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1、11. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容;2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用一、两量重叠问题在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成：ABABAB(其中符号“”读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思;符号“”读作“交”,相当于中文“且”的意思)则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理图示如下:A表示小圆部分,B表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分,记为：AB,即阴影面积图示如下:A表示小圆部分,B表示大圆部分,C
2、表示大圆与小圆的公共部分,记为：AB,即阴影面积 包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合AB、的并集AB的元素的个数,可分以下两步进行：第一步：分别计算集合AB、的元素个数,然后加起来,即先求AB(意思是把AB、的一切元素都“包含”进来,加在一起);第二步：从上面的和中减去交集的元素个数,即减去CAB(意思是“排除”了重复计算的元素个数)二、三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B类元素个数C类元素个数既是A类又是B类的元素个数既是B类又是C类的元素个数既是A类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类的元素个数用符号表示为：ABCABCABBCACABC图示如下：知识要点知识
3、要点教学目标教学目标1先包含AB重叠部分AB计算了2次,多加了1次;2再排除ABAB把多加了1次的重叠部分AB减去7-7-47-7-4 容斥原理之数论问题容斥原理之数论问题2在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考【例例 1】在1100的全部自然数中,不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个?AB【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析解析解析】如图,用长方形表示1100的全部自然数,A圆表示1100中3的倍数,B圆表示1100中5的倍数,长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数由1003331可知,1100中3的倍数有33个;由
4、100520可知,1100中5的倍数有20个;由1003 5610 （）可知,1100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个由包含排除法,3或5的倍数有：3320647(个)从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有1004753(个)【答案】53【巩固巩固】在自然数1 100中,能被3或5中任一个整除的数有多少个?【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】1003331,100520,1003 5610 （）根据包含排除法,能被3或5中任一个整除的数有3320647(个)【答案】47【巩固巩固】 在前100个自然数中,能被2或3整除的数有多少个?【考点】容斥原理之数论问题 【难度
5、】2 星 【题型】解答【解析】如图所示,A圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数,B圆内是前100个自然数中所有能被3整除的数,C为前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数前100个自然数中能被2整除的数有：100250(个)由1003331知,前100个自然数中能被3整除的数有：33个由10023164（）知,前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数有16个所以A中有50个数,B中有33个数,C中有16个数因为A,B都包含C,根据包含排除法得到,能被2或3整除的数有：5033 1667(个)【答案】67【例例 2】在从 1 至 1000 的自然数中,既不能被 5 除尽,又不能
6、被 7 除尽的数有多少个?【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2 星 【题型】解答例题精讲例题精讲图中小圆表示A的元素的个数,中圆表示B的元素的个数,大圆表示C的元素的个数1先包含：ABC重叠部分AB、BC、CA重叠了2次,多加了1次2再排除：ABCABBCAC重叠部分ABC重叠了3次,但是在进行ABC ABBCAC计算时都被减掉了3再包含：ABCABBCACABC3【解析】11000 之间,5 的倍数有10005=200 个,7 的倍数有10007=142 个,因为既是 5 的倍数,又是 7 的倍数的数一定是 35 的倍数,所以这样的数有100035=28 个所以既不能被 5 除尽,又不能被
7、 7 除尽的数有 1000-200-142+-28=686 个【答案】686【巩固巩固】 求在 1 至 100 的自然数中能被 3 或 7 整除的数的个数【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】记 A：1100 中 3 的倍数,1003331,有 33 个;B：1100 中 7 的倍数,1007142,有 14 个;AB：1100 中 3 和 7 的公倍数,即 21 的倍数,10021416 ,有 4 个依据公式,1100 中 3 的倍数或 7 的倍数共有3314443个,则能被 3 或 7 整除的数的个数为 43个.【答案】43【例例 3】以 105 为分母的最简真分
8、数共有多少个?它们的和为多少?【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4 星 【题型】解答【解析】以 105 为分母的最简真分数的分子与 105 互质,105=357,所以也是求 1 到 105 不是 3、5、7 倍数的数有多少个,3 的倍数有 35 个,5 的倍数有 21 个,7 的倍数有 15 个,15 的倍数有 7 个,21 的倍数有 5 个,35 的倍数有 3 个,105 的倍数有 1 个,所以 105 以内与 105 互质的数有 105-35-21-15+7+5+3-1=48 个,显然如果 n 与 105 互质,那么（105-n）与 n 互质,所以以 105 为分母的 48 个最简真分数
9、可两个两个凑成 1,所以它们的和为 24.【答案】48个,和24【巩固巩固】分母是 385 的最简真分数有多少个?并求这些真分数的和.【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4 星 【题型】解答【解析】385=5711,不超过 385 的正整数中被 5 整除的数有 77 个;被 7 整除的数有 55 个;被 11 整除的数有 35 个;被 77 整除的数有 5 个;被 35 整除的数有 11 个;被 55 整除的数有 7 个;被 385 整除的数有1 个;最简真分数的分子可以有 385-77-55-35+5+11+7-1=240.对于某个分数 a/385 如果是最简真分数的话,那么（385-a）/
10、385 也是最简真分数,所以最简真分数可以每两个凑成整数 1,所以这些真分数的和为 120.【答案】240个,120个【例例 4】 在 1 至 2008 这 2008 个自然数中,恰好是 3、5、7 中两个数的倍数的数共有 个【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】西城实验【解析】1 到 2008 这 2008 个自然数中,3 和 5 的倍数有200813315个,3 和 7 的倍数有20089521个,5 和7 的倍数有20085735个,3、5 和 7 的倍数有200819105个所以,恰好是 3、5、7 中两个数的倍数的共有133 1995195719228个【
11、答案】228个【例例 5】求 1 到 100 内有_个数不能被 2、3、7 中的任何一个整除.【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】学而思杯,4 年级,第 12 题【解析】被2整除的有50个,被3整除的有33个,被7整除的有14个同时被2和3整除的有16个,同时被2和7整除的有7个,同时被3和7整除的有4个同时被2和3和7整除的有2个,100503314167421007228个【答案】28 个.4【例例 6】在从 1 到 1998 的自然数中,能被 2 整除,但不能被 3 或 7 整除的数有多少个?【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】a
12、b 表示取商的整数部分例如,732 要注意的是,符号 与、符号一样,也是一种运算,叫取整运算本题中,先求出能被 2 整除的数有多少个,再分别求出能被 2 和 3、能被 2 和 7 分别整除的数的个数,那么用能被 2 整除的数的个数减去能被 2 和 3 整除的数的个数,再减去能被 2 和 7 整除的数的个数,所得的差是不是所求的得数呢?仔细想想你会发现不是的,因为它多减了能同时被2、3、7 整除的数故能被 2 整除的有：19982999(个)能被 2 和 3 同时整除的有：199823 333（）(个)能被 2 和 7 同时整除的有：199827 142（）能被 2、3、7 同时整除的有：199
13、823 7 47 （）(个)所以,能被 2 整除,但不能被 3 或 7 整除的数有999333 14247571(个)【答案】571个【例例 7】50 名同学面向老师站成一行老师先让大家从左至右按 1,2,3,49,50 依次报数;再让报数是 4的倍数的同学向后转,接着又让报数是 6 的倍数的同学向后转问：现在面向老师的同学还有多少名?【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】华杯赛,初赛,第 13 题【解析】在转过两次后,面向老师的同学分成两类：第一类是标号既不是 4 的倍数,又不是 6 的倍数;第二类是标号既是 4 的倍数又是 6 的倍数150 之间,4 的倍数有5
14、04=12,6 的倍数有506=8,即是 4 的倍数又是 6 的倍数的数一定是 12 的倍数,所以有5012=4于是,第一类同学有 50-12-8+4=34 人,第二类同学有 4 人,所以现在共有34+4=38 名同学面向老师【答案】38名【例例 8】体育课上,60 名学生面向老师站成一行,按老师口令,从左到右报数：1,2,3,60,然后,老师让所报的数是 4 的倍数的同学向后转,接着又让 所报的数是 5 的倍数的同学向后转,最后让所报的数是6 的倍数的同学向后转,现在面向老师的学生有_人.【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯,六年级,二试,第 15 题,4
15、 分【解析】 可知其中 4 的倍数有 15 个,5 的倍数有 12 个,6 的倍数有 10 个,同时是 4 和 5 的倍数的有 3 个,同时是 5 和 6 的倍数的有 2 个,同时是 4 和 6 的倍数的有 5 个,同时是 4、5、6 的倍数的数有 1 个,现在背向老师的有 15+12+10-3-2-5+1=28 个,面向老师的学生有 60-28=32 人.转过两次的有：31+21+517.最后面向老师的学生数=32+739 个.【答案】39个【例例 9】有 2000 盏亮着的电灯,各有一个拉线开关控制着,现按其顺序编号为 1,2,3,2000,然后将编号为 2 的倍数的灯线拉一下,再将编号为
16、 3 的倍数的灯线拉一下,最后将编号为 5 的倍数的灯线拉一下,三次拉完后,亮着的灯有多少盏?5532GFEDCBA【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】三次拉完后,亮着的灯包括不是 2、3、5 的倍数的数以及是 6、10、15 的倍数但不是 30 的倍数的数12000 这 2000 个正整数中,2 的倍数有 1000 个,3 的倍数有 666 个,5 的倍数有 400 个,6 的倍数有 333 个,10 的倍数有 200 个,15 的倍数有 133 个,30 的倍数有 66 个,亮着的灯一共有 2000-1000-666-400+2（333+200+133）-466
17、=1002 盏【答案】1002盏【巩固巩固】2006 盏亮着的电灯,各有一个拉线开关控制,按顺序编号为 1,2,3,2006.将编号为 2 的倍数的灯的拉线各拉一下;再将编号为 3 的倍数的灯的拉线各拉一下,最后将编号为 5 的倍数的灯的拉线各拉一下.拉完后这着的灯数为（ ）盏.【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】走美杯,五年级,第 11 题,六年级,第 11 题【解析】因为灯在开始的时候是亮着的,所以拉了两次或者没拉的灯最后还是亮的这道题实际上是求1 到 2006 中不能被 2、3、5 整除的数和只能同时被 2、3、5 中 2 个数整除的数的总个数我们可以求得被
18、 2 整除的数有200621003(盏),被 3 整除的数有200636682,共 668(盏),被 5 整除的数有200654011,共 401(盏)其中,同时被 2、3 整除的数有2006(23)3342,共 334(盏);同时被 3、5 整除的有2006(3 5)13311,共 133(盏);同时被 2、5 整除的数有2006(25)2006,共 200(盏);同时被 2、3、5 整除的数有2006(23 5)6626 ,共 66(盏),所以,只能同时被 2、3、5 中 2 个数整除的数的个数为3341332003 66469 (盏),不能被 2、3、5 整除的数的个数为 2006100
19、366840133413320066535(盏)所以,最后亮着的灯一共为4695351004(盏)【答案】1004盏【巩固巩固】写有 1 到 100 编号的灯 100 盏,亮着排成一排,每一次把编号是 3 的倍数的灯拉一次开关,第二次把编号是 5 的倍数的灯拉一次开关,那么亮着的灯还有多少盏?【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析解析解析】因为灯在开始的时候是亮着的,所以拉了两次或者没拉的灯最后还是亮的没拉的灯有100100100100()100(33206)53353 5(盏),拉两次的有10063 5(盏),最后亮着的灯一共为53659(盏)【答案】59盏【例例 1
20、0】 200 名同学编为 1 至 200 号面向南站成一排第 1 次全体同学向右转（转后所有的同学面朝西）;第 2 次编号为 2 的倍数的同学向右转;第 3 次编号为 3 的倍数的同学向右转;第 200 次编号为 200 的倍数的同学向右转;这时,面向东的同学有 名6【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】迎春杯,五年级,初赛,10 题【解析解析解析】只有约数个数被4除余3的数,最后面向东约数个数为3的数有22、23、25、27、211、213,共8个数约数个数为7的数有62,1个,约数个数为15的数有2432144,1个 一共有8个满足条件的编号【答案】8名【例例
21、11】 下编号是 1、2、3、36 号的 36 名学生按编号顺序面向里站成一圈.第一次,编号是 1 的同学向后转,第二次,编号是 2、3 的同学向后转,第三次,编号是 4、5、6 的同学向后转,第 36 次,全体同学向后转.这时,面向里的同学还有_名.【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】迎春杯,中年级,复试,10 题【解析解析解析】整个过程中一共转了 1+2+3+4+36=666 人次,每转过 72 人次所有学生的朝向就会和原来一样,那么66672=918,于是应该有 18 名同学面朝里,18 名同学面朝外.【答案】18名【例例 12】 在游艺会上,有 100 名
22、同学抽到了标签分别为 1 至 100 的奖券按奖券标签号发放奖品的规则如下：（1）标签号为 2 的倍数,奖 2 支铅笔;（2）标签号为 3 的倍数,奖 3 支铅笔;（3）标签号既是 2 的倍数,又是 3 的倍数可重复领奖;（4）其他标签号均奖 1 支铅笔那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支?【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4 星 【题型】解答【解析解析解析】1100,2 的倍数有1002=50,3 的倍数有1003=33 个,因为既是 2 的倍数,又是 3 的倍数的数一定是 6 的倍数,所以标签为这样的数有1006=16 个于是,既不是 2 的倍数,又不是 3 的倍数的数在1100
23、 中有 100-50-33+16=33所以,游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有：502+333+331=232 支.【答案】232支【例例 13】 在一根长木棍上,有三种刻度线,第一种刻度线将木棍分成十等份;第二种将木棍分成十二等份;第三种将木棍分成十五等份;如果沿每条刻度线将木棍锯断,则木棍总共被锯成_段【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3 星 【题型】填空【解析解析解析】假设木棍长60cm,则沿第一种刻度线锯成的木棍每段长60106cm,沿第二种刻度线锯成的木棍每段长60125cm,沿第三种刻度线锯成的木棍每段长60144cm因为,沿三种刻度线可将木棍分别锯成 10、12、15 段;沿第
24、一、二种重合的刻度线可将木棍锯成606,52段,沿第一、三种重合的刻度线可将木棍锯成606,45段,沿第二、三种重合的刻度线可将木棍锯成605,43段;沿三种刻度重合的刻度线可将木棍锯成606,5,41段应该减去重复计算的沿任意两种重合的刻度线锯成的段数,应加上多减去的沿三种刻度重合的刻度线锯成的段数所以,沿每条刻度线将木棍锯断,则木棍总共被锯成101215253128 段【答案】28段【例例 14】 一根 101 厘米长的木棒,从同一端开始,第一次每隔 2 厘米画一个刻度,第二次每隔 3 厘米画一个刻度,第三次每隔 5 厘米画一个刻度,如果按刻度把木棒截断,那么可以截出 段【考点】容斥原理之
25、数论问题 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】101 中学【解析】要求出截出的段数,应当先求出木棒上的刻度数,而木棒上的刻度数,相当于71、2、3、100、101 这 101 个自然数中 2 或 3 或 5 的倍数的个数,为：1011011011011011011017423523253 523 5 ,故木棒上共有 74 个刻度,可以截出 75 段【答案】75段【巩固巩固巩固巩固】一根1.8米长的木棍,从左端开始每隔 2 厘米画一个刻度,涂完后再从左端开始每隔 3 厘米画一个刻度,再从左端每隔 5 厘米画一个刻度,再从左端每隔 7 厘米画一个刻度,涂过按刻度把木棍截断,一共可以截成多少段小木
26、棍?【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4 星 【题型】解答【解析】1.8米长的木棍,按 2 厘米一段画出刻度,那么也就是说所有的偶数点都已经划过了,即2、4、6、8、10共 89 个点,那么再画 3 的时候所有的偶数点都已经划过,那么会多出 30 个点,即 3、9、15,再画 5 的时候会多出来的点是5、25、35、55、65、85、95、115、125、145、155、175,共 12 个,最后画间隔 7 厘米的时候,会多出 7、49、77、91、119、133、161 共 7 个点,那么所有的刻度总和应该是8930127138个,那么截断之后应该会有 139 段小木棍【答案】139段【例例 15】 在循环小数中类似于10.1428577,10.07692313等,循环节是从小数点右边的第一位（即十分位）就开始的小数,叫做纯循环小数,包括7和13在内,共有 个正整数,其倒数是循环节恰好为六位的纯循环小数.【考点】容斥原理之数论问题 【难度】5 星 【题型】填空【关键词】学而思杯,6 年级,1 试,第 4 题【解析】根据容斥原理,999999的约数有64个,999的约数有8个,99的约数有6个,9的约数有3个, 所求的n的个数为64(863)53（个）.【答案】53个