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1、2016-2017学年上海师大附中高三（上）期中数学试卷一、填空题1（3分）已知全集U=R，A=x|x22x0，B=x|x1，则AUB= 2（3分）函数f（x）=的反函数f1（x）= 3（3分）= 4（3分）已知sin2+sin=0，（，），则tan2= 5（3分）方程log2（9x+7）=2+log2（3x+1）的解为 6（3分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S=（b2+c2a2），则A= 7（3分）已知等比数列an的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列log2an的前7项之和为 8（3分）如果函数f（x）=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称，那
2、么实数a= 9（3分）若数列an的通项公式是an=，前n项和为Sn，则Sn的值为 10（3分）已知f（x）=2sinx（0）在0，单调递增，则实数的最大值为 11（3分）函数y=arcsin（x2x）的值域为 12（3分）设函数y=f （x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意 xD，都有f（x+T）=Tf （x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（ x）的“似周期”现有下面四个关于“似周期函数”的命题：如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为1，那么它是周期为2的周期函数；函数f（x）=x是“似周期函数”；函数f（x）=2x是“似周期函数”；如果函数f（
3、x）=cosx是“似周期函数”，那么“=k，kZ”其中是真命题的序号是 （写出所有满足条件的命题序号）13（3分）已知数列an满足a1=81，an=（kN*），则数列an的前n项和Sn的最大值为 14（3分）已知函数f（x）是定义在1，+）上的函数，且f（x）=，则函数y=2xf（x）3在区间（1，2016）上的零点个数为 二、选择题15（3分）“|x1|2成立”是“x（x3）0成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件16（3分）函数y=2cos2（x）1是（）A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数17（
4、3分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（）A4B6C10D1718（3分）已知点列An（an，bn）（nN*）均为函数y=ax（a0，a1）的图象上，点列Bn（n，0）满足|AnBn|=|AnBn+1|，若数列bn中任意连续三项能构成三角形的三边，则a的取值范围为（）A（0，）（，+）B（，1）（1，）C（0，）（，+）D（，1）（1，）三、解答题19已知函数f（x）=2sin（x+）cosx（1）若0x，求函数f（x）的值域；（2）设ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A为锐角且f（A）=，b=2，c=3，求cos（AB）的值20某公司生产的某批
5、产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=（其中0xa，a为正常数）已知生产该产品还需投入成本6（P+）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？21已知函数，其中aR（1）根据a的不同取值，讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）已知a0，函数f（x）的反函数为f1（x），若函数y=f（x）+f1（x）在区间1，2上的最小值为1+log23，求函数f（x）在区间1，2上的最大值22设数列an的前n项和为Sn，且（Sn1）2=anSn（nN*）（1）求S1，S
6、2，S3的值；（2）求出Sn及数列an的通项公式；（3）设bn=（1）n1（n+1）2anan+1（nN*），求数列bn的前n项和为Tn23已知集合M是满足下列性制的函数f（x）的全体，存在实数a、k（k0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（ax）成立，称数对（a，k）为函数f（x）的“伴随数对”（1）判断f（x）=x2是否属于集合M，并说明理由；（2）若函数f（x）=sinxM，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”；（3）若（1，1），（2，1）都是函数f（x）的“伴随数对”，当1x2时，f（x）=cos（x）；当x=2时，f（x）=0，求当2014x2016时，函数y=f
7、（x）的解析式和零点2016-2017学年上海师大附中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1（3分）已知全集U=R，A=x|x22x0，B=x|x1，则AUB=（0，1）【解答】解：全集U=R，A=x|x22x0=x|0x2=（0，2），B=x|x1=1，+），UB=（，1），AUB=（0，1）故答案为：（0，1）2（3分）函数f（x）=的反函数f1（x）= x3+1【解答】解：y=，x=y3+1，函数f（x）=的反函数为f1（x）=x3+1故答案为：x3+13（3分）=【解答】解：原式=，故答案为：4（3分）已知sin2+sin=0，（，），则tan2=【解答】解：sin2+s
8、in=0，2sincos+sin=0，sin（2cos+1）=0，（，），sin0，2cos+1=0，解得：cos=，tan=，tan2=故答案为：5（3分）方程log2（9x+7）=2+log2（3x+1）的解为x=0和x=1【解答】解：由log2（9x+7）=2+log2（3x+1），得log2（9x+7）=log24（3x+1），即9x+7=4（3x+1），化为（3x）243x+3=0，解得：3x=1和3x=3，x=0和x=1故答案为：x=0和x=16（3分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S=（b2+c2a2），则A=【解答】解：由已知得：S=bcsinA=（
9、b2+c2a2）变形为：=sinA，由余弦定理可得：cosA=，所以cosA=sinA即tanA=1，又A（0，），则A=故答案为：7（3分）已知等比数列an的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列log2an的前7项之和为7【解答】解：由等比数列的性质可得：a1a7=a2a6=a3a5=4=4，数列log2an的前7项和=log2a1+log2a2+log2a7=log2（a1a2a7）=log227=7，故答案为：78（3分）如果函数f（x）=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称，那么实数a=1【解答】解：f（x）=sin2x+acos2x=由正弦函数的对称轴方程，图象关于直
10、线x=对称，即可得：，当k=0时，tan=aa=1故答案为19（3分）若数列an的通项公式是an=，前n项和为Sn，则Sn的值为12【解答】解：数列an的通项公式是an=，前n项和为Sn，Sn=4+8+=12故答案为：1210（3分）已知f（x）=2sinx（0）在0，单调递增，则实数的最大值为【解答】解：f（x）=2sinx（0）在0，单调递增，求得，则实数的最大值为，故答案为：11（3分）函数y=arcsin（x2x）的值域为arcsin，【解答】解：x2x=（x）2，函数y=arcsin（x2x）的值域为arcsin，故答案为：arcsin，12（3分）设函数y=f （x）的定义域为D，
11、如果存在非零常数T，对于任意 xD，都有f（x+T）=Tf （x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（ x）的“似周期”现有下面四个关于“似周期函数”的命题：如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为1，那么它是周期为2的周期函数；函数f（x）=x是“似周期函数”；函数f（x）=2x是“似周期函数”；如果函数f（x）=cosx是“似周期函数”，那么“=k，kZ”其中是真命题的序号是（写出所有满足条件的命题序号）【解答】解：似周期函数”y=f（x）的“似周期”为1，f（x1）=f（x），f（x2）=f（x1）=f（x），故它是周期为2的周期函数，故正确；若函数f（x
12、）=x是“似周期函数”，则f（x+T）=Tf （x），即x+T=Tx恒成立；故（T1）x=T恒成立，上式不可能恒成立；故错误；若函数f（x）=2x是“似周期函数”，则f（x+T）=Tf （x），即2x+T=T2x恒成立；故2T=T成立，无解；故错误；若函数f（x）=cosx是“似周期函数”，则f（x+T）=Tf （x），即cos（x+T）=Tcosx恒成立；故cos（x+T）=Tcosx恒成立；即cosxcosTsinxsinT=Tcosx恒成立，故，故=k，kZ；故正确；故答案为：13（3分）已知数列an满足a1=81，an=（kN*），则数列an的前n项和Sn的最大值为127【解答】解：数
13、列an满足a1=81，an=（kN*），n=2k（kN*）时，a2k=1+log3a2k1，a2=3；n=2k+1时a2k+1=a2k+1=，a2k=1+a2k2数列an的奇数项成等比数列，公比为；偶数项成等差数列，公差为1Sn=S2k=（a1+a3+a2k1）+（a2+a4+a2k）=+3k+=+126（k=5时取等号）Sn=S2k1=S2k2+a2k1=+127，k=5时取等号综上可得：数列an的前n项和Sn的最大值为127故答案为：12714（3分）已知函数f（x）是定义在1，+）上的函数，且f（x）=，则函数y=2xf（x）3在区间（1，2016）上的零点个数为11【解答】解：令函数y
14、=2xf（x）3=0，得到方程f（x）=，当x1，2）时，函数f（x）先增后减，在x=时取得最大值1，而y=在x=时也有y=1；当x2，22）时，f（x）=，在x=3处函数f（x）取得最大值，而y=在x=3时也有y=；当x22，23）时，f（x）=，在x=6处函数f（x）取得最大值，而y=在x=6时也有y=；当x210，211）时，f（x）=，在x=1536处函数f（x）取得最大值，而y=在x=1536时也有y=函数y=2xf（x）3在区间（1，2016）上的零点个数为11故答案为：11二、选择题15（3分）“|x1|2成立”是“x（x3）0成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必
15、要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：由|x1|2解得：2+1x2+1，即1x3由x（x3）0，解得0x3“|x1|2成立”是“x（x3）0成立”必要不充分条件故选：B16（3分）函数y=2cos2（x）1是（）A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数【解答】解：由y=2cos2（x）1=cos（2x）=sin2x，T=，且y=sin2x奇函数，即函数y=2cos2（x）1是奇函数故选：A17（3分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（）A4B6C10D17【解答】解：作出不等式组表示的可行域，如右图中三角形的区域，作
16、出直线l0：2x+5y=0，图中的虚线，平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6故选：B18（3分）已知点列An（an，bn）（nN*）均为函数y=ax（a0，a1）的图象上，点列Bn（n，0）满足|AnBn|=|AnBn+1|，若数列bn中任意连续三项能构成三角形的三边，则a的取值范围为（）A（0，）（，+）B（，1）（1，）C（0，）（，+）D（，1）（1，）【解答】解：由题意得，点Bn（n，0），An（an，bn）满足|AnBn|=|AnBn+1|，由中点坐标公式，可得BnBn+1的中点为（n+，0），即an=n+，bn=；当a1时，以bn1，bn，bn+1为边长
17、能构成一个三角形，只需bn1+bnbn+1，bn1bnbn+1，即+，即有1+aa2，解得1a；同理，0a1时，解得a1；综上，a的取值范围是1a或a1，故选：B三、解答题19已知函数f（x）=2sin（x+）cosx（1）若0x，求函数f（x）的值域；（2）设ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A为锐角且f（A）=，b=2，c=3，求cos（AB）的值【解答】解：（1）f（x）=2sin（x+）cosx=（sinx+cosx）cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+；（2分）由得，（4分），即函数f（x）的值域为；（6分）（2）由
18、，得，又由，解得；（8分）在ABC中，由余弦定理a2=b2+c22bccosA=7，解得；（10分）由正弦定理，得，（12分）ba，BA，cos（AB）=cosAcosB+sinAsinB=（15分）20某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=（其中0xa，a为正常数）已知生产该产品还需投入成本6（P+）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？【解答】解：（）由题意知，y=（4+）px6（p+），将p=代入化简得：y=19x（0xa）；（）
19、y=22（+x+2）223=10，当且仅当=x+2，即x=2时，上式取等号；当a2时，促销费用投入2万元时，该公司的利润最大；y=19x，y=，a2时，函数在0，a上单调递增，x=a时，函数有最大值即促销费用投入a万元时，该公司的利润最大21已知函数，其中aR（1）根据a的不同取值，讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）已知a0，函数f（x）的反函数为f1（x），若函数y=f（x）+f1（x）在区间1，2上的最小值为1+log23，求函数f（x）在区间1，2上的最大值【解答】解：（1），f（x）=ax+log2（2x+1）=ax+log2（2x+1）log22x=ax+log2（2x+1）x
20、，f（x）=f（x），即axx=ax，故a=；此时函数为偶函数，若a，函数为非奇非偶函数； （2）a0，单调递增，又函数f（x）的反函数为f1（x），f1（x）单调递增；f（1）+f1（1）=1+log23，即a+log23+f1（1）=1+log23，故f1（1）=1a，即a（1a）+log2（2a1+1）=1，解得，a=1；故f（2）=2+log2522设数列an的前n项和为Sn，且（Sn1）2=anSn（nN*）（1）求S1，S2，S3的值；（2）求出Sn及数列an的通项公式；（3）设bn=（1）n1（n+1）2anan+1（nN*），求数列bn的前n项和为Tn【解答】解：（1）（Sn1
21、）2=anSn（nN*），n2时，（Sn1）2=（SnSn1）Sn（nN*）n=1时，解得a1=S1n=2时，解得S2=同理可得：S3=（2）由（1）可得：n2时，（Sn1）2=（SnSn1）Sn（nN*）化为：Sn=（*）猜想Sn=n2时，代入（*），左边=；右边=，左边=右边，猜想成立，n=1时也成立n2时，an=SnSn1=，n=1时也成立Sn=，an=（3）bn=（1）n1（n+1）2anan+1（nN*）=（1）n1=（1）n1，n=2k（kN*）时，数列bn的前n项和为Tn=+=n=2k1（kN*）时，数列bn的前n项和为Tn=+=+Tn=23已知集合M是满足下列性制的函数f（x）
22、的全体，存在实数a、k（k0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（ax）成立，称数对（a，k）为函数f（x）的“伴随数对”（1）判断f（x）=x2是否属于集合M，并说明理由；（2）若函数f（x）=sinxM，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”；（3）若（1，1），（2，1）都是函数f（x）的“伴随数对”，当1x2时，f（x）=cos（x）；当x=2时，f（x）=0，求当2014x2016时，函数y=f（x）的解析式和零点【解答】解：（1）f（x）=x2的定义域为R假设存在实数a、k（k0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（ax）成立，则（a+x）2=k（ax）2，
23、化为：（k1）x22a（k+1）x+a2（k1）=0，由于上式对于任意实数x都成立，解得k=1，a=0（0，1）是函数f（x）的“伴随数对”，f（x）M（2）函数f（x）=sinxM，sin（a+x）=ksin（ax），（1+k）cosasinx+（1k）sinacosx=0，sin（x+）=0，xR都成立，k2+2kcos2a+1=0，cos2a=，2，|cos2a|1，又|cos2a|1，故|cos2a|=1当k=1时，cos2a=1，a=n+，nZ当k=1时，cos2a=1，a=n，nZf（x）的“伴随数对”为（n+，1），（n，1），nZ（3）（1，1），（2，1）都是函数f（x）的“伴随数对”，f（1+x）=f（1x），f（2+x）=f（2x），f（x+4）=f（x），T=4当0x1时，则12x2，此时f（x）=f（2x）=cos；当2x3时，则14x2，此时f（x）=f（4x）=cos；当3x4时，则04x1，此时f（x）=f（4x）=cosf（x）=f（x）=当2014x2016时，函数y=f（x）的零点为2014，2015，2016国产考试小能手