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1、第四章第四章第四章第四章效用函数效用函数效用函数效用函数管理决策分析第三章国际经济管理学院管理决策分析第三章国际经济管理学院随机决策问题随机决策问题1.随机决策的特点1.随机决策的特点?状态的随机性状态的随机性?决策结果值的效用特性决策结果值的效用特性2.随机决策分析的基础2.随机决策分析的基础在随机决策中，决策系统（,A,F）中的在随机决策中，决策系统（,A,F）中的决策方案决策方案决策方案决策方案均是在均是在状状状状态空间态空间态空间态空间背景中加以比较，并按照某种背景中加以比较，并按照某种规则规则规则规则，选出决策者最满意的行动方案。，选出决策者最满意的行动方案。两个问题两个问题：?如何
2、表述在状态空间背景中的决策方案，如何表述在状态空间背景中的决策方案，?如何按照人们共同遵循的行为准则，作为评价方案优劣的价值标准。如何按照人们共同遵循的行为准则，作为评价方案优劣的价值标准。管理决策分析第三章国际经济管理学院管理决策分析第三章国际经济管理学院例例1某工厂要对一项新产品是否投产进行决策。为了市场有两者状态：好、坏。投产与否的后果（收益）如下：某工厂要对一项新产品是否投产进行决策。为了市场有两者状态：好、坏。投产与否的后果（收益）如下：0-3万坏（万坏（0.5）020万好（万好（0.5）不投产）不投产a2投产投产a1方案状态方案状态管理决策分析第三章国际经济管理学院管理决策分析第三
3、章国际经济管理学院“圣彼德堡悖论圣彼德堡悖论”问题问题?有这样一场赌博：掷硬币直到头部出现为止。当头部出现时，如果投掷次数为有这样一场赌博：掷硬币直到头部出现为止。当头部出现时，如果投掷次数为x，则奖励金额为，则奖励金额为2x-1元。一旦头部出现，博弈终止。第一次赢得元。一旦头部出现，博弈终止。第一次赢得 1 元，第一次输第二次赢得元，第一次输第二次赢得 2 元，前两次输第三次赢得元，前两次输第三次赢得 4 元，元，一般情形为前一般情形为前 n-1 次输，第次输，第 n 次赢得次赢得 2 的的 n-1 次方元。问：应先付多少钱，才能使这场赌博是次方元。问：应先付多少钱，才能使这场赌博是“公平公
4、平”的？的？?如果用数学期望来定价，答案将是无穷大！如果用数学期望来定价，答案将是无穷大！?但经过试验观察，我们发现，为了参加这一游戏，人们愿意付出的金额在但经过试验观察，我们发现，为了参加这一游戏，人们愿意付出的金额在2-3之间。之间。?因此，期望收益最大原则并不能解决一切的不确定性问题。因此，期望收益最大原则并不能解决一切的不确定性问题。效用及效用函数效用及效用函数管理决策分析第三章国际经济管理学院管理决策分析第三章国际经济管理学院4.1 理性行为公理理性行为公理一、事态体及其关系一、事态体及其关系1.事态体的定义1.事态体的定义在管理决策理论中，常用事态体表示在随机性状态空间中的行动方案
5、，方案的比较表示为事态体的比较。在管理决策理论中，常用事态体表示在随机性状态空间中的行动方案，方案的比较表示为事态体的比较。定义定义：具有两种或两种以上有限个可能结果的方案（或事情），称为事态体。事态体中各可能结果出现的：具有两种或两种以上有限个可能结果的方案（或事情），称为事态体。事态体中各可能结果出现的概率是已知概率是已知的。的。11=njjp设事态体的设事态体的n个可能结果值为个可能结果值为o1,o2,on,相应出现的概率为相应出现的概率为p1,p2,pn,并且则事态体记作并且则事态体记作T=(p1,o1;p2,o2;,pn,on)管理决策分析第三章国际经济管理学院管理决策分析第三章国际
6、经济管理学院一、事态体及其关系一、事态体及其关系2.事态体的表示和性质2.事态体的表示和性质事态体事态体T=(p1,o1;p2,o2;,pn,on)可以用树形图表示特别地，当可以用树形图表示特别地，当n=2时，称时，称T为为简单事态体简单事态体，即：，即：T=(p,o1;1-p,o2)。简单事态体。简单事态体T的树形图的树形图管理决策分析第三章国际经济管理学院管理决策分析第三章国际经济管理学院例例2某公司研究试制一种新产品，投入市场有一定风险。根据市场预测，该产品在市场看好的情况下，可以获利某公司研究试制一种新产品，投入市场有一定风险。根据市场预测，该产品在市场看好的情况下，可以获利20万；在
7、市场前景较差时，将亏损万；在市场前景较差时，将亏损5万元。市场较好和较差的概率分别为万元。市场较好和较差的概率分别为0.6和和0.4。管理决策分析第三章国际经济管理学院管理决策分析第三章国际经济管理学院一、事态体及其关系一、事态体及其关系事态体集合事态体集合(伽马伽马)的性质的性质?在凸线性组合下，是闭集。即若在凸线性组合下，是闭集。即若T1,T2,当当01时，有 时，有 T1+(1-)T2解释和举例：解释和举例：?可以理解为闭区间中两点的线性组合仍然属于该区间（连续情况）可以理解为闭区间中两点的线性组合仍然属于该区间（连续情况）?离散：需五台设备，有A、B两种型号的组合离散：需五台设备，有A
8、、B两种型号的组合?退化事态体仍属于事态体集合。退化事态体退化事态体仍属于事态体集合。退化事态体 T=(o,o1;o,o2;1,oj;o,on)管理决策分析第三章国际经济管理学院管理决策分析第三章国际经济管理学院一、事态体及其关系一、事态体及其关系3.事态体的比较3.事态体的比较决策的最终结果，是将行动方案依据某种准则作出合理的排序，从而选择最满意的方案。决策的最终结果，是将行动方案依据某种准则作出合理的排序，从而选择最满意的方案。方案的排序就是事态体的比较。方案的排序就是事态体的比较。定义1：定义1：设设o1,o2是事态体是事态体T任意两个结果值，根据决策目标和决策者的偏好，任意两个结果值，
9、根据决策目标和决策者的偏好，o1和和o2有：有：?若对结果值若对结果值o1,o2无所偏好，则称无所偏好，则称o1无差异于无差异于o2,记做记做o1o2。?若偏好结果值若偏好结果值o1,则称则称o1优于优于o2,记做记做o1o2；反之，称；反之，称o1劣于劣于o2,记做记做o1o2。fp?若不偏好结果值若不偏好结果值o1,则称则称o1不优于不优于o2,记做记做o1 o2；反之，称；反之，称o1不劣于不劣于o2,记做记做o1 o2。pf管理决策分析第三章国际经济管理学院管理决策分析第三章国际经济管理学院一、事态体及其关系一、事态体及其关系3.事态体的比较3.事态体的比较定义2定义2：设两个简单事态
10、体：设两个简单事态体T1,T2具有相同的结果值具有相同的结果值o1,o2,即即T1=(p1,o1;1-p1,o2),T2=(p2,o1;1-p2,o2),并假定并假定o1 o2f?若若p1=p2,则称事态体则称事态体T1无差异于无差异于T2,记作记作T1T2。p?若若p1p2,则称事态体则称事态体T1优于优于T2,记作记作T1T2；反之，称事态体；反之，称事态体T1劣于劣于T2，记作，记作T1T2。f例：某公司试制新产品方案例：某公司试制新产品方案T1=(0.6,20;0.4,-5)另一新产品方案为另一新产品方案为T2=(0.7,20;0.3,-5)。显然，显然，T2 T1。f管理决策分析第三
11、章国际经济管理学院管理决策分析第三章国际经济管理学院一、事态体及其关系一、事态体及其关系012oooff定义3定义3：设有两个简单事态体：设有两个简单事态体T1,T2仅具有一个相同结果值，另一个结果值不相同，即仅具有一个相同结果值，另一个结果值不相同，即T1=(p1,o1;1-p1,o0),T2=(p2,o2;1-p2,o0)，其中，其中3.事态体的比较3.事态体的比较12TT f?若若p1p2，则称事态体，则称事态体T2优于优于T1，记作，记作?若若T2 T1，则一定有，则一定有p1p212TT f例：例：新产品方案新产品方案T1=(p1,10;1-p1,-5)；新产品方案；新产品方案T2=
12、(p2,20;1-p2,-5)如果如果p1=p2则：如果两个方案则：如果两个方案T1和和T2无差异，则：无差异，则：p1p2管理决策分析第三章国际经济管理学院管理决策分析第三章国际经济管理学院4.1 理性行为公理理性行为公理二、理性行为公理二、理性行为公理?理性行为所遵循的一般规律，并且无需证明，为人们普遍接受，称之为理性行为公理。理性行为所遵循的一般规律，并且无需证明，为人们普遍接受，称之为理性行为公理。?理性行为公理是理性行为公理是效用函数效用函数效用函数的基础。效用函数的基础。?只有满足理性行为公理的事态体集合，其元素之间的优劣关系和它的效用才具有只有满足理性行为公理的事态体集合，其元素
13、之间的优劣关系和它的效用才具有一致性一致性一致性。（一致性。（优的元素，其效用一定大优的元素，其效用一定大优的元素，其效用一定大优的元素，其效用一定大）1.连通性公理1.连通性公理上事态体的优劣关系是连通的。上事态体的优劣关系是连通的。21TT f12TT f即：若即：若T1,T2，则或者，或者，或者，则或者，或者，或者T1T2，三者必居其一。，三者必居其一。说明说明：上的所有元素，其优劣关系都具有可比性。：上的所有元素，其优劣关系都具有可比性。管理决策分析第三章国际经济管理学院管理决策分析第三章国际经济管理学院二、理性行为公理二、理性行为公理2.传递性公理2.传递性公理上事态体的优劣关系是传
14、递的即：若上事态体的优劣关系是传递的即：若T1,T2,T3，则，则21TT f32TTf31TT f?，则，则?T1 T2,T2 T3,则则T1 T3说明说明：上元素优劣关系比较是可传递。：上元素优劣关系比较是可传递。全序集全序集满足以下两个公理满足以下两个公理2的事态体集合，称为全序集。的事态体集合，称为全序集。?连通性公理连通性公理?传递性公理即：事态体集合上事态体的优劣关系是可比的，并且该关系是具有传递性的。传递性公理即：事态体集合上事态体的优劣关系是可比的，并且该关系是具有传递性的。管理决策分析第三章国际经济管理学院管理决策分析第三章国际经济管理学院二、理性行为公理二、理性行为公理3.
15、复合保序性公理3.复合保序性公理p21TT p?若若T1,T2,Q,且且01，则，则当且仅当当且仅当T1+(1-)Q T2+(1-)Q 有有说明说明：事态体的优劣关系是可以复合的，复合之后的事态体保持原有的优劣关系不变。：事态体的优劣关系是可以复合的，复合之后的事态体保持原有的优劣关系不变。例例：T1：投资股票：投资股票A5万，万，T2：投资股票：投资股票B5万，万，Q：银行存款：银行存款5万若万若0.8T1+(1-)Q：股票：股票A4万，银行存款万，银行存款1万万T2+(1-)Q：股票：股票B4万，银行存款万，银行存款1万显然：组合后的关系不变。万显然：组合后的关系不变。管理决策分析第三章国
16、际经济管理学院管理决策分析第三章国际经济管理学院二、理性行为公理二、理性行为公理4.相对有序性公理4.相对有序性公理321TTTff若若T1,T2,T3，并且则：存在数，并且则：存在数p,q，0 p 1,0 q 1，使得，使得ffpT1+(1-p)T3T2 qT1+(1-q)T3说明说明：上事态体的优劣关系都是相对的，：上事态体的优劣关系都是相对的，T1不是无限优。不是无限优。T3也不是无限劣，否则上述关系式是不能成立的。也不是无限劣，否则上述关系式是不能成立的。例例：T1：产品：产品A（0.5，10；0.5，0），），T2：产品：产品B（0.5，6；0.5，0）T3：产品：产品C（0.5，2
17、；0.5，0）显然）显然321TTTff若：若：p=0.8；q0.1ff则：则：pT1+(1-p)T3 T2qT1+(1-q)T3管理决策分析第三章国际经济管理学院管理决策分析第三章国际经济管理学院4.2事态体的基本性质事态体的基本性质设事态体设事态体T1=(p,o1;1-p,o0),T2=(x,o2;1-x,o0)，且，且o1 o0，o2 o0。若。若o2 o1，则：存在，则：存在x=pp，使得，使得T1T2。其中，。其中，x称为称为可调概率值可调概率值。fff设事态体设事态体T=(x,o1;1-x,o2)，且，且o1 o2,若对于满足优劣关系的任意结果值若对于满足优劣关系的任意结果值o3，
18、则必存在，则必存在x=p(0p1),使得使得T=(p,o1;1-p,o2)o3其中结果值其中结果值o3称为事态体称为事态体T的的确定当量确定当量确定当量确定当量，p称为称为o3关于关于o1与与o2的的无差异概率无差异概率无差异概率无差异概率。231ooofff性质性质2：确定当量和无差异概率：确定当量和无差异概率性质性质1：管理决策分析第三章国际经济管理学院管理决策分析第三章国际经济管理学院4.2事态体的基本性质事态体的基本性质性质3:性质3:=njjjqpp1任一事态体无差异于一个简单事态体。设事态体任一事态体无差异于一个简单事态体。设事态体T=(p1,o1;p2,o2;,pn,on)，则必
19、存在一个简单事态体，则必存在一个简单事态体T=(p,o*；1-p,oo),使得使得TT。其中并且这里。其中并且这里qj(j=1,2,.,n)是是oj关于关于o*和和oo的无差异概率的无差异概率o*max(o1,o2,.,on)oomin(o1,o2,.,on)pf管理决策分析第三章国际经济管理学院管理决策分析第三章国际经济管理学院基本性质（三）说明基本性质（三）说明?任一事态体均无差异于某一简单事态体。任一事态体均无差异于某一简单事态体。?因此，在决策分析中，比较一般事态体之间的优劣关系，可以转化为比较相应简单事态体之间的优劣关系，再根据事态体优劣或无差异关系的传递性，得到所讨论事态体的排序。
20、因此，在决策分析中，比较一般事态体之间的优劣关系，可以转化为比较相应简单事态体之间的优劣关系，再根据事态体优劣或无差异关系的传递性，得到所讨论事态体的排序。例：例：新产品方案：新产品方案：T=(0.25，100；0.25，50；0.25，0；0.25，-50)o*100，o0-50T（0.5，100；0.5，-50）管理决策分析第三章国际经济管理学院管理决策分析第三章国际经济管理学院()=mnnnmmnmijooooooooooO2122212121114.4 效用函数效用函数根据根据性质三性质三，存在，存在简单事态体简单事态体Ti，使得，使得TiTi=(pi,o*;1-pi,oo)设有决策系
21、统（设有决策系统（,A,F），在离散情况下，结果值可以表示为决策矩阵矩阵），在离散情况下，结果值可以表示为决策矩阵矩阵O的每一行都表示一个可行方案的的每一行都表示一个可行方案的n个可能结果值，即个可能结果值，即事态体事态体Ti=(p1,oi1;p2,oi2;。;pn,oin),(i=1,2,m)其中，其中，pj=P(j)是已知的是已知的状态概率状态概率。此问题决策，就是对这。此问题决策，就是对这m个事态体排序。个事态体排序。管理决策分析第三章国际经济管理学院管理决策分析第三章国际经济管理学院4.4 效用函数效用函数?于是，决策问题就转化为对于是，决策问题就转化为对m个简单事态体个简单事态体Ti
22、的排序。的排序。?由事态体的性质知，最满意方案所对应的简单事态体，应该是由事态体的性质知，最满意方案所对应的简单事态体，应该是pi最大概率值所对应的简单事态体。最大概率值所对应的简单事态体。=u(o2)f管理决策分析第三章国际经济管理学院管理决策分析第三章国际经济管理学院三、效用函数定义三、效用函数定义条件的含义条件的含义?定义在集合定义在集合O上的效用函数其取值为上的效用函数其取值为0u(o)1?效用值与结果值需要满足优劣关系一致性要求效用值与结果值需要满足优劣关系一致性要求?对于结果值的凸线性组合满足线性关系对于结果值的凸线性组合满足线性关系例：例：效用函数效用函数u(o)，0.3。若：。
23、若：u(20)0.9；u(10)0.1则：左边则：左边u(0.3200.710)u(13)右边右边 0.3u(20)0.7 u(10)0.34故，应有：故，应有：u(13)0.34。否则不成立。否则不成立。管理决策分析第三章国际经济管理学院管理决策分析第三章国际经济管理学院4.4 效用函数效用函数四、效用函数的构造四、效用函数的构造?对于决策问题的结果值集合，先用标准效用测定法找出一个基准效用值，这就是效用值等于对于决策问题的结果值集合，先用标准效用测定法找出一个基准效用值，这就是效用值等于0.5的结果值，称之为确定当量的结果值，称之为确定当量o。即：构造简单事态体。即：构造简单事态体(0.5
24、,o*;0.5,oo)?其余效用值无须测定，而是按比例用线性内插的方法，用同一个标准计算得到。其余效用值无须测定，而是按比例用线性内插的方法，用同一个标准计算得到。管理决策分析第三章国际经济管理学院管理决策分析第三章国际经济管理学院效用函数的构造方法效用函数的构造方法?效用曲线效用曲线u=u(x)?归一化归一化x0=x(o0)=0;x*=x(o*)=10*0)(oooooxijij=确定当量的归一化值确定当量的归一化值0*0)(oooooxij=按照比例关系按照比例关系(x0.25x0)/(x0.5x0)(x0.5x0)/(x*x0)(x0.75x0.5)/(x*x0.5)(x0.5x0)/(
25、x*x0)管理决策分析第三章国际经济管理学院管理决策分析第三章国际经济管理学院4.5 效用与风险的关系效用与风险的关系?不同的决策者对风险的态度是有区别的不同的决策者对风险的态度是有区别的?效用表示了决策者对决策方案各结果值的偏好程度，可以用不同类型的效用函数表征决策者对风险的不同态度。效用表示了决策者对决策方案各结果值的偏好程度，可以用不同类型的效用函数表征决策者对风险的不同态度。?效用函数的类型效用函数的类型?中立型中立型?保守型保守型?冒险型冒险型管理决策分析第三章国际经济管理学院管理决策分析第三章国际经济管理学院4.5 效用与风险的关系效用与风险的关系)2(2)()x(2121xxux
26、uu+=+1.中立型效用函数1.中立型效用函数设有效用函数设有效用函数u=u(x)，若，若x1x2,有则称为有则称为中立型效用函数中立型效用函数，对应的效用曲线是一条，对应的效用曲线是一条直线直线。当结果值增加时，效用值按相同比例增加，决策者效用值增加的速度稳定，表明对风险的态度平和，既不对有利结果特别追求，也不对不利结果谨慎从。这时，。当结果值增加时，效用值按相同比例增加，决策者效用值增加的速度稳定，表明对风险的态度平和，既不对有利结果特别追求，也不对不利结果谨慎从。这时，可以直接用结果值进行评价方案可以直接用结果值进行评价方案。管理决策分析第三章国际经济管理学院管理决策分析第三章国际经济管
27、理学院4.5 效用与风险的关系效用与风险的关系2.保守型效用函数2.保守型效用函数设有效用函数设有效用函数u=u(x)，若，若x1x2，有，有)2(2)()x(2121xxuxuu+x2，有，有)2(2)()x(2121xxuxuu+则称为则称为冒险型效用函数冒险型效用函数，对应的效用曲线是一条，对应的效用曲线是一条下凸曲线下凸曲线。效用值随结果值增加而增加，但增加的。效用值随结果值增加而增加，但增加的速度随之逐渐加快速度随之逐渐加快。反映决策者反映决策者喜欢冒险喜欢冒险，乐于大胆尝试的个性。随着结果值增加，对市场变化充满信心，敢于冒险追求高额利润。，乐于大胆尝试的个性。随着结果值增加，对市场
28、变化充满信心，敢于冒险追求高额利润。效用曲线下凸越厉害，表示决策者越富冒险性效用曲线下凸越厉害，表示决策者越富冒险性。管理决策分析第三章国际经济管理学院管理决策分析第三章国际经济管理学院4.5 效用与风险的关系效用与风险的关系效用函数的说明效用函数的说明?以上是以上是最基本最基本的效用函数。在实际中，为了更加准确地反映决策者对风险地的态度，可以用三种基本效用函数构造混合型效用函数来表示。的效用函数。在实际中，为了更加准确地反映决策者对风险地的态度，可以用三种基本效用函数构造混合型效用函数来表示。?如：根据实际分析，确定结果值如：根据实际分析，确定结果值x00,1，当，当xx0时，即结果值较大时
29、，决策者对风险转而持谨慎态度，可用上凸效用曲线表示。时，即结果值较大时，决策者对风险转而持谨慎态度，可用上凸效用曲线表示。管理决策分析第三章国际经济管理学院管理决策分析第三章国际经济管理学院4.6 效用函数表4.6 效用函数表在实际应用中，为了使用方便，将对应于不同权衡指标值的效用函数值编制成表格，便于使用查找，这种表格称之为在实际应用中，为了使用方便，将对应于不同权衡指标值的效用函数值编制成表格，便于使用查找，这种表格称之为效用函数表效用函数表。管理决策分析第三章国际经济管理学院管理决策分析第三章国际经济管理学院4.6 效用函数表4.6 效用函数表1.上凸型效用函数1.上凸型效用函数?当权衡
30、指标值当权衡指标值0.5时，效用函数的图形是上凸曲线，这种效用函数也常称为上凸型效用函数。时，效用函数的图形是上凸曲线，这种效用函数也常称为上凸型效用函数。?上凸型效用函数值可以在效用函数表中直接查出。上凸型效用函数值可以在效用函数表中直接查出。查表方法查表方法?若能够直接查到若能够直接查到xj值，则该值，则该x值所在同一行位于值所在同一行位于u(xj)列的数值，即为所需查找的效用函数值列的数值，即为所需查找的效用函数值u(xj)；否则找出同一列中相邻近值两个值；否则找出同一列中相邻近值两个值x1,x2,用线性内插法计算用线性内插法计算?将条件结果值将条件结果值oj归一化处理归一化处理?利用标
31、准效用测定法，确定决策者的确定当量，归一化得到权衡指标值，并在效用函数表中找到相应的利用标准效用测定法，确定决策者的确定当量，归一化得到权衡指标值，并在效用函数表中找到相应的(0.5)列列管理决策分析第三章国际经济管理学院管理决策分析第三章国际经济管理学院线性内插法线性内插法?效用函数是单调增加函数，有效用函数是单调增加函数，有u(x1)u(xj)0.5时，效用函数的图形呈下凸形，称为下凸型效用函数。可以证明，时，效用函数的图形呈下凸形，称为下凸型效用函数。可以证明，0.5的效用曲线的效用曲线u=u(x)与权衡指标值为与权衡指标值为=1-的上凸型效用曲线的上凸型效用曲线u=u(x)关于直线关于直线u=x对称。对称。?另外，效用直线另外，效用直线u=x的权衡指标值的权衡指标值=0.5。?下凸型效用函数下凸型效用函数u=u(x)与相对应的上凸型效用函数，有关系式：与相对应的上凸型效用函数，有关系式：u(x)=1-u(1-x)管理决策分析第三章国际经济管理学院管理决策分析第三章国际经济管理学院效用函数对称关系效用函数对称关系