD3,BFOBcos3033232,BC311故选:C【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函
15、数值等知识此题综合性较强,难度适中,解题的关键是注意数形结合思想的应用,注意准确作出辅助线9 9(2021(2021湖南怀化市湖南怀化市中考真题中考真题)如图如图,在在ABC:中中,以以A A为圆心为圆心,任意长为半径画弧任意长为半径画弧,分别交分别交ABAB、ACAC于于点点M M、N N;再分别以再分别以M M、N N为圆心为圆心,大于大于12MN的长为半径画弧的长为半径画弧,两弧交于点两弧交于点P P;连结连结APAP并延长交并延长交BCBC于点于点D D则下列说法正确的是则下列说法正确的是()A AADBDABB BADAD一定经过一定经过ABC:的重心的重心C CBADCAD D D
16、ADAD一定经过一定经过ABC:的外心的外心【答案答案】C【分析】根据题意易得AD平分BAC,然后根据三角形的重心、外心及三边关系可排除选项【详解】解:AD平分BAC,BADCAD,故 C 正确;在ABD中,由三角形三边关系可得ADBDAB,故 A 错误;由三角形的重心可知是由三角形三条中线的交点,所以AD不一定经过ABC:的重心,故 B 选项错误;由三角形的外心可知是由三角形三条边的中垂线的交点,所以AD不一定经过ABC:的外心,故 D 选项错误;故选 C【点睛】12本题主要考查三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图,熟练掌握三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图是解题的关键1010(202
17、1(2021山东临沂市山东临沂市中考真题中考真题)如图如图,PA、PB分别与分别与O:相切于相切于A、B,70P,C为为O:上一上一点点,则则ACB的度数为的度数为()A A110B B120C C125D D130【答案答案】C【分析】由切线的性质得出OAP=OBP=90,利用四边形内角和可求AOB=110,再利用圆周角定理可求ADB=55,再根据圆内接四边形对角互补可求ACB【详解】解:如图所示,连接OA,OB,在优弧AB上取点D,连接AD,BD,AP、BP是切线,OAP=OBP=90,AOB=360-90-90-70=110,ADB=55,又圆内接四边形的对角互补,ACB=180-ADB
18、=180-55=125故选:C13【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质解题的关键是连接OA、OB,求出AOB1111(2021(2021湖北鄂州市湖北鄂州市中考真题中考真题)如图如图,Rt ABC:中中,90ACB,2 3AC,3BC 点点P为为ABC内一点内一点,且满足且满足22PAPC2AC当当PB的长度最小时的长度最小时,ACP的面积是的面积是()A A3 3B B3 3C C3 34D D3 32【答案答案】D【分析】由题意知90APC,又AC长度一定,则点P的运动轨迹是以AC中点O为圆心,12AC长为半径的圆弧,所以当B、P、O三点共线时,BP最短;在Rt B
19、CO中,利用勾股定理可求BO的长,并得到点P是BO的中点,由线段长度即可得到PCO是等边三角形,利用特殊Rt APC三边关系即可求解【详解】解:222PAPCAC90APC取AC中点O,并以O为圆心,12AC长为半径画圆由题意知:当B、P、O三点共线时,BP最短AOPOCO14112 33,322COACBC222 3BOBCCO3BPBOPO点 P 是 BO 的中点在Rt BCO中,132CPBOPOPCO是等边三角形60ACP在Rt APC中,tan603APCP 1333 3222APCSAP CP【点睛】本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题,属于动态几何综合题型
20、,中档难度解题的关键是找到动点P的运动轨迹,即隐形圆1212(2021(2021四川广元市四川广元市中考真题中考真题)如图如图,在边长为在边长为 2 2 的正方形的正方形ABCD中中,AE是以是以BC为直径的半圆的切为直径的半圆的切线线,则图中阴影部分的面积为则图中阴影部分的面积为()A A32B B2C C1 1D D5215【答案答案】D【分析】取BC的中点O,设AE与O的相切的切点为F,连接OF、OE、OA,由题意可得OB=OC=OA=1,OFA=OFE=90,由切线长定理可得AB=AF=2,CE=CF,然后根据割补法进行求解阴影部分的面积即可【详解】解:取BC的中点O,设AE与O的相切
21、的切点为F,连接OF、OE、OA,如图所示:四边形ABCD是正方形,且边长为 2,BC=AB=2,ABC=BCD=90,AE是以BC为直径的半圆的切线,OB=OC=OF=1,OFA=OFE=90,AB=AF=2,CE=CF,OA=OA,RtABORtAFO(HL),同理可证OCEOFE,AOBAOFCOEFOE ,90AOBCOEAOBBAO ,COEBAO,ABOOCE:,OCCEABOB,12CE,1615222222ABOOCEABCESSSSSS:阴影半圆半圆四边形;故选 D【点睛】本题主要考查切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定,熟练掌握切线的性质定理、切
22、线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键1313(2021(2021江苏连云港市江苏连云港市中考真题中考真题)如图如图,正方形正方形ABCD内接于内接于O:,线段线段MN在对角线在对角线BD上运动上运动,若若O:的面积为的面积为2,1MN,则则AMN:周长的最小值是周长的最小值是()A A3 3B B4 4C C5 5D D6 6【答案答案】B【分析】利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算【详解】如图所示,17(1)N为BD上一动点,A点关于线段BD的对称点为点C,连接CN,则=CN AN,过A点作CN的平行线AG,过C点作BD的平行线CG,两平行线相交于点G,AG与BD相
23、交于点 M/,/,CN MG NM CG 四边形CNMG是平行四边形 MGCNMGAN 则=1AMNCANAMNMMGAM:(2)找一点N,连接CN,则=CNAN,过G点作CN的平行线MG,连接AM则=1AM NCANAMN MANAMCGANAMNMANAM:此时1 1ANAMANAM AMNAM NCC:(1)中AMN:周长取到最小值 四边形CNMG是平行四边形 CNMNMA 四边形ABCD是正方形COOA,ACBD又CNMNMA,NOCMOA,COOACNOAOM AAS:18ONOM又ACBDANAMANM:是等腰三角形 22Sr,则圆的半径2r,1111222OMMN 2222219
24、+224AMrOM32AM3=2+1=42AMNC:故选:B【点睛】本题难度较大,需要具备一定的几何分析方法关键是要找到AMN:周长取最小值时MN、的位置1414(2021(2021贵州贵阳市贵州贵阳市中考真题中考真题)如图如图,O:与正五边形与正五边形ABCDE的两边的两边,AE CD相切于相切于,A C两点两点,则则AOC的度数是的度数是()A A144B B130C C129D D108【答案答案】A【分析】根据切线的性质,可得OAE90,OCD90,结合正五边形的每个内角的度数为 108,即可求解【详解】19解:AE、CD切O于点A、C,OAE90,OCD90,正五边形ABCDE的每个
25、内角的度数为:521801085,AOC5409090108108144,故选:A【点睛】本题主要考查正多边形的内角和公式的应用,以及切线的性质定理,掌握正多边形的内角和定理是解题的关键1515(2021(2021广东中考真题广东中考真题)设设O O为坐标原点为坐标原点,点点A A、B B为抛物线为抛物线2yx=上的两个动点上的两个动点,且且OAOB连接点连接点A A、B B,过过O O作作OCAB于点于点C C,则点则点C C到到y y轴距离的最大值轴距离的最大值()A A12B B22C C32D D1 1【答案答案】A【分析】设A(a,a),B(b,b),求出AB的解析式为1()1yax
26、a=-+,进而得到OD=1,由OCB=90可知,C点在以OD的中点E为圆心,以1122rOD=为半径的圆上运动,当CH为圆E半径时最大,由此即可求解【详解】解:如下图所示:过C点作y轴垂线,垂足为H,AB与x轴的交点为D,20设A(a,a),B(b,b),其中a0,b0,OAOB,1OAOBkk,221abab=-,即1ab ,221ABabkabaaba-=+=-,设AB的解析式为:1()yaxma=-+,代入A(a,a),解得:1m,1OD,OCAB,即90OCB,C点在以OD的中点E为圆心,以1122rOD=为半径的圆上运动,当CH为圆E的半径时,此时CH的长度最大,故CH的最大值为12
27、r,故选:A【点睛】21本题考查了二次函数的性质,圆的相关知识等,本题的关键是求出AB与y轴交点的纵坐标始终为 1,结合90OCB,由此确定点 E 的轨迹为圆进而求解1616(2021(2021湖南娄底市湖南娄底市中考真题中考真题)如图如图,直角坐标系中直角坐标系中,以以 5 5 为半径的动圆的圆心为半径的动圆的圆心A A沿沿x x轴移动轴移动,当当A与直线与直线5:12l yx只有一个公共点时只有一个公共点时,点点A A的坐标为的坐标为()A A(12,0)B B(13,0)C C(12,0)D D(13,0)【答案答案】D【分析】当A与直线5:12l yx只有一个公共点时,则此时A 与直线
28、5:12l yx相切,(需考虑左右两侧相切的情况);设切点为B,此时B点同时在A 与直线5:12l yx上,故可以表示出B点坐标,过B点作/BC OA,则此时AOBOBC,利用相似三角形的性质算出OA长度,最终得出结论【详解】如下图所示,连接AB,过B点作/BCOA,22此时B点坐标可表示为512x,x,512OCx,BCx,在Rt OBC:中,22225131212OBBCOCxxx,又A:半径为 5,5AB,/BC OA,AOBOBC,则OAABOBBOOCBC,51351212OA=xx,13OA=,左右两侧都有相切的可能,A点坐标为(13,0),故选:D【点睛】本题考查的是直线与圆的位
29、置关系,熟知相似三角形的判定与性质是解答此题的关键231717(2021(2021福建中考真题福建中考真题)如图如图,AB为为O:的直径的直径,点点P P在在AB的延长线上的延长线上,PC PD与与O:相切相切,切点分切点分别为别为C C,D D若若6,4ABPC,则则sinCAD等于等于()A A35B B25C C34D D45【答案答案】D【分析】连接OC,CP,DP是O的切线,根据定理可知OCP90,CAPPAD,利用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和可求CAD=COP,在 RtOCP中求出sinCOP即可【详解】解:连接OC,CP,DP是O的切线,则OCP90,CAPPAD
30、,CAD=2CAP,OA=OCOACACO,COP2CAOCOPCAD246AB OC=3在 RtCOP中,OC=3,PC=4OP=5sinCAD=sinCOP=45 故选:D【点睛】本题利用了切线的性质,锐角三角函数,三角形的外角与内角的关系求解1818(2021(2021山西中考真题山西中考真题)如图如图,在在O:中中,AB切切O:于点于点A,连接连接OB交交O:于点于点C,过点过点A作作/ADOB交交O:于点于点D,连接连接CD若若50B,则则OCD为为()A A15B B20C C25D D30【答案答案】B【分析】连接OA,根据AB与O:相切易得90OAB,在Rt OABV中,已知5
31、0B,可以求出AOB的度数,根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出ADC的度数,最后根据/ADOB可得OCDADC【详解】如下图,连接OA,25AB切O:于点A,90OAB,在Rt OABV中,50B,40AOB,20ADC,又/ADOB,=20OCDADC 故选:B【点睛】本题考察了切线的性质,圆周角定理以及平行线的性质,综合运用以上性质定理是解题的关键1919(2021(2021吉林长春市吉林长春市中考真题中考真题)如图如图,ABAB是是O:的直径的直径,BCBC是是O:的切线的切线,若若35BAC,则则ACB的大小为的大小为()A A35B B45C C55D D65【答案答案】C【分析
32、】根据切线的性质,得ABC=90,再根据直角三角形的性质,即可求解【详解】解:AB是O:的直径,BC是O:的切线,ABBC,即ABC=90,35BAC,ACB=90-35=55,故选 C【点睛】本题主要考查切线的性质以及直角三角形的性质,掌握圆的切线的性质定理,是解题的关键262020(2021(2021上海中考真题上海中考真题)如图如图,已知长方形已知长方形ABCD中中,4,3ABAD,圆圆B B的半径为的半径为 1,1,圆圆A A与圆与圆B B内内切切,则点则点,C D与圆与圆A A的位置关系是的位置关系是()A A点点C C在圆在圆A A外外,点点D D在圆在圆A A内内B B点点C C
33、在圆在圆A A外外,点点D D在圆在圆A A外外C C点点C C在圆在圆A A上上,点点D D在圆在圆A A内内D D点点C C在圆在圆A A内内,点点D D在圆在圆A A外外【答案答案】C【分析】根据内切得出圆A的半径,再判断点D、点E到圆心的距离即可【详解】圆A与圆B内切,4AB,圆B的半径为 1圆A的半径为 5273AD 5点D在圆A内在RtABC中,2222435ACABBC点C在圆A上故选:C【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理,熟练掌握点与圆的位置关系是关键二、填空题二、填空题2121(2021(2021湖南常德市湖南常德市中考真题中考真题)如图如图,四边形
34、四边形 ABCDABCD 是是OO 的内接四边形的内接四边形,若若BOD=80,BOD=80,则则BCDBCD 的度的度数是数是_【答案答案】140【详解】试题分析:BOD=80,A=40,四边形 ABCD 是O 的内接四边形,BCD=180-40=140,故答案为 140考点:圆内接四边形的性质;圆周角定理2222(2021(2021四川凉山彝族自治州四川凉山彝族自治州中考真题中考真题)如图如图,等边三角形等边三角形ABCABC的边长为的边长为 4,4,C:的半径为的半径为3,P P为为ABAB边上一动点边上一动点,过点过点P P作作C:的切线的切线PQPQ,切点为切点为Q Q,则则PQPQ
35、的最小值为的最小值为_【答案答案】3【分析】连接OC和PC,利用切线的性质得到CQPQ,可得当CP最小时,PQ最小,此时CPAB,再求出CP,利用勾股定28理求出PQ即可【详解】解:连接QC和PC,PQ和圆C相切,CQPQ,即CPQ始终为直角三角形,CQ为定值,当CP最小时,PQ最小,ABC是等边三角形,当CPAB时,CP最小,此时CPAB,AB=BC=AC=4,AP=BP=2,CP=22ACAP=2 3,圆C的半径CQ=3,PQ=22CPCQ=3,故答案为:3【点睛】本题考查了切线的性质,等边三角形的性质,以及勾股定理此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意得到当PCAB时,线段PQ最短是关
36、键2323(2021(2021浙江杭州市浙江杭州市中考真题中考真题)如图如图,已知已知O:的半径为的半径为 1,1,点点P是是O:外一点外一点,且且2OP 若若PT是是O:的切线的切线,T为切点为切点,连接连接OT,则则PT _29【答案答案】3【分析】根据圆的切线的性质,得90OTP,根据圆的性质,得1OT,再通过勾股定理计算,即可得到答案【详解】PT是O:的切线,T为切点90OTP 22PTOPOT O:的半径为 11OT 222=213PTOPOT 故答案为:3【点睛】本题考查了圆、勾股定理的知识;解题的关键是熟练掌握圆、圆的切线、勾股定理的性质,从而完成求解2424(2021(2021
37、陕西中考真题陕西中考真题)如图如图,正方形正方形ABCD的边长为的边长为 4,4,O:的半径为的半径为 1 1若若O:在正方形在正方形ABCD内内平移平移(O:可以与该正方形的边相切可以与该正方形的边相切),),则点则点A A到到O:上的点的距离的最大值为上的点的距离的最大值为_【答案答案】3 21【分析】30由题意易得当O:与BC、CD相切时,切点分别为F、G,点A到O:上的点的距离取得最大,进而根据题意作图,则连接AC,交O:于点E,然后可得AE的长即为点A到O:上的点的距离为最大,由题意易得4,45ABBCACB,则有OFC是等腰直角三角形,4 2AC,根据等腰直角三角形的性质可得2OC
38、,最后问题可求解【详解】解:由题意得当O:与BC、CD相切时,切点分别为F、G,点A到O:上的点的距离取得最大,如图所示:90OFC连接AC,OF,AC交O:于点E,此时AE的长即为点A到O:上的点的距离为最大,如图所示,四边形ABCD是正方形,且边长为 4,4,45ABBCACB,OFC是等腰直角三角形,4 2AC,O:的半径为 1,1OFFC,2OC,3 2AOACOC,3 21AEAOOE,即点A到O:上的点的距离的最大值为3 21;故答案为3 21【点睛】本题主要考查正方形的性质、切点的性质定理及等腰直角三角形的性质与判定,熟练掌握正方形的性质、31切点的性质定理及等腰直角三角形的性质
39、与判定是解题的关键2525(2021(2021青海中考真题青海中考真题)点点P是非圆上一点是非圆上一点,若点若点P到到O:上的点的最小距离是上的点的最小距离是4cm,最大距离是最大距离是9cm,则则O:的半径是的半径是_【答案答案】6.5cm或2.5cm【分析】分点P在O:外和O:内两种情况分析;设O:的半径为xcm,根据圆的性质列一元一次方程并求解,即可得到答案【详解】设O:的半径为xcm 当点P在O:外时,根据题意得:429x 2.5xcm 当点P在O:内时,根据题意得:294x 6.5xcm 故答案为:6.5cm或2.5cm【点睛】本题考查了圆、一元一次方程的知识;解题的关键是熟练掌握圆
40、的性质,从而完成求解2626(2021(2021北京中考真题北京中考真题)如图如图,PA PB是是O:的切线的切线,A B是切点若是切点若50P,则则AOB_【答案答案】130【分析】由题意易得90 PAOPBO,然后根据四边形内角和可求解【详解】解:,PA PB是O:的切线,90 PAOPBO,32由四边形内角和可得:180AOBP,50P,130AOB;故答案为 130【点睛】本题主要考查切线的性质及四边形内角和,熟练掌握切线的性质是解题的关键2727(2021(2021四川广元市四川广元市中考真题中考真题)如图如图,在正方形在正方形ABCD中中,点点O O是对角线是对角线BD的中点的中点
41、,点点P P在线段在线段OD上上,连接连接AP并延长交并延长交CD于点于点E E,过点过点P P作作PFAP交交BC于点于点F F,连接连接AF、EF,AF交交BD于于G G,现有以下结论现有以下结论:APPF;DEBFEF;2PBPDBF;AEFS:为定值为定值;APGPEFGSS:四边形以上结论正确的有以上结论正确的有_(_(填入正确的序号即可填入正确的序号即可)【答案答案】【分析】由题意易得APF=ABC=ADE=C=90,AD=AB,ABD=45,对于:易知点A、B、F、P四点共圆,然后可得AFP=ABD=45,则问题可判定;对于:把AED绕点A顺时针旋转 90得到ABH,则有DE=B
42、H,DAE=BAH,然后易得AEFAHF,则有HF=EF,则可判定;对于:连接AC,在BP上截取BM=DP,连接AM,易得OB=OD,OP=OM,然后易证AOPABF,进而问题可求解;对于:过点A作ANEF于点N,则由题意可得AN=AB,若AEF的面积为定值,则EF为定值,进而问题可求解;对于由可得22APAF,进而可得APGAFE,然后可得相似比为22APAF,最后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可求解【详解】解:四边形ABCD是正方形,PFAP,33APF=ABC=ADE=C=90,AD=AB,ABD=45,180ABCAPF,由四边形内角和可得180BAPBFP,点A、B、F、P四点
43、共圆,AFP=ABD=45,APF是等腰直角三角形,APPF,故正确;把AED绕点A顺时针旋转 90得到ABH,如图所示:DE=BH,DAE=BAH,HAE=90,AH=AE,45HAFEAF,AF=AF,AEFAHF(SAS),HF=EF,HFBHBF,DEBFEF,故正确;连接AC,在BP上截取BM=DP,连接AM,如图所示:34点O是对角线BD的中点,OB=OD,BDAC,OP=OM,AOB是等腰直角三角形,2ABAO,由可得点A、B、F、P四点共圆,APOAFB,90ABFAOP,AOPABF,22OPOAAPBFABAF,22OPBF,2BPDPBPBMPMOP,2PBPDBF,故正
44、确;过点A作ANEF于点N,如图所示:由可得AFB=AFN,ABF=ANF=90,AF=AF,ABFANF(AAS),AN=AB,若AEF的面积为定值,则EF为定值,点P在线段OD上,EF的长不可能为定值,故错误;35由可得22APAF,AFB=AFN=APG,FAE=PAG,APGAFE,22GPAPEFAF,22122AGPAEFSS:,12AGPAEFSS:,APGPEFGSS:四边形,故正确;综上所述:以上结论正确的有;故答案为【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定,熟练掌握正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题
45、的关键2828(2021(2021浙江宁波市浙江宁波市中考真题中考真题)抖空竹在我国有着悠久的历史抖空竹在我国有着悠久的历史,是国家级的非物质文化遗产之一如是国家级的非物质文化遗产之一如示意图示意图,AC BD分别与分别与O:相切于点相切于点C C,D D,延长延长,AC BD交于点交于点P P若若120P,O:的半径为的半径为6cm,则则图中图中:CD的长为的长为_cm(结果保留结果保留)【答案答案】2【分析】连接OC、OD,利用切线的性质得到90OCPODP,根据四边形的内角和求得60COD,再利用弧长公式求得答案【详解】连接OC、OD,36,AC BD分别与O:相切于点C,D,90OCP
46、ODP,120P,360OCPODPPCOD,60COD,:CD的长=6062180(cm),故答案为:2【点睛】此题考查圆的切线的性质定理,四边形的内角和,弧长的计算公式,熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键2929(2021(2021浙江温州市浙江温州市中考真题中考真题)如图如图,O:与与OAB:的边的边AB相切相切,切点为切点为B将将OAB:绕点绕点B按顺按顺时针方向旋转得到时针方向旋转得到O A B ,使点使点O落在落在O:上上,边边A B交线段交线段AO于点于点C若若25A,则则OCB_度度【答案答案】85【分析】连结OO,先证BOO为等边三角形,求出AOB=OBO=6
47、0,由O:与OAB:的边AB相切,可求CBO=30,利用三角形内角和公式即可求解【详解】解:连结OO,37将OAB:绕点B按顺时针方向旋转得到O A B ,BO=BO=OO,BOO为等边三角形,OBO=60,O:与OAB:的边AB相切,OBA=OBA=90,CBO=90-OBO=90-60=30,A=25AOB=90-A=90-25=65AOB=AOB=65,OCB=180-COB-OBC=180-65-30=85故答案为 85【点睛】本题考查图形旋转性质,切线性质,等边三角形判定与性质,直角三角形性质,掌握图形旋转性质,切线性质,等边三角形判定与性质,直角三角形性质是解题关键3030(202
48、1(2021江苏扬州市江苏扬州市中考真题中考真题)在一次数学探究活动中在一次数学探究活动中,李老师设计了一份活动单李老师设计了一份活动单:已知线段已知线段2BC,使用作图工具作使用作图工具作30BAC,尝试操作后思考尝试操作后思考:(1)(1)这样的点这样的点A A唯一吗唯一吗?(2)(2)点点A A的位置有什么特征的位置有什么特征?你有什么感悟你有什么感悟?“追梦追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报学习小组通过操作、观察、讨论后汇报:点点A A的位置不唯一的位置不唯一,它在以它在以BC为弦的圆弧上为弦的圆弧上(点点B B、C C除除外外),),小华同学画出了符合要求的一条圆弧小华同学画出
49、了符合要求的一条圆弧(如图如图 1)1)38(1)(1)小华同学提出了下列问题小华同学提出了下列问题,请你帮助解决请你帮助解决该弧所在圆的半径长为该弧所在圆的半径长为_;_;ABC:面积的最大值为面积的最大值为_;_;(2)(2)经过比对发现经过比对发现,小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上,而在如图而在如图 1 1 所示的弓形内部所示的弓形内部,我们记为我们记为A,请你利用图请你利用图 1 1 证明证明30BA C;(3)(3)请你运用所学知识请你运用所学知识,结合以上活动经验结合以上活动经验,解决问题解决问题:如图如图 2,2,已知矩形已知矩
50、形ABCD的边长的边长2AB,3BC,点点P P在直线在直线CD的左侧的左侧,且且4tan3DPC线段线段PB长的最小值为长的最小值为_;_;若若23PCDPADSS:,则线段则线段PD长为长为_【答案答案】(1)2;32;(2)见解析;(3)9754;7 24【分析】(1)设O为圆心,连接BO,CO,根据圆周角定理得到BOC=60,证明OBC是等边三角形,可得半径;过点O作BC的垂线,垂足为E,延长EO,交圆于D,以BC为底,则当A与D重合时,ABC的面积最大,求出OE,根据三角形面积公式计算即可;(2)延长BA,交圆于点D,连接CD,利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可;(3)根据4t