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1、北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）2009.012009.01。0707一、一、选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.（1）已知全集U，A B，那么下列结论中可能不成立的是（）（A）AB A（B）AB B（C）UAB（D）UBA（2）抛物线y 2x2的准线方程为（）（A）y （B）y （3）将函数y（A）f x（C）f x1811（C）y （D）y 142(,1)平移后得到函数f x的图象，那么（）4cos2x的图象按向量asin2x1（B）f xsin2x1（D）f x
2、sin2x1sin2x13a，B30，（4）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果c 那么角C等于（）（A）120（B）105（C）90（D）75（5）位于北纬x度的A、B两地经度相差90，且A、B两地间的球面距离为3R（R为地球半径），那么x等于（）（A）30（B）45（C）60（D）75（6）已知定义域为R R的函数f x，对任意的x且f()（7）已知,R R都有f(x1)f(x1)22恒成立，11，则f(62)等于（）2（A）1（B）62（C）64（D）831,2,3,4,5，那么使得sincos0的数对,共有（）(A)9 个(B)11 个(C)12 个(D)13 个（8
3、）如果对于空间任意n n使得这n条直线与平面所成2条直线总存在一个平面，的角均相等，那么这样的n（）（A）最大值为 3（B）最大值为 4（C）最大值为 5（D）不存在最大值二、填空题二、填空题:本大题共本大题共 6 6 小题小题,每小题每小题 5 5 分分,共共 3030 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.（9）limn246n22n=.那么ff 2；不等式f 2x（10）如果f x1,x0,x1，1，11的解2集是.P为该双曲线上一点，若PF1F2为等腰（11）已知点F1、F2分别是双曲线的两个焦点，直角三角形，则该双曲线的离心率为_.2x y 0,（12）若实数x、y满足y
4、x,且zy xb,为.2（13）已知直线x y m 0与圆x2xy的最小值为3，则实数b的值y22交于不同的两点A、B，O是坐标原点，|OAOB|AB|，那么实数m的取值范围是 .（14）已知：对于给定的qN N*及映射f:AB,BN N*若集合CA，且C中所有元素对应的象之和大于或等于q，则称C为集合 A 的好子集 对于q 2，A个数为；对于给定的q，Aa,b,c，映射f:x1,xA，那么集合 A 的所有好子集的1,2,3,4,5,6,，映射f:A213141516B的对应关系如下表：xf x11zy若当且仅当C中含有和至少 A 中 2 个整数或者C中至少含有 A 中 5 个整数时，C为集合
5、A的好子集写出所有满足条件的数组q,y,z：三、解答题三、解答题:本大题共本大题共 6 6 小题小题,共共 8080 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程演算步骤或证明过程.(15)（本小题共 12 分）已知函数f(x)sin x2 3sin(x2)cos(x)cos2x3.44（）求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；（）求函数f(x)在2512 36,上的最大值和最小值并指出此时相应的x的值.（16）（本小题共 12 分）已知函数g(x)是f(x)x2(x点M(x0,y0)、N(y0,x0)分别是f(x)、0)的反函数，g(x)图象上的点，l1、l2分别是函数
6、f(x)、g(x)的图象在M,N两点处的切线，且l1l2（）求M、N两点的坐标；（）求经过原点O及M、N的圆的方程（17）（本小题共 14 分）已知正三棱柱ABC A1B1C1中，点D是棱AB的中点，BC（）求证：BC1/平面A1DC；（）求C1到平面A1DC的距离；（）求二面角DD1,AA1A3.A1C1B1CAC1A的大小.B（18）（本小题共 14 分）某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T（单位：年）有关.若T 1，则销售利润为 0 元；若1 T 3，则销售利润为 100 元；若T 3，则销售利润为 200 元.设每台该种电器的无故障使用时间T 1，1 T 3及T 3这三
7、种情况发生的概率分别为p1,p2,p3，又知p1,p2是方程25x215x a 0的两个根，且p2 p3.（）求p1,p2,p3的值；（）记表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求的分布列；（）求销售两台这种家用电器的销售利润总和的平均值.（19）（本小题共 14 分）已知点A 0,1、B 0,1，P是一个动点，且直线PA、PB的斜率之积为（）求动点P的轨迹C的方程；（）设Q 2,0，过点1.21,0的直线l交C于M、N两点，QMN的面积记为S，若对满足条件的任意直线l，不等式S tan MQN恒成立，求的最小值.（20）（本小题共 14 分）如果正数数列an满足：对任意的正数M，都存在正整
8、数n0，使得an0 M，则称数列an是一个无界正数列1,n 1,3,5,n（）若an32sin(n)n 1,2,3,，bnn1,n 2,4,6,2,分别判断数列,an、bn是否为无界正数列，并说明理由；（）若an n2，是 否 存 在 正 整 数k，使 得 对 于 一 切n k，有a1a2a2a3an1 n成立；an12（）若数列an是单调递增的无界正数列，求证：存在正整数m，使得a1a2a2a3amm 2009am1海淀区高三年级第一学期期末练习数学数学（理科）参考答案及评分标准参考答案及评分标准2009.012009.01一、选择题（一、选择题（本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40
9、 分）CABAB DDACABAB DDA二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分.有两空的小题，第一空有两空的小题，第一空 3 3 分，第二空分，第二空 2 2 分，共分，共3030 分）分）（9）1（10）1，0,1（11）2 1（12）（13）(2,2 2,2)（14）4，(5,1,3)三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题小题,共共 8080 分）分）(15)（本小题共 12 分）解：（）f(x)sin x2 3sin(x 2 3sin(x2294)cos(x)cos2x3444)cos2x33sin 2xcos2x2si
10、n(2 x所6)4 分以T22.5 分由2k22xx6k2k5k63k2Z Z得k3Z Z所以函数f(x)的最小正周期为，单调递减区间为k3,k5(k Z Z).67 分（）由（）有f x因为x2sin(2 x6).2512 36,，所以2x611,.39因为sin(所以当x3)4sin3sin11，912时，函数f(x)取得最小值3；当x3时，函数f(x)取得最大值 2.12 分（16）（本小题共 12 分）解：（）因为f(x)x2(x0)，所以g(x)x(x0).从而f(x)2x,g(x)12 x.3 分所以切线l1,l2的斜率分别为k1 f(x0)2x0,k2 g(y0)2x0(x012
11、 y0.又y00)，所以k21.4 分2x0因为两切线l1,l2平行，所以k1 k2.5 分从而(2x0)2因为x0所以x01.0，1.2所以M,N两点的坐标分别为1 11 1(,),(,).7 分2 44 2（）设过O、M、N三点的圆的方程为：x y Dx Ey F 0.因为圆过原点，所以F 0.因为M、N关于直线y x对称，所以圆心在直线y x上.所以D E.22又因为M(,)在圆上，所以D E 1 12 45.1222所以过O、M、N三点的圆的方程为：x y 12 分55xy 0.1212（17）（本小题共 14 分）（）证明：连结AC1交AC1于点G，连结DG.在正三棱柱ABC A1B
12、1C1中，四边形ACC1A1是平行四边形，AG GC1.AD DB，DGBC1.2分DG 平面A1DC，BC1平面A1DC，BC1平面A1DC.BDCB1AGA1C14 分解法一：（）连结DC1，设C1到平面A1DC的距离为h.四边形ACC1A1是平行四边形，SACA1.SACC11VDACA1VDACC.1111VDACA1VA1ACDSACD AA1，381VC1A1CD.6 分8在等边三角形ABC中，D为AB的中点，CD3,CD2AB.AD是A1D在平面ABC内的射影，CDA1D.8 分SA1DCDCDA139.28h 3VC1A1DCSA1DC39.9 分13F，连结EF.（）过点D作
13、DE AC交AC于E，过点D作DF AC1交AC1于平面ABC平面ACC1A1，DE 平面ABC，平面ABC平面ACC1A1 AC，ADBA1FCB1C1EDE 平面ACC1A1.EF是DF在平面ACC1A1内的射影.EF AC1.DFE是二面角DAC1A的平面角.12 分在直角三角形ADC中，DEAD DCAC3.4同理可求：DFA1D DCAC12 13.13，39.8sin DFEDEDF0,DFE2DFEarcsin2 13.13zADBxOB1A1C1Ey14 分解法二：过点A作AO BC交BC于O，过点O作COE BC交B1C1于E.因为平面ABC平面CBBCAO 平面CBBC11
14、，所以11.分别以CB,OE,OA所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.因为BC1,AA13，ABC是等边三角形，所以O为BC的中点.则O0,0,0，3A0,0,21C,0,02，3A10,3,2，13D(,0,)44，1C1,3,0.6 分2（）设平面A1DC的法向量为n x,y,z，则nCD 0,n A1C 0.CD (,0,34313)，AC (,3,)，142233z 0,x441x3y3z 0.22取x 3，得平面A1DC的一个法向量为n 3,1,3.8 分C1到平面A1DC的距离为：CC1nn39.10 分13()解：同（）可求平面ACA1的一个法向量为n112
15、 分设二面角D3,0,1.AC1A的大小为，则cos cos n,n163 13.131320,，arccos14 分3 13.13（18）（本小题共 14 分）解：（）由已知得p1 p2 p31.p2 p3,p1 2p21.p1,p2是方程25x215x a 0的两个根,p1 p2p13.512,p2 p3.553 分（）的可能取值为 0，100，200，300，400.4 分111,P 0=5525124,P100=2552512228,P 200=2555525228,P 300=25525224.P 400=55259 分随机变量的分布列为：P010020030040012542582
16、582542511 分（）销售利润总和的平均值为E=014884100 200300 400=240.2525252525销售两台这种家用电器的利润总和的平均值为240 元.14 分注：只求出E，没有说明平均值为 240 元，扣 1 分.（19）（本小题共 14 分）解：（）设动点P的坐标为x,y，则直线PA,PB的斜率分别是由条件得y1 y1,.xxy1 y1xx1.2x2即2所以y2动1 x点0.P的轨迹C的方程为x22y21 x0.5 分0扣 1 分.注：无x（）设点M,N的坐标分别是x1,y1,x2,y2.当直线 l 垂直于 x 轴时，x1所以QM所x21,y1y2,y121.2x12
17、2,y1,QNy12x22,y2x12,y1.以QM QNx1217.7 分2当直线 l 不垂直于 x 轴时，设直线 l 的方程为yk x1,x2y21,22由2得12kxyk(x1)所4k2x2k220.以4k22k2 2x1 x2,x1x2.9 分221 2k1 2k所以QM QN因为y1x12 x22y1y2x1x22 x1x24y1y2.k x11,y2k2k x21，1 x1x2述所以QM QNk22x1x2的k24172132 12k2大值17.2是综上所QM QN最17.11 分2因为S tan MQN恒成立,即1sin MQN恒成立.|QM|QN|sin MQN 2cosMQN
18、由于QM QN1720.以132 12k20.所以cosMQN所QM QN 2恒成立.13 分所以的最小值为17.14 分4注：没有判断MQN为锐角，扣 1 分.（20）（本小题共 14 分）解：（）an不是无界正数列理由如下：取 M=5，显然an32sin(n)5，不存在正整数n0满足an05；bn是无界正数列理由如下：对任意的正数 M，取n0为大于 2M 的一个偶数，有bn0所以n012M 1 M，22正数bn是无界列4分（）存在满足题意的正整数k.理由如下：当n3时，因为n a1a2a2a3ana2a1a3a2a2a3an1an1anan1114511111，n34562即取k 3，对于
19、一切n k，有a1a2a2a3an1 n成立.an129 分注：k 为大于或等于 3 的整数即可.（）证明：因为数列an是单调递增的正数列，所以n a1a2a2a3ana2a1a3a2a2a3an1an1anan1a2a1a3a2an1an1an1anan1a1a11.an1an1an1a1a2即a2a3ana n11.an1an1因为an是无界正数列，取M 2a1，由定义知存在正整数n1，使an11 2a1.aa所以12a2a3an1an111 n1.2由定义可知an是无穷数列，考察数列an11，an12，an13，显然这仍是一个单 调 递 增 的 无 界 正 数 列，同 上 理 由 可 知 存 在 正 整 数n2，使 得an11an12an12an13an2an211n2n1.2重复上述操作，直到确定相应的正整数n4018.则a1a2a2a3an4018an4018111n1n2n1221n4018n40172 n40182009.a1a2即存在正整数mn4018，使得a2a3amm 2009成立.am114 分说明：其它正确解法按相应步骤给分说明：其它正确解法按相应步骤给分.