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1、选修选修 2-32-3 定理概念及公式总结定理概念及公式总结第一章基数原理第一章基数原理1.1.分类计数原理：分类计数原理：做一件事情，完成它可以有 n 类方法，在第一类方法中有m m1 1种不同的方法，在第二类方法中有m m2 2种不同的方法，在第 n 类方法中有m mn n种不同的方法那么完成这件事共有 N=mN=m1 1+m+m2 2+m+mn n种不同的方法2.2.分步计数原理：分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1种不同的方法，做第二步有 m2种不同的方法，做第 n 步有 mn种不同的方法，那么完成这件事有 N=mN=m1 1mm2 2mmn n种不同
2、的方法分类要做到“不重不漏”分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”，分步要做到“步骤完整”3.3.两个计数原理的区别两个计数原理的区别:如果完成一件事，有 n 类方法，不管哪一类方法中的哪一种方法，都能独立完成这件事,用分类计数原理，如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理.4.4.排列排列:从 n 个不同的元素中取出 m 个(mn)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.m m1排列数:从 n 个不同的元素中取出 m 个(mn)元素的所有排列的个数.用符号A An n表示m n(
3、n 1)(n 2)(n m 1)用于计算，2排列数公式:Anm m或A An nn!n n,m m N N,m m n n用于证明。(n m)!n n=n n!=n n n n 1 1 3 3 2 2 1 1=n(n-1)!规定 0！=1A An n5.5.组合：组合：一般地，从n个不同元素中取出mm n个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合1组合数:从n个不同元素中取出mm n个元素的所有组合的个数，用C Cn n表示m mAnmn(n1)(n2)(nm1)2组合数公式:C m用于计算，Amm!mn或Cmnn!(n,m N,且m n)用于证明。m!(n m)!3组合数的性
4、质：mnm0mmm1 Cn1；CnCn规定：Cn.1Cn+Cnn n 1 11 1n nC Cn n C Cn n n nC Cn n 1 16.6.二项式定理及其特例：二项式定理及其特例：1n11二项式定理abCn0anCnab Cnranrbr CnnbnnNn1,2,n 叫做二项式系数。展开式共有 n+1 项，其中各项的系数Cnrr 0,1x2特例：(1 x)n1CnrrCnx xn.7.7.二项展开式的通项公式：二项展开式的通项公式：Tr1Cnranrbr为展开式的第 r+1 项8 8二项式系数的性质：二项式系数的性质：1对称性：在 a a b b 展开式中，与首末两端“等距”的两个二
5、项式系数相等,n nmnm Cn即Cn，直线r n是图象的对称轴22增减性与最大值：当r n 12时，二项式系数逐渐增大，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值。当n是偶数时，在中间一项Tn2的二项式系数C取得最大值；2n12nn12nn2n当n是奇数时，在中间两项Tn1，Tn3的二项式系数C22，C取得最大值9.9.各二项式系数和：各二项式系数和：1Cn0CnCn2 Cnn2n，12CnCnCn CnCnCn 2024135n110.10.各项系数之和：各项系数之和：采用赋值法采用赋值法例：求解：令x x 2 2x x 3 3y y 9 9的各项系数之和 2 2x x 3 3
6、y y 9 9 a a0 0 x x9 9 a a1 1x x8 8y y a a2 2x x7 7y y2 2 a a9 9y y9 9 1 1,y y 1 1，则有 2 2x x 3 3y y a a0 0 a a1 1 a a2 2 a a9 9 2 2 3 3 1 1，9 99 9故各项系数和为-1第二章第二章 概率概率知识点：知识点：1 1、随机变量、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用大写字母 X、Y 等或希腊字母、等表示。2 2、离散型随机变量：、离散型随机变量：在上面的射击、产
7、品检验等例子中，对于随机变量X 所有可能的值能一一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量3 3、离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1,x2,.,xi,.,xnX 取每一个值 xi的概率 p1，p2,.,p i,.,p n，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列4 4、分布列性质、分布列性质 pi0,i=1，2，n；p1+p2+pn=15 5、二点分布：、二点分布：如果随机变量X 的分布列为：其中 0p1，q=1-p，则称离散型随机变量X 服从参数 p 的二点分布6、超几何分布超几何分布：一般地,设总数为 N 件的两类物品，
8、其中一类有M 件，从所有物品中任取n(nN)件,这 n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，则它取值为m 时的概率为m mn n m mC CMMC CN N MMP P(X X m m)(0(0 m m l l,l l为n n和MM中的较小的一个)，n nC CN N7、条件概率条件概率：对任意事件 A 和事件 B，在已知事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，叫做条件概率.记作 P(B|A)，读作 A 发生的条件下 B 的概率8、公式公式：P(B|A)P(AB),P(A)0.P(A)9、相互独立事件相互独立事件：事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响
9、,这样的两个事件叫做相互独立事件。P(B|A)P(B)10、n n 次独立重复次独立重复试验：在相同条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，一般就称它为 n n 次独立重复次独立重复试验11、二项分布、二项分布：设在 n 次独立重复试验中某个事件A 发生的次数设为 X如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，事件 A 不发生的概率为 q=1-p，那么在 n 次独立重复试验中，事件 Ak kk kn n k k恰好发生 k 次的概率是P P(X X k k)C Cn np p q q其中 k=0,1,n于是可得随机变量 X 的分布列如下：这样的离散型随机变量X 服从参数为 n，p 二项
10、分布，记作 XB(n，p)。12、数学期望：数学期望：一般地，假设离散型随机变量X 的概率分布为则称E E(X X)x x1 1p p1 1 x x2 2p p2 2 x xn np pn n为离散型随机变量X的数学期望或均值 简称为期望 (x xn n E E(X X)2 2p pn n叫随机变量 X2 22 213、方差方差:D D(X X)(x x1 1 E E(X X)p p1 1 (x x2 2 E E(X X)p p2 2 的方差，简称方差。14、集中分布的期望与方差一览：集中分布的期望与方差一览：两点分布二项分布，X Bn,p超几何分布 N，M，n15、正态分布：正态分布：期望E
11、 E(X X)p pE E(X X)npnpE E(X X)nMnMN N方差D D(X X)pqpqD D(X X)npqnpq假设正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)1e2(x)222,x (,)的图像，其中解析式中的实数、是参数，且 0，、分别表示总体的期望与标准差期望为与标准差为的正态分布通常记作N(,)，正态变量概率密度曲线的函数的图象称为正态曲线。216、正态曲线基本性质：基本性质：1曲线在 x 轴的上方，并且关于直线x=对称2曲线在x=时处于最高点，并且由此处向左、右两边无限延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状3曲线的形状由 确定 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中17、3 3原则：原则：容易推出,正变量在区间(2 2,2 2)以外取值的概率只有 4.6%,在(3 3,3 3)以外取值的概率只有 0.3%由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.P P(,)68.3%68.3%P P(2 2,2 2)95.4%95.4%P P(3 3,3 3)99.7%99.7%