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1、- 1 -第七节第七节 二项分布、正态分布及其应用二项分布、正态分布及其应用2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念；2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布；3.借助直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；4.能解决一些简单的实际问题。2016，全国卷，18(2)，4 分(条件概率)2016，四川卷，12,5 分(二项分布)2015，全国卷，4,5 分(独立重复试验的概率)2016，北京卷，16()()，8分(相互独立事件的概率)2015，湖北卷，4,5 分(正态分布)相互独立事件、n次独立重复试验、二项分布，条件概率以及正态分布曲线的性
2、质和服从正态分布的随机变量的概率是考查的热点，各种题型都可能涉及。微知识 小题练自|主|排|查1条件概率(1)条件概率的定义设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)为在事件A发生的条件下，事件PAB PAB发生的条件概率。(2)条件概率的性质条件概率具有一般概率的性质，即 0P(B|A)1；如果B，C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)。2相互独立事件的概率(1)相互独立事件的定义及性质定义：设A，B是两个事件，若P(AB)P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。性质：若事件A与B相互独立，那么A与 ， 与B， 与 也都相互独立。BAAB(2)独立重复试验概率
3、公式- 2 -在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i1,2，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(An)。(3)二项分布的定义在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n。此时称随机变量X服从二项分布，记作k nXB(n，p)，并称p为成功概率。3正态分布(1)正态曲线的定义函数，(x)e，x(，)，其中实数和(0)12x2 22为参数，称，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。(2)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X
4、满足P(aXb)，(x)dx，则称随b a机变量X服从正态分布，记作N(，2)。(3)正态曲线的特点曲线位于x轴的上方，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线x对称；曲线在x处达到峰值；12曲线与x轴之间的面积为 1；当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿着x轴平移；当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“瘦高” ，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖” ，表示总体的分布越分散。(4)正态分布中的 3原则P(X)0.682_6；P(2X2)0.954_4；P(3X3)0.997_4。微点提醒 1相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(A
5、B)P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(AB)P(A)P(B)。2判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，- 3 -事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次。3P(AB)P(A)P(B)只有在事件A，B相互独立时，公式才成立，此时P(B)P(B|A)。小|题|快|练一 、走进教材1(选修 23P55练习 T1改编)有 3 位同学参加某项测试，假设每位同学能通过测试的概率都是 ，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少有二位同学能通过测试的概率为( )1 2A. B. C. D.1 83 8
6、1 27 8【解析】 记“至少有二位同学能通过测试”为事件A，则其包含事件为“恰好有二位同学能通过测试”或“恰好有三位同学能通过测试” ，而每位同学不能通过测试的概率都是1 ，且相互独立，故P(A)1 21 2C3C3 。故选 C。2 3(1 2)3 3(1 2)1 2【答案】 C2(选修 23P74练习 T1改编)某班有 48 名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为 80，标准差为 10，则理论上在 80 分到 90 分的人数是( )A32 B16 C8 D20【解析】 因为数学成绩近似地服从正态分布N(80,102)，所以P(|x80|1)p，则P(10)P(1)P(0.1。又
7、EBCA2，P(E)P(BCA2)P(B)P(C)P(A2)0.06。若k3，则P(F)0.06 ，故P(Y2)1 21 2P(X1)，故 B 错；对任意正数t，P(Xt)110) (10.682 6)0.158 7，1 2P(90)0.682 60.158 70.841 3。及格人数为 2 0000.841 31 683。【答案】 (1)0.954 4 (2)1 683微考场 新提升1(2016丽江模拟)把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A， “第二次出现反面”为事件B，则P(B|A)等于( )A. B.1 21 4C. D.1 61 8解析 由古典概型知P(A) ，P(AB)
8、 ，则由条件概率知P(B|A) 。1 21 4PAB PA1 4 1 21 2故选 A。答案 A2(2017广州模拟)甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为 0.6，乙被录取的概率为 0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )A0.12 B0.42C0.46 D0.88解析 因为甲、乙两人是否被录取相互独立，- 12 -又因为所求事件的对立事件为“两人均未被录取” ，由对立事件和相互独立事件概率公式知，P1(10.6)(10.7)10.120.88，故选 D。答案 D3(2016长春模拟)一袋中有 5 个白球，3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色
9、后放回，直到红球出现 10 次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X12)等于 ( )AC102 BC921012(3 8) (5 8)9 12(3 8) (5 8)CC92 DC1029 11(5 8) (3 8)9 11(3 8) (5 8)解析 “X12”表示第 12 次取到红球，前 11 次有 9 次取到红球，2 次取到白球，因此P(X12)C92C102，故选 D。3 8 9 11(3 8)(5 8)9 11(3 8) (5 8)答案 D4(2017贵阳模拟)已知P箱中有红球 1 个，白球 9 个，Q箱中有白球 7 个(P，Q箱中所有的球除颜色外完全相同)。现随机从P箱中取出 3 个
10、球放入Q箱，将Q箱中的球充分搅匀后，再从Q箱中随机取出 3 个球放入P箱，则红球从P箱移到Q箱，再从Q箱返回P箱中的概率等于( )A. B.1 59 100C. D.1 1003 5解析 可看作是两个独立事件。A：红球从P箱移到Q箱，B：红球从Q箱返回P箱同时发生，可知P(A)，对于B发生时，Q箱中有红球 1 个，白球 9 个，再从中取出 2C2 9 C 3 103 10白 1 红，所以P(B)P(A)，根据独立事件同时发生的概率计算公式，有PP(A)P(B)3 10，故选 B。9 100答案 B5(2016衡水质检)某班有 50 名学生，一次考试后数学成绩X(XN N)服从正态分布N(100
11、,102)，已知P(90X100)0.3，估计该班学生数学成绩在 110 分以上的人数为_。解析 由题意，知P(X110)0.2，所以该班学生数学成12P90 X 100 2绩在 110 分以上的人数为 0.25010。- 13 -答案 10微专题 巧突破误中悟“二项分布与超几何分布”二项分布和超几何分布是两类重要的概率分布模型，这两种分布存在着很多的相似之处，在应用时应注意各自的适用条件和情境，以免混用出错。【典例】 某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题，按照题目要求独立完成全部实验操作。规定：至少正确完成其中 2 题的便可提交通过。已知 6
12、道备选题中考生甲有 4 道题能正确完成，2 道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是 ，且每题正确完成与否互不影响。2 3(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算均值。(2)试从两位考生正确完成题数的均值及至少正确完成 2 题的概率分析比较两位考生的实验操作能力。【解析】 (1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为，则的所有可能取值分别为 1,2,3；的所有可能取值分别为 0,1,2,3。P(1) ，P(2) ，C1 4C2 2 C3 61 5C2 4C1 2 C3 63 5P(3) .C3 4C0 2 C3 61 5所以考生甲正确完成题数的概率分布列为123P1 53
13、 51 5E()1 2 3 2。1 53 51 5因为P(0)C 3，同理，0 3(12 3)1 27P(1) ，P(2) ，P(3)。2 94 98 27所以考生乙完成题数的概率分布列为0123P1 272 94 98 27E()01 2 32。1 272 94 98 27- 14 -(2)因为P(2) 0.8，P(2) 0.74，所以P(2)P(2)。3 51 54 98 27故从正确完成题数的均值考察，两人水平相当；从至少完成 2 题的概率考察，甲通过的可能性大。因此可以判断甲的实验操作能力较强。【易错总结】 本题容易错误地得到甲、乙两考生正确完成的题数均服从二项分布，实际上题目中已知甲
14、、乙两考生按照题目要求独立完成全部实验操作，甲考生正确完成的题数服从超几何分布，乙考生正确完成的题数服从二项分布。【变式训练】 从某批产品中，有放回地抽取产品两次，每次随机抽取 1 件。假设事件A：“取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品” ，其概率P(A)0.96。(1)求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率p；(2)若该批产品共 100 件，从中无放回地抽取 2 件，表示取出的 2 件产品中二等品的件数，求的分布列。【解析】 (1)记A0表示事件“取出的 2 件产品中无二等品” ，A1表示事件“取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品” ，则A0，A1互斥，且AA0A1，故P(A)P(A0A1)P(A0)P(A1)(1p)2Cp(1p)1p2，即 0.961p2。1 2解得p0.2 或p0.2(舍去)。故从该批产品中任取 1 件是二等品的概率为 0.2。(2)该批产品共 100 件，由(1)知其二等品有 1000.220(件)，的可能取值为0,1,2。故P(0)，P(1)，C 2 80 C 2100316 495C 1 80C 1 20 C 210032 99P(2)。C 2 20 C 210019 495所以的分布列为012P316 49532 9919 495【答案】 (1)0.2 (2)见解析