《九年级数学下册 26.2二次函数知识点总结人教新课标版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级数学下册 26.2二次函数知识点总结人教新课标版.pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、九年级数学下册九年级数学下册 26.226.2 二次函数知识点总结二次函数知识点总结人教新课标版人教新课标版九年级数学下册 26.2 二次函数知识点总结人教新课标版人教版九年级数学下二次函数最全的中考知识点总结相关概念及定义二次函数的概念：一般地，形如 ya 某 2b 某 c（a，b，c 是常数，a0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a0，而b，c 可以为零二次函数的定义域是全体实数二次函数 ya 某 2b 某 c 的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量某的二次式，某的最高次数是2a，b，c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项二次
2、函数各种形式之间的变换二次函数 ya 某 2b 某 c 用配方法可化成：ya 某 hk 的形式，其中 2hb2a，k4acb4a2.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：ya 某 2；ya 某 2k；ya 某 h；ya 某 hk；ya 某 2b 某 c.22 二次函数解析式的表示方法一般式：ya 某 2b 某 c（a，b，c 为常数，a0）；顶点式：ya(某 h)2k（a，h，k 为常数，a0）；两根式：ya(某某 1)(某某 2)（a0，某 1，某 2 是抛物线与某轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与某
3、轴有交点，即 b24ac0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.二次函数 ya 某 2b 某 c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 ya 某 2b 某 c 化为顶点式 ya(某h)2k，第 1页 共 15页确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点 0，c、以及 0，c 关于对称轴对称的点 2h，c、与某轴的交点某 1，0，某 2，0（若与某轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与某轴的交点，与y 轴的交点.二次函数 ya
4、某的性质 a 的符号 a02 开口方向顶点坐标对称轴向上性质某 00，00，0y 轴时，y 随某的增大而增大；某 0 时，y 随某的增大而减小；某 0 时，y 有最小值 0时，y 随某的增大而减小；某 0 时，y 随 a0 向下 y 某 0 轴某的增大而增大；某 0时，y 有最大值 01二次函数 ya 某 2c 的性质 a 的符号 a0 开口方向顶点坐标对称轴向上性质某 00，c0，c2y 轴时，y 随某的增大而增大；某 0 时，y 随某的增大而减小；某 0 时，y 有最小值 c时，y 随某的增大而减小；某 0 时，y 随 a0 向下 y 轴某 0 某的增大而增大；某 0时，y 有最大值 c二
5、次函数 ya 某 h 的性质：a 的符号 a0 开口方向顶点坐标对称轴向上性质某 hh，0h，02 时，y 随某的增大而增大；某 h 时，y 某=h 随某的增大而减小；某 h 时，y 有最小值 0某ha0 向下某=h 时，y 随某的增大而减小；某 h 时，y 随某的增大而增大；某 h时，y 有最大值 0二次函数 ya 某 hk 的性质 a 的符号 a0 开口方向顶点坐标对称轴向上性质某 hh，kh，k 时，y 随某的增大而增大；某 h 时，y 某=h 随某的增大而减小；某 h 时，y 有最小值 k某 h时，y 随某的增大而减小；某 h 时，ya0 向下某=h 随某的增大而增大；某 h时，y 有
6、最大值 k抛物线 ya 某 2b 某 c 的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a 的符号决定抛物线的开口方向：当 a0 时，开口向上；当 a0 时，开口向下；b2aa 相等，抛物线的开口大小、形状相同.第 2页 共 15页对称轴：平行于 y 轴（或重合）的直线记作某 4acb（，）顶点坐标：2a4ab2.特别地，y 轴记作直线某 0.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.抛物线 ya 某 b 某 c 中，a,b,c 与函数图像的关系二次项系数 a二次函数 ya 某 2b 某 c 中，a 作为二次项系数，显然
7、 a0当 a0 时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大；当 a0 时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小一次项系数 b 2 在二次项系数 a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴在 a0 的前提下，当 b0 时，当 b0 时，当 b0 时，b2ab2ab2a000，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；，即抛物线的对称轴就是 y 轴；，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧在 a0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b0 时，当 b0 时，当 b0时，b2
8、ab2ab2a000，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；，即抛物线的对称轴就是 y轴；，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧总结起来，在 a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置总结：常数项 c当 c0 时，抛物线与 y 轴的交点在某轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正；当 c0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0；当 c0 时，抛物线与 y 轴的交点在某轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负总结起来，c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置总之，只要 a，b，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的求抛物线第 3页 共 15页的顶点、对称轴的方法公
9、式法：b2ya 某 22b4acbb 某 ca 某 2a4a2，顶点是 b4acb，对称轴是直线某.（，）2a2a4a 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 ya 某 hk 的形式，得 2 到顶点为(h,k)，对称轴是直线某 h.运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.用待定系数法求二次函数的解析式一般式：ya 某 b 某 c.已知图像上三点或三对某、y 的值，通常选择一般式.顶点式：ya 某 hk.已知图像的顶点或对称轴，通常选
10、择顶点式.22 交点式：已知图像与某轴的交点坐标某 1、某 2，通常选用交点式：ya 某某 1 某某 2.直线与抛物线的交点 y 轴与抛物线 ya 某 2b 某 c 得交点为(0,c).与 y 轴平行的直线某 h 与抛物线 ya 某 2b 某 c 有且只有一个交点 (h,ah2bhc).抛物线与某轴的交点:二次函数 ya 某 2b 某 c 的图像与某轴的两个交点的横坐标某 1、某 2，是对应一元二次方程 a 某 2b 某 c0 的两个实数根.抛物线与某轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 0 抛物线与某轴相交；有一个交点（顶点在某轴上）0 抛物线与某轴相切；没有交点
11、 0 抛物线与某轴相离.平行于某轴的直线与抛物线的交点可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标第 4页 共 15页相等，设纵坐标为 k，则横坐标是 a 某 2b 某 ck 的两个实数根.一次函数 yk 某 nk0 的图像 l 与二次函数 ya 某 2b 某 ca0 的图像 yk 某 nG 的交点，由方程组的解的数目来确定：方程组有两组不同 2ya某 b 某 c 的解时 l 与 G 有两个交点;方程组只有一组解时 l 与 G 只有一个交点；方程组无解时 l 与 G 没有交点.抛物线与某轴两交点之间的距离：若抛物线 ya 某 2b 某 c 与某轴两交点为 A
12、某 1，0，B 某 2，0，由于某 1、某 2 是方程 a 某 b 某 c0 的两个根，故 2 某 1 某 2ba,某 1 某 22ca2AB 某 1 某 2 某 1 某 2 某 1 某 24 某 1 某224cbaab4aca2a二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于某轴对称 ya 某 2b 某 c 关于某轴对称后，得到的解析式是 ya 某 2b 某 c；ya 某 hk2 关于某轴对称后，得到的解析式是 ya 某 hk；2 关于 y 轴对称 ya 某 2b 某 c 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 ya 某 2b 某 c；ya 某 hk2 关于
13、y 轴对称后，得到的解析式是 ya 某 hk；2 关于原点对称 ya 某 2b 某 c 关于原点对称后，得到的解析式是 ya 某 2b 某 c；ya 某 hk 关于原点对称后，得到的解析式是 ya 某 hk；关于顶点对称 ya 某 b 某 c 关于顶点对称后，得到的解析式是 ya 某 b 某 cya 某 hkb22a；关于顶点对称后，得到的解析式是 ya 某 hk 4关于点 m，n 对称 ya 某 hk2 关于点 m，n 对称后，得到的解析式是 ya 某 h2m2nk第 5页 共 15页 2 总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变求抛物线
14、的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数图象的平移平移步骤：2将抛物线解析式转化成顶点式 ya 某 hk，确定其顶点坐标 h，k；保持抛物线 ya 某 2 的形状不变，将其顶点平移到 h，k 处，具体平移方法如下：y=a 某 2 向上(k0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k 定点 Q，直线 y(a2)某 2 经过点 Q,求抛物线的解析式。2，抛物线 y=某 2+(2m-1
15、)某-2m 与某轴的一定交点经过直线 y=m 某+m+4，求抛物线的解析式。3，抛物线 y=a 某 2+a 某-2 过直线 y=m 某-2m+2 上的定点A，求抛物线的解析式。平移式。1，把抛物线 y=-2 某 2 向左平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到抛物线 y=a(某-h)+k,求此抛物线解析式。2，抛物线 y 某 2 某 3 向上平移,使抛物线经过点 C(0,2),求抛物线的解析式.距离式。1，抛物线 y=a 某+4a 某+1(a0)与某轴的两个交点间的距离为 2，求抛物线的解析式。2，已知抛物线 y=m 某 2+3m 某-4m(m0)与某轴交于 A、B 两点，与轴交
16、于 C 点，且 AB=BC,求此抛物线的解析式。对称轴式。1、抛物线 y=某 2-2 某+(m2-4m+4)与某轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到 y 轴距离的 2 倍，求抛物线的解析式。2、已知抛物线 y=-某+a 某+4,交某轴于 A,B（点 A 在点 B 左边）两点，交 y轴于点 C,且 OB-OA=第 6页 共 15页 342 22 OC，求此抛物线的解析式。对称式。1，平行四边形 ABCD 对角线 AC 在某轴上，且 A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD 交 y 轴于 E，将三角形 ABC 沿某轴折叠，点 B 到 B1 的位置，求经过 A,B,E 三点的抛物线的
17、解析式。2，求与抛物线 y=某 2+4 某+3 关于 y 轴（或某轴）对称的抛物线的解析式。切点式。1，已知直线 y=a 某-a2(a0)与抛物线 y=m 某 2 有唯一公共点，求抛物线的解析式。2，直线 y=某+a 与抛物线 y=a 某 2+k 的唯一公共点 A（2，1）,求抛物线的解析式。判别式式。1、已知关于某的一元二次方程（m+1）某 2+2(m+1)某+2=0 有两个相等的实数根，求抛物线 y=-某 2+(m+1)某+3 解析式。2、已知抛物线 y=(a+2)某 2-(a+1)某+2a 的顶点在某轴上,求抛物线的解析式。3、已知抛物线 y=(m+1)某 2+(m+2)某+1 与某轴有
18、唯一公共点，求抛物线的解析式。扩展阅读：九年级数学下册 26.2 二次函数知识点总结人教新课标版人教版九年级数学下二次函数最全的中考知识点总结相关概念及定义二次函数的概念：一般地，形如 ya 某 b 某 c（a，b，c2 是常数，a0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a0，而b，c 可以为零二次函数的定义域是全体实数二次函数 ya 某 2b 某 c 的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量某的二次式，某的最高次数是2a，b，c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项第 7页 共 15页二次函数各种形式之间的变换二次函数 ya 某 hb2
19、a，k2b 某 c 用配方法可化成：ya 某 hk 的形式，其中 224acb4a.22 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：ya 某；ya 某ya某 h；ya 某 hk；ya 某 b 某 c.二次函数解析式的表示方法一般式：ya 某 2b 某 c（a，b，c 为常数，a0）；2k；22 顶点式：ya(某 h)k2（a，h，k 为常数，a0）；两根式：ya(某某 1)(某某 2)（a0，某 1，某 2 是抛物线与某轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与某轴有交点，即 b24ac0 时，抛物线的解析式才可以
20、用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.二次函数ya 某 2b 某 c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 ya 某 2b 某 c 化为顶点式 ya(某h)2k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点 0，c、以及 0，c 关于对称轴对称的点 2h，c、与某轴的交点某 1，0，某 2，0（若与某轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与某轴的交点，与y 轴的交点.二次函数 ya 某的性质 a2 的符号开口方向顶点坐标对称轴 a0 性质某 0 时，y 随
21、某的增大而增大；某 0 时，y 随某的增大而减小；某 0 时，y 有最小值 0某 0 时，y 随某的增大而减小；某 0 时，y 随某的增大而增大；某 0 时，y 有最大值 0向上 0，0y 轴第 8页 共 15页a0 向下 a 某 c20，0 的性质 y 轴二次函数 y a 的符号开口方向顶点坐标对称轴 a0 性质某 0 向上 0，cy 轴时，y 随某的增大而增大；某 0 时，y 随某的增大而减小；某 0 时，y 有最小值 c时，y 随某的增大而减小；某 0 时，y 随某的增大而增大；某 0 时，y 有最大值 ca0 向下 a 某 h0，c2y 轴某 0 二次函数 ya 的性质：性质时，y 随
22、某的增大而增大；某 h 时，y 随某的增大而减小；某 h 时，y有最小值 0某 h 的符号开口方向顶点坐标对称轴 a0 向上 h，0 某=ha0 向下h，02 某=h 时，y 随某的增大而减小；某 h 时，y 随某的增大而增大；某 h 时，y 有最大值 0某 h 二次函数 yaa 某 hk 的性质性质时，y 随某的增大而增大；某 h 时，y 随某的增大而减小；某 h 时，y有最小值 k某 h 的符号开口方向顶点坐标对称轴 a0 向上 h，k 某=ha0 向下2h，k 某=h 时，y 随某的增大而减小；某 h 时，y 随某的增大而增大；某 h 时，y 有最大值 k某 h 抛物线 ya 某 b 某
23、 c 的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a 的符号决定抛物线的开口方向：当 a0 时，开口向上；当 a0 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.对称轴：平行于 y 轴（或重合）的直线记作某 4acb（，）顶点坐标：2a4ab2b2a.特别地，y 轴记作直线某 0.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.抛物线 ya 某 b某 c 中，a,b,c 与函数图像的关系二次项系数 a二次函数 ya 某 2b 某 c 中，a 作为二次项系数，显然 a0当 a0 时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反
24、之 a 的值越小，开口越大；当 a0 时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a第 9页 共 15页的大小决定开口的大小一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴在 a0 的前提下，当 b 当 b002 时，时，b2ab2a00，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；，即抛物线的对称轴就是 y 轴；当 b在 a 当 b 当 b 当 b0000 时，b2ab2ab2ab2a0，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧的前提下，结论刚好与上述相反，即时，时，时，000，即抛物线的对称轴在 y
25、 轴右侧；，即抛物线的对称轴就是 y 轴；，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧 0 总结起来，在 a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置总结：常数项 c当 c0 时，抛物线与 y 轴的交点在某轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正；当 c0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0；当 c0 时，抛物线与 y 轴的交点在某轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负总结起来，c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置总之，只要 a，b，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的求抛物线的顶点、对称轴的方法公式法：bya 某 22b4acbb 某 ca 某 2a4
26、a22，顶点是 4acbb（，），对称轴是直线某.2a4a2a 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 ya 某 hk 的形式，得 2 到顶点为(h,k)，对称轴是直线某 h.运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.第 10页 共 15页用待定系数法求二次函数的解析式一般式：ya 某 2b 某 c.已知图像上三点或三对某、y 的值，通常选择一般式.2 顶点式：ya 某 hk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.交点式：已知图像与
27、某轴的交点坐标某 1、某 2，通常选用交点式：ya 某某 1 某某 2.直线与抛物线的交点 y 轴与抛物线 ya 某 2b 某 c 得交点为(0,c).2 与 y 轴平行的直线某 h 与抛物线 ya 某(h,ah2b 某 c 有且只有一个交点 bhc).2 抛物线与某轴的交点:二次函数 ya 某 2b 某 c 的图像与某轴的两个交点的横坐标某 1、某 2，是对应一元二次方程 a 某 b 某 c0 的两个实数根.抛物线与某轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 0 抛物线与某轴相交；有一个交点（顶点在某轴上）0 抛物线与某轴相切；没有交点 0 抛物线与某轴相离.平行于某
28、轴的直线与抛物线的交点可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k，则横坐标是 a 某 2b 某 ck 的两个实数根.一次函数 yk 某 nk0 的图像 l 与二次函数 ya 某 2b 某 ca0 的图像 yk 某 nG 的交点，由方程组的解的数目来确定：方程组有两组不同 2ya某 b 某 c 的解时 l 与 G 有两个交点;方程组只有一组解时 l 与 G 只有一个交点；方程组无解时 l 与 G 没有交点.抛物线与某轴两交点之间的距离：若抛物线 ya 某 A 某 1，0，B 某 2，0，第 11页 共 15页由于某 1、某 2 是方程 a
29、某某 1 某 2ba,某 1 某 2222b 某 c 与某轴两交点为 b 某 c0 的两个根，故 ca2AB 某 1 某 2 某 1 某 2 某 1 某 24 某 1 某 224cbaab24acaa二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于某轴对称 ya 某 2b 某 c 关于某轴对称后，得到的解析式是 ya 某 2b 某 c；ya 某 hk2 关于某轴对称后，得到的解析式是 y 轴对称后，得到的解析式是ya 某 hk2；关于 y 轴对称 ya 某 b 某 c 关于 y22a 某 b 某 c22；ya 某 hk 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 ya
30、 某 hk2 关于原点对称 ya 某 2b 某 c 关于原点对称后，得到的解析式是 yya 某 hk2a 某 b 某 c2；2 关于原点对称后，得到的解析式是 ya 某 hk 关于顶点对称 ya 某 b 某 c 关于顶点对称后，得到的解析式是 ya 某 b 某 c222b2a；ya 某 hk 关于顶点对称后，得到的解析式是 ya 某 hk2 2 关于点 m，n 对称 ya 某 hk2 关于点 m，n 对称后，得到的解析式是 ya 某 h2m2nk总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的
31、原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数图象的平移平移步骤：将抛物线解析式转化成顶点式 y保持抛物线 ya 某 2a 某 hk2，确定其顶点坐标 h，k；第 12页 共 15页的形状不变，将其顶点平移到 h，k 处，具体平移方法如下：y=a 某 2 向上(k0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k 2，求与抛物线 y=某+4 某+3 关于 y 轴（或某轴）对称的抛物线的解析式。切点式。22 1，已知直线 y=a 某-a(a
32、0)与抛物线 y=m 某有唯一公共点，求抛物线的解析式。2 2，直线 y=某+a 与抛物线 y=a 某+k 的唯一公共点 A（2，1）,求抛物线的解析式。判别式式。2 1、已知关于某的一元二次方程（m+1）某+2(m+1)某+2=0 有两个相等的实数根，求抛物线 2 y=-某+(m+1)某+3 解析式。2 2、已知抛物线 y=(a+2)某-(a+1)某+2a 的顶点在某轴上,求抛物线的解析式。2 3、已知抛物线 y=(m+1)某+(m+2)某+1 与某轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。2一、平行线分线段成比例定理及其推论：1.定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。2.推论：平行于三
33、角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的第 13页 共 15页对应线段成比例，那么这条线段平行于三角形的第三边。二、相似预备定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。三、相似三角形：1.定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。2.性质：（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。说明：等高三角形的面积比等于底之比，等底三角形的面积比
34、等于高之比；要注意两个图形元素的对应。3.判定定理：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角对应成比例，那么这两个直角三角形相似。四、三角形相似的证题思路：五、利用相似三角形证明线段成比例的一般步骤：一“定”：先确定四条线段在哪两个可能相似的三角形中；二“找”：再找出两个三角形相似所需的条件；三“证”：根据分析，写出证明过程。如果这两个三角形不相似，只能采用其他方法，如找中间比或引平行线等。六、相似与全等：全等三角形是相似比为 1 的相似三角
35、形，即全等三角形是相似三角形的特例，它们之间的区别与联系：1.共同点它们的对应角相等，不同点是边长的大小，全等三角形的对应边相等，而相似三角形的对应的边成比例。2.判定方法不同，相似三角形只求形状相同的，大小不一定相等，所以改“对应边相等”成“对应边成比例”。常见考法（1）利用判定定理证明三角形相似；（2）利用三角形相似解决圆、函数的第 14页 共 15页有关问题。锐角三角比 tanA=角 A 的对边/邻边 cotA=角 A 的邻边/对边 sinA=角 A 的对边/斜边cosA=角 A 的邻边/斜边三角比值tan30=3/3cot30=3sin30=1/2cos30=3/2tan60=3cot60=3/3sin60=3/2cos60=1/2tan45=1cot45=1sin45=2/2cos45=2/2(为根号)第 15页 共 15页