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1、第7节 二项分布与正态分布 A级基础巩固1打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则他们同时中靶的概率是()A.B.C.D.解析：因为甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，所以P(甲)，P(乙)，所以他们都中靶的概率是.答案：A2(2020河南三市联考)在某项测量中，测得变量N(1，2)(0)若在(0，2)内取值的概率为0.8，则在(1，2)内取值的概率为()A0.2 B0.1 C0.8 D0.4解析：变量N(1，2)，正态曲线的对称轴x1，因为在(0，2)内取值的概率为0.8，所以在(1，2)内取值的概率为0.80.4.答案：D3箱子里有5个
2、黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为()A. B.C. DC解析：由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为.答案：B4夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域
3、已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为()A0.05 B0.007 5 C. D.解析：设事件A为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知P(A)0.15，P(AB)0.05，所以P(B|A).答案：C5设随机变量X服从二项分布XB，则函数f(x)x24xX存在零点的概率是()A. B. C. D.解析：因为函数f(x)x24xX存在零点，所以164X0，所以X4.因为X服从XB，所以P(X4)1P(X5)1.答案：C6设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X，且XN(800，502)则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为_(参考
4、数据：若XN(，2)，有P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4，P(3900)0.022 8，因此P(X900)1P(X900)10.022 80.977 2.答案：0.977 27某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(X4)_解析：考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故XB，即有P(Xk)C，k0，1，2，3，4，5.故P(X4)C.答案：8将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都
5、能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，则P(A|B)_解析：依题意，随机试验共有9个不同的基本结果由于随机投掷，且小正方形的面积大小相等，所以事件B包含4个基本结果，事件AB包含1个基本结果所以P(B)，P(AB).所以P(A|B).答案：9某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费/元0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数012345概率0.300.1
6、50.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率解：(1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)0.20.20.10.050.55.(2)设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)0.10.050.15.又P(AB)P(B)，故P(B|A).因此所求概率为.10(2020河北九校联考)已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分三人小组分别独立进
7、行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立假定某次试验种子发芽则称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的(1)第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率；(2)第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对值为X，求X的分布列及数学期望；(3)第三小组进行试验，到成功了四次为止，在第四次成功之前共有三次失败的前提下，求恰有两次连续失败的概率解：(1)该小组恰有两次失败的概率PC.(2)由题意可知X的取值集合为0，2，4，则P(X0)C，P(X2)CC，P(X4)CC.故X的分布列为X024P则数学期望E(X)024.(3)由题意可知，在第四次成
8、功之前共有三次失败的前提下，共有C20(个)基本事件，而满足恰有两次连续失败的基本事件共有A12(个)，从而由古典概型可得所示概率P.B级能力提升11(2020汕头调研)如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在圆O内”，B表示事件“豆子落在扇形OEF(阴影部分)内”，则P(B|A)()A. B. C. D.解析：P(A)，P(AB).所以P(B|A).答案：B12(2020福州一中检测)某校有1 000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105，2)(0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于
9、120分)的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为_解析：因为P(X90)P(X120)0.2，所以P(90X120)10.40.6，所以P(90X105)P(90X120)0.3.所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1 0000.3300.答案：30013“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如下：(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x()(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为
10、，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(，2)，利用该正态分布，求Z落在(14.55，38.45)内的概率；将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10，30)内的包数为X，求X的分布列和数学期望附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为11.95；若N(，2)，则P()0.682 6，P(22)0.954 4.解：(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数x50.1150.2250.3350.25450.1526.5.(2)因为Z服从正态分布N(，2)，且26.5，11.95，所以P(14.55Z38.4
11、5)P(26.511.95Z26.511.95)0.682 6，所以Z落在(14.55，38.45)内的概率是0.682 6.根据题意得XB，P(X0)C；P(X1)C；P(X2)C；P(X3)C；P(X4)C.所以X的分布列为X01234P所以E(X)42.C级素养升华14(多选题)设随机变量XB(2，p)，YB(4，p)，若P(X1)，则下列说法正确的是()Ap或p BpCP(Y2) DP(Y2)解析：由P(X1)P(X1)P(X2)Cp(1p)Cp2，解得p.故P(Y2)1P(Y0)P(Y1)1CC.故选项BC正确答案：BC素养培育数学运算二项分布与超几何分布的辨别方法(自主阅读)1数学
12、运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等2教材和考题中常涉及二项分布与超几何分布，学生对这两种模型的定义不能很好地理解，一遇到“取”或“摸”的题型，就认为是超几何分布，不加分析，滥用公式，运算对象不明晰，事实上，超几何分布和二项分布确实有着密切的联系，但也有明显的区别典例1写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？(1)X1表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数(2)X2表示连续抛掷2枚骰子，所得的2个骰子的点数之和(3)有
13、一批产品共有N件，其中次品有M件(NM0)，采用有放回抽取方法抽取n次(nN)，抽出的次品件数为X3.(4)有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法抽n件，出现次品的件数为X4(NMn0)解：(1)X1的分布列为：X1012nPC CCCX1服从二项分布，即X1B.(2)X2的分布列为：X223456789101112P(3)X3的分布列为：X3012nPCCX3服从二项分布，即X3B.(4)X4的分布列为：X401knPX4服从超几何分布典例2某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490
14、，495，(495，500，(510，515由此得到样本的频率分布直方图如下图：(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列解：(1)质量超过505克的产品的频率为50.0550.010.3，所以质量超过505克的产品数量为400.312(件)(2)重量超过505克的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0，1，2，X服从超几何分布P(X0)，P(X1)，P(X2)，所以X的分布列为：X012P(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为.从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0，1，2，且YB，P(Yk)C，所以P(Y0)C，P(Y1)C，P(Y2)C.所以Y的分布列为：Y012P解题思路超几何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不独立，二项分布的抽取是独立的，各次抽取相互独立当超几何分布所对应的总体数量很大时可以近似地看作二项分布