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1、历年考研数学 真题解析及复习思路 （数学一） （ - 20 ） 第 1 页 2020 全国硕士研究生入学统一考试数学一试题详解全国硕士研究生入学统一考试数学一试题详解 一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上指定位置上. （1）当0 x 时，下列无穷小量中最高阶是（ ） （A） 2 0 1 x t edt （B） 2 0 ln 1 x tdt （C） sin 2 0 si
2、n x t dt （D） 1 cos 2 0 sin x t dt 【答案】（D） 【解析】由于选项都是变限积分，所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。 （A） 22 2 0 11 x tx edtex （B） 22 0 ln 1ln 1 x tdtxx （C） sin 222 0 sinsin sin x t dtxx （D） 1 cos 223 0 1 sinsin(1 cos ) sin 2 x t dtxxx 经比较，选（D） （2）设函数 fx在区间1,1内有定义，且 0 lim0, x f x 则（） （A）当 0 lim0 x f x x 时， f x在0 x 处可导
3、。 （B）当 20 lim0 x f x x 时， f x在0 x 处可导。 （C）当 f x在0 x 处可导时， 0 lim0 x f x x 。 （D）当 f x在0 x 处可导时， 20 lim0 x f x x 【答案】（C） 【解析】当 f x在0 x 处可导，且 0 lim0 x f x ，则有 00f， 0 ( ) lim0 x f x x （ f x 第 2 页 为x的高阶无穷小量），所以 0 lim0 x f x x ，选（C）。 （3）设函数,fx y在点0,0处可微， 0,0 0,00, 1 ff fn xy （） ，非零向量n 与 垂直，则（） （A） 22,0,0 ,
4、 , lim0 x y nx y f x y xy 存在 （B） 22,0,0 , , lim0 x y nx y f x y xy 存在 （C） 22,0,0 , , lim0 x y x y f x y xy 存在 （D） 22,0,0 , , lim0 x y nx y f x y xy 存在 【答案】（A） 【解析】由题意可知， 2222( , )(0,0)( , )(0,0) (0,0),(0,0), 1, , , limlim xy x yx y ffx y f x ynx y f x y xyxy 22( , )(0,0) ,(0,0)(0,0)(0)(0,0)(0) lim 0
5、0 xy x y f x yffxfy xy ， 由于函数,fx y在点0,0处可微，所以 22( , )(0,0) , , lim0 x y nx y f x y xy ，选（A）。 （4）设R为幂级数 1 n n n a x 的收敛半径，r是实数，则（ ） （A）当 2 2 1 n n n a r 发散时，rR（B） 2 2 1 n n n a r 发散时，rR （C）当rR时， 2 2 1 n n n a r 发散（D）当rR时， 2 2 1 n n n a r 收敛 【答案】（A） 【解析】因为R为幂级数 1 n n n a x 的收敛半径，所以 R为幂级数 2 2 1 n n n a
6、 x 的收敛半径， 第 3 页 当 2 2 1 n n n a r 发散时，由阿贝尔定理得rR，选（A）。 （5）若矩阵A经初等变换化成B,则（ ） （A）存在矩阵P，使得PAB （B）存在矩阵P，使得BPA （C）存在矩阵P，使得PBA （D）方程组0Ax 与0Bx 同解 【答案】（B） 【解析】由题意可知，对于矩阵A进行列变换得到矩阵B，则存在初等矩阵 12 , t Q QQ， 使 12t AQQQB ，则 1 12t AB QQQ ，即ABP，选（B）。 （6）已知直线 222 1 111 2 : xaybc L abc 与直线 333 2 222 2 : xaybc L abc 相交与
7、一 点，法向量,1,2,3 i ii i a bi c ，则（） （A） 1 a可由 23 ,a a线性表示 （B） 2 a可由 13 ,a a线性表示 （C） 3 a可由 12 ,a a线性表示 （D） 123 ,a a a线性无关 【答案】（C） 【解析】设交点为 000 (,)xyz，则 020202 111 xaybzc k abc ， 030303 222 xaybzc l abc ， 所以 012230122301223 ;xa kaa laybkbb lb zc kcc lc， 从而有 312 (1)kl，选（C）。 （7）设, ,A B C为三个随机事件，且 1 , 4 P A
8、P BP C0,P AB 1 12 P ACP BC,则, ,A B C中恰有一个事件发生的概率为（ ） （A） 3 4 （B） 2 3 （C） 1 2 （D） 5 12 第 4 页 【答案】（D） 【解析】设, ,A B C中恰有一个事件发生的概率为p，则 ()()()pP ABCP ABCP ABC，, ()0()0ABCAB P ABP ABC， ()()( )( () 111 ( )()()()= 4126 P ABCP ABCP AP A BC P AP ABP ACP ABC ； ()()( )( () 111 ( )()()()= 4126 P ABCP BACP BP B AC
9、 P BP ABP BCP ABC ； ()()( )( () 121 ( )()()()= 41212 P ABCP CABP CP C AB P CP ACP BCP ABC ； 代入，可得 1115 661212 p . （8）设 12100 ,XXX为来自总体X的简单随机样本，其中 1 01 2 P XP X， ( )x 表示标准正态分布函数， 则利用中心极限定理可得 100 1 55 i i PX 的近似值为 （ ） 。 （A）1(1) （B）(1) （C）1(0.2) （D）(0.2) 【答案】（B） 【解析】由题意可知， 1 () 2 E X ， 1 () 4 D X ， 100
10、 1 1 10050 2 i i EX ， 100 1 1 10025 4 i i DX ， 利用中心极限定理可得 100 100 1 1 50 5550 55(1) 2525 i i i i X PXP 。选（B） 二、填空题：二、填空题：9 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在答题纸分，请将答案写在答题纸 指定位置上指定位置上. 第 5 页 （9） 0 11 lim 1ln 1 x x ex =_. 【答案】1 【解析】由题意可知， 00 ln 1111 limlim 1ln 11 ln 1 x x x xx xe exex 222 000 ln 11l
11、n 11 limlimlim x x xxx xxxexxxe xxx 0 1111 lim1 2222 x x e x (10) 设 2 2 1 ln(1) xt ytt ， 2 1 2t d y dx _. 【答案】2 【解析】 2 2 2 1 11 1 1 t dy dyt tdt dx dxtt tt dt 2 2 d y d x 22 23 1 111 d dydtttt dxdtdxttt 2 2 2 1 d y td x (11)若函数( )f x满足 ( )( )( )0(0)fxafxf xa，且(0),(0)fm fn ，则 0 ( )f x dx =_. 【答案】nam
12、【解析】由题意可知，特征方程为 2 10rar ， 2 4a ，因为0a ，所以进行 如下讨论： 1）当2a 时，方程有两个负实根，即 12 1212 ( ), r xr x f xC eC eC C为任意的常数，此 时， 第 6 页 0 00 ( )( )( )( )( )f x dxfxafx dxfxaf xnam ； 2）当02a时，方程有共轭复根， 即 22 2 1212 44 ( )cossin, 22 ax aa f xeCxCxC C 为任意的常数，此时， 0 00 ( )( )( )( )( )f x dxfxafx dxfxaf xnam ； 3）当2a 时，方程有两个相等
13、的负实根，即 1212 ( ), x f xCC x eC C 为任意的常 数，此时， 0 00 ( )( )( )( )( )f x dxfxafx dxfxaf xnam ； 故 0 ( )f x dxnam (12) 设函数 2 0 , xy xt fx yedt则 2 1,1 x x y _. 【答案】4e 【解析】由题意可知， 2 0 ( , ) xy xt f x yedt ，令 2 xtu ，得 32 0 11 ( , ) 2 x y u f x ye du xu ， 则 32 32 323232 3 2 0 32 33 2 32 113 ; 42 1133 22 422 x y
14、 ux y x yx yx y f xe duye xu f xex yeyex y x y x y ， 故 2 (1,1) 4 f e x y 。 （13）行列式 011 011 110 110 a a a a _. 【答案】 42 4aa 【解析】 011 1000 011 111 110 1011 110 a aa a aaaa a aa a 第 7 页 2 32 01 222 112 aa aaaaaa aa 42 4aa （14）设X服从区间(,) 2 2 的均匀分布，sinYX ，则(, )Cov X Y _. 【答案】 2 【解析】由题意可知， 1 (,) ( )0( )2 2
15、0 x E xf x other ， 则cov(, )cov(,sin)(sin)() (sin)X YXXE XXE X EX， 其中 2 2 12 (sin)sinE XXxxdx ， 故 2 cov(, )cov(,sin)(sin)() (sin)X YXXE XXE X EX 。 三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在答题纸请将解答写在答题纸 指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分）求 33 ,8f x yxyxy极值 【答案】极小值为 111 (
16、,) 6 12216 f 【解析】由题意可知， 22 3,24 ff xyyx xy ； 令 2 2 30 240 f xy x f yx y ，解得 2 1 1 2 1 0 6 , 01 12 x x y y 再有 222 22 6 ,1;48 fff xy xx yy ，得 222 1(0,0)1(0,0)1(0,0) 22 0,1,0 fff ABC xx yy ； 第 8 页 1 1 ( ,) 6 12 222 21 1221 1 22 ( ,)( ,) 6 126 12 1,1,4 fff ABC xx yy 因为 22 1112222 10,30,10ACBA CBA 且， 所以(
17、0,0)不是极值点， 11 ( ,) 6 12 为极小值点，极小值为 111 ( ,) 6 12216 f . （16）（本题满分 10 分）计算曲线积分 2222 4 44 xyxy Idxdy xyxy ，其中I是曲线 22 :2L xy，方向为逆时针方向。 【答案】 【解析】由题意可知，补线 222 1:4 Lxy ，0 ，且任意小，方向是顺时针， 则 1 2222 4 44 L L xyxy Idxdy xyxy 1 22222222 44 4444 L D xyxyxyxy dxdydxdy xyxyxyxy 1 22 11 (4)()2 L D xy dxxy dydxdy 。 （
18、17） （本题满分 10 分）设数列 n a满足 1 1a ， 1 1 (1) 2 nn nana （，证明：当1x 时，幂级数 1 n n n a x 收敛，并求其和函数。 【答案】 2 ( )2 1 S x x 【解析】 由题意可知， 1 1 2 limlim1 1 n nn n n a xxx an ， 故当1x 时， 幂级数 1 n n n a x 收敛。因为 1 1a ， 1 1 (1) 2 nn nana （，所以 0 2a 。 令 1 ( ) n n n S xa x ，则 第 9 页 1 1 100 11 0 1011 1 ( )1 2 11 22 1 ( )( )1 2 nn
19、n nnn nnn nnnn nnnn nnnn S xanxanxanx xanxaxxanxaxa xS xS x ， 即 1 (1)( )( )1 2 xS xS x ，解微分方程，得( )2 1 C S x x 。 由(0)0S ，得2C ，故 2 ( )2 1 S x x 。 （18）设 为曲面 2222 (14)zxyxy的下侧，( )f x是连续函数，计算 ()2)()2)()Ixf xyxy dydzyf xyyx dzdxzf xyz dxdy 。 【答案】14 3 【解析】由题意可知， 22 2222 22 ()2)()2)() ()2)()2)( ()1) 14 3 D
20、D Ixf xyxy dydzyf xyyx dzdxzf xyz dxdy xy xf xyxyyf xyyxf xyxydxdy xyxy xy dxdy （19）（本题满分 10 分） f x在0,2上具有连续导数，(0)(2)0ff， max,0,2Mf xx，证明 （1）0,2 ，使得 fM； （2）若0,2x ，( )fxM，则0M . 【证明】（I）由题设， f x在0,2上连续，且 0,2 max x Mf x .若0M ，则结论必成 立。若0M ，则 00 (0,2),()xf xM使. 若 0 01,x由拉格朗日中值定理，可得 第 10 页 0 0 0 000 ()()(0
21、) ( ),(0,)(0,2) 0 f xf xfM fMx xxx . 若 0 12,x由拉格朗日中值定理，可得 0 0 0 000 ()(2)() ( ),(,2)(0,2) 222 f xff xM fMx xxx . (II)根据第一问， 00 (0,2),()xf xM使，则 000 000 000 000 222 000 ()()(0)( )( ),(1) ()(2)()( )( )(2),(2) xxx xxx Mf xf xffx dxfx dxMdxMx Mf xff xfx dxfx dxMdxMx 由式（1）则 0 (1)0M x ，由式（2）则 0 (1)0M x 。显
22、然若 0 1x ，则0M 。 若 0 1x ，且( )fxM，则 11 00 22 11 (1)(1)(0)( )( ) (1)(2)(1)( )( ) Mffffx dxfx dxM Mffffx dxfx dxM 故( ),(0,1)(1,2)fxM x，即( )fxM 。若0,M 则( )fx不连续，这与题设矛 盾，故0M . （20） （本题满分 11 分） 设二次型 22 121122 ,44f x xxx xx经正交变换 11 22 xy Q xy 化为二次型 22 121122 ,4g y yayy yby，其中ab. （1）求, a b值； （2）求正交矩阵Q。 【答案】（1）
23、4,1ab，（2） 43 55 34 55 Q 【解析】（1） 12 12 , 24 TT fx xxxx Ax ， 12 24 A 第 11 页 12 2 , 2 TT a fy yyyy By b ， 2 2 a B b 1212 , ,xQyf x xg y y，即 T Q AQB,其中Q为正交矩阵，故AB、合同且相似， 则= AB .又因 A 的特征值为 5 和 0，则由 =040 54,1 Bab tr Atr Babab ab ， （2）当=5 A 时，其线性无关的特征向量为 1 2 ，当=0 A 时，其线性无关的特征向量为 2 1 ，令 11 12 12 55 2121 55 P
24、Q 单位化 ，则 11 5 0 T Q AQ . 当=5 B 时，其线性无关的特征向量为 2 1 ，=0 B 时，其线性无关的特征向量为 1 2 ， 令 22 21 21 55 1212 55 PQ 单位化 ， 则 1122211212 43 5 55 034 55 TTTTT Q AQQ BQQ Q AQQBQQQ 。 （21）（本题满分 11 分）设A为 2 阶矩阵，,PA，其中是非零向量且不是A的特 征向量 （1）证明P为可逆矩阵； （2）若 2 60AA，求 1 P AP ，并判断A是否相似于对角矩阵。 【答案】（2） 1 06 11 P AP ，A可以相似对角化 【解析】 （1） 证
25、明： 设 12 0kk A， 2 k肯定为 0， 反证法， 若 2 0k ， 则 1 2 k A k ， 第 12 页 即为A的特征向量，与题意矛盾。因此 2 0k ，代入得 1 0k，由非零得 1 0k . 由 12 0kk得, A线性无关，向量组秩为 2， 2r P ，所以,PA可逆。 （2）由 2 60AA得 2 6AA， 2 06 ,6, 11 AAAAAAA 由P可逆得 1 06 11 P AP ，令 06 11 B 由0BE得 12 2,3 有两个不同的特征值，所以B可相似于对角矩阵，由 1 P APB ，AB 因为B可对角化，A相似于B，所以A可对角化，即A相似于对角矩阵. （2
26、2）（本题满分 11 分）设随机变量 123 ,XXX相互独立，其中 12 ,XX均服从标准正态分 布， 3 X的概率分布与 233132 1 01,1 2 P XP XYX XXX （1）求二维随机变量的分布函数，结果用标准正态分布函数 x表示 （2）证明随机变量Y服从标准正态分布 【答案】（1）,F x y 11 , 22 11 , 22 xyxxy xyyxy 【解析】 （1） 1, X Y的分布函数为： 13131 ,0,1,F x yP Xx YyP XXx YyP XXx Yy 312311 0,1,P XXx XyP XXx Xy 1211 11 , 22 P Xx P XyP
27、Xx Xy x y 时，,F x y 1211 11 , 22 P Xx P XyP Xx Xy 11 22 xyx x y 时，,F x y 1211 11 , 22 P Xx P XyP Xx Xy 11 22 xyy 第 13 页 综上所述： ,F x y 11 , 22 11 , 22 xyxxy xyyxy （2） 33 ( )0,1,F yP YyP XYyP XYy 3313233132 0,(1)1,(1)P XX XXXyP XX XXXy 3231 0,1,P XXyP XXy 21 11 22 P XyP Xyy 所以随机变量Y服从标准正态分布。 （23）（本题满分 11
28、 分）设某种元器件的使用寿命T的分布函数为 1,0 ( ) 0, m t et F t 其他 ， 其中m，为参数且大于零。 （1）求概率P Tt与P Tst Ts，其中0,0st. （2）任取n个这种元件做寿命实验，测得它们的寿命分别为 1, , n tt，若m已知，求的 最大似然估计值。 【答案】（1） 10 0 m t t P Tt et ， m m m t ss P Tts Tse （2） 1 1 n m m i i t n 【解析】（1） 10 11( ) 0 m t t P TtP TtF t et ； , 11 11 m m m m m m t s t ss s P Tts TsP
29、 Tts P Tts Ts P TsP Ts P TtsF tse e P TsF s e 第 14 页 （2） 1. 0 00 m t m m tm et f tFt t ，当寿命的观测值 1, , n tt皆大于零时 1 (1) 1 1 1 1 1 , lnln1 lnln; ln1 0, n mm i i nt nm n mn i i n mm i i n m i n m i m i m i Lf ttm e Lnn mtnmt mt dLnm t dn 故 1 1 n m m i i t n 为所求的最大似然估计值。 年全国硕士研究生招生考试试题 一、选择题（本题共 小题，每小题 分，
30、共 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 ） （） 下列函数中，在 处不可导的是（ ） （）（） （）（） （）（）（）（） （） 过点（，），（，），且与曲面 相切的平面为（ ） （） 与 （） 与 （） 与 （） 与 （） （ ） （ ）！ （ ） （） （） （） （） （） 设 （ ） ， ， （ ），则（ ） （） （） （） （） （） 下列矩阵中，与矩阵 相似的为（ ） （） （） （） （） （） 设 ， 为 阶矩阵，记 （） 为矩阵 的秩，（，） 表示分块矩阵，则（ ） （）（， ） （）（）（，） （） （）（，） （），
31、（）（）（，） （，） （） 设随机变量 的概率密度 （） 满足 （ ） （ ），且 （） ，则 （ ） （） （） （） （） （） 设总体 服从正态分布 （，） ，是来自总体 的简单随机样本，据此样本检验 假设： ，： ，则（ ） （） 如果在检验水平 下拒绝 ，那么 下必拒绝 （） 如果在检验水平 下拒绝 ，那么 下必接受 （） 如果在检验水平 下接受 ，那么 下必拒绝 （） 如果在检验水平 下接受 ，那么 下必接受 二、填空题（本题共 小题，每小题 分，共 分，把答案填在题中横线上 ） （） 若 () ，则 （） 设函数（） 具有 阶连续导数 若曲线 （） 过点（，） 且与曲线 在点（
32、，） 处相 切，则 （） （） 设 （，） ，则 （，） （） 设 为球面 与平面 的交线，则 （） 设 阶矩阵 有两个不同特征值，是 的线性无关的特征向量，且满足 （ ） ，则 （） 设随机事件 与 相互独立， 与 相互独立， 若（） （） ，（ ） ，则（） 三、解答题（本题共 小题，共 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） （） （本题满分 分） 求不定积分 （） （本题满分 分） 将长为 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形 三个图形的面积之和是否存在 最小值？若存在，求出最小值 （） （本题满分 分） 设 是曲面 的前侧，计算曲面积分 （ ） （） （本题满分 分）
33、 已知微分方程 （），其中 （） 是 上的连续函数 （） 若 （） ，求方程的通解； （） 若 （） 是周期为 的函数，证明：方程存在唯一的以 为周期的解 （） （本题满分 分） 设数列 满足： ， （ ，） 证明数列 收敛，并求 （） （本题满分 分） 设实二次型 （，） （ ） （ ） （ ），其中 是参数 （） 求 （，） 的解； （） 求 （，） 的规范形 （） （本题满分 分） 已知 是常数，且矩阵 可经初等列变换化为矩阵 （） 求 ； （） 求满足 的可逆矩阵 （） （本题满分 分） 设随机变量 与 相互独立， 的概率分布为 ， 服从参数为 的泊松分布 令 （） 求 （， ）； （
34、） 求 的概率分布 （） （本题满分 分） 设总体 的概率密度为 （；） ， ， 其中 （， ） 为未知参数，为来自总体 的简单随机样本 记 的最大似 然估计量为 （） 求 ； （） 求 （），（） 年真题参考答案 一、选择题 （） （） （） （） （） （） （） （） 二、填空题 （） （） （） 或（， ） （） （） （） 三、解答题 （） （ ） ，其中 为任意常数 （） 三个图形的面积之和存在最小值，最小值为 （） （） （） ，其中 为任意常数 （） 证明略 （） 证明略 （） （） 当时， （，） 的解为（，） （，）；当 时， （，） 的解为（，） （ ， ，），其中 为任
35、意常数 （） 当 时， 的规范形为 ；当 时， 的规范形为 （） （） （） 满足 的可逆矩阵为 ， 其中 ，为任意常数，且 （） （）（，） （） 的分布律为 ！ ， ， ， ， （ ）！， （） （） 的最大似然估计量为 （）（） ，（） 年全国硕士研究生招生考试试题 一、选择题（本题共 小题，每小题 分，共 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 ） （） 若函数 （） ， ， ， 在 处连续，则（ ） （） （） （） （） （） 设函数 （）可导，且 （）（） ，则（ ） （）（） （ ）（）（） （ ） （）（）（ ）（）（）（ ）
36、（） 函数 （，） 在点（，）处沿向量 （，）的方向导数为（ ） （）（）（）（） （） 甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 （单位：） 处，图中，实线表示甲的速度曲线 （）（单位： ），虚线表示乙的速度曲线 （），三 块阴影部分面积的数值依次是 ， 计时开始后乙追上 甲的时刻记为 （单位：），则（ ） （） （） （） （） （） 设 为 维单位列向量， 为 阶单位矩阵，则（ ） （） 不可逆（） 不可逆 （） 不可逆（） 不可逆 （） 已知矩阵 ， ， ，则（ ） （） 与 相似， 与 相似（） 与 相似， 与 不相似 （） 与 不相似， 与 相似（） 与 不相似， 与 不相似 （）
37、设 ， 为随机事件 若 （） ， （） ，则 （） （）的充分必要条件 是（ ） （）（） （）（）（） （） （）（） （）（）（） （） （） 设 ，（）为来自总体 （，）的简单随机样本，记 ，则下列结论中 不正确的是（ ） （） （ ）服从 分布（）（ ）服从 分布 （） （ ）服从 分布（）（ ）服从 分布 二、填空题（本题共 小题，每小题 分，共 分，把答案填在题中横线上 ） （） 已知函数 （） ，则 （）（） （） 微分方程 的通解为 （） 若曲线积分 在区域 （，） 内与路径无关，则 （） 幂级数 （ ） 在区间（ ，）内的和函数 （） （） 设矩阵 ， ， 为线性无关的 维列
38、向量组，则向量组 ，的秩 为 （） 设随机变量 的分布函数为 （） （） ，其中 （）为标准正态分布函 数，则 （） 三、解答题（本题共 小题，共 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） （） （本题满分 分） 设函数 （，）具有 阶连续偏导数， （， ），求 ， （） （本题满分 分） 求 （） （本题满分 分） 已知函数 （）由方程 确定，求 （）的极值 （） （本题满分 分） 设函数 （）在区间，上具有 阶导数，且 （） ， （） 证明： （）方程 （） 在区间（，）内至少存在一个实根； （）方程 （）（） （） 在区间（，）内至少存在两个不同实根 （） （本题满分 分） 设薄片
39、型物体 是圆锥面 被柱面 割下的有限部分，其上任一点的密度为 （，） 记圆锥面与柱面的交线为 （）求 在 平面上的投影曲线的方程； （）求 的质量 （） （本题满分 分） 设 阶矩阵 （，）有 个不同的特征值，且 （）证明 （） ； （）设 ，求方程组 的通解 （） （本题满分 分） 设二次型 （，） 在正交变换 下的标准形 为 ，求 的值及一个正交矩阵 （） （本题满分 分） 设随机变量 ， 相互独立，且 的概率分布为 ， 的概率密度为 （） ， ， ，其他 （）求 （）； （）求 的概率密度 （） （本题满分 分） 某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 次测量，该物体的质
40、量 是 已知的 设 次测量结果 ，相互独立且均服从正态分布 （，），该工程师记录 的是 次测量的绝对误差 （ ，） 利用 ，估计 （）求 的概率密度； （）利用一阶矩求 的矩估计量； （）求 的最大似然估计量 年真题参考答案 一、选择题 （） （） （） （） （） （） （） （） 二、填空题 （） （） （ ） （） （） （ ） （） （） 三、解答题 （） （，）， （，） （，） （，） （） （）极大值为 （） ，极小值为 （ ） （）证明略 （）（） ， ； （） （）（）证明略； （） （， ） （，） ， 为任意常数 （） ， （）（） ； （）（） ， ， ， ， ， 其他 （）（）（） ， ， ， ； （） ，其中 ； （） 年全国硕士研究生招生考试试题 一、选择题（本题共 小题，每小题 分，共 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 ） （）若反常积分 （ ） 收敛，则（ ） （） 且 （） 且 （） 且 （） 且 （）已知函数 （） （ ）， ， ， 则 （）的一个原函数是（ ） （）（） （ ）， ， （ ）， （）（） （ ）， ， （ ） ， （）（） （ ）， ， （ ） ， （）（）