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1、关于圆的对称性垂径定理第一张，PPT共四十一页，创作于2022年6月圆的对称性圆的对称性圆的对称性圆的对称性（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？么？你能找到多少条对称轴？（2）你是怎么得出结论的？与同伴进行交流。）你是怎么得出结论的？与同伴进行交流。圆的基本性质圆的基本性质 圆是轴对称图形，其圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心对称轴是任意一条过圆心的直线的直线.第二张，PPT共四十一页，创作于2022年6月几个重要概念几个重要概念圆弧圆弧圆弧圆弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（圆上任意两点间的部分叫做圆
2、弧，简称弧（arc）.ABCD弦弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦（连接圆上任意两点的线段叫做弦（chord）.直径直径直径直径 经过圆心的弦叫做直径（经过圆心的弦叫做直径（diameter）.注注注注 弧包括弧包括优弧优弧和和劣弧劣弧，大于半，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧称为劣弧.例如例如 优弧优弧ACD（记作（记作 ）劣弧劣弧ABD（记作（记作 ）ACDAD第三张，PPT共四十一页，创作于2022年6月CD 如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为M.MOABBAABABAB第四张，PPT共四十一页
3、，创作于2022年6月ABCD 如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为M.（1）右图是轴对称图形吗）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你些等量关系？说一说你的理由。的理由。MOAM=BM,n小明发现图中有小明发现图中有:n由由 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.第五张，PPT共四十一页，创作于2022年6月n如图如图,小明的理由是小明的理由是:n连接连接OA,OB,OA,OB,OABCDM则则OA=OB.在在RtOAM和
4、和RtOBM中中,OA=OB，OM=OM，RtOAM RtOBM.AM=BM.点点A和点和点B关于关于CD对称对称.O关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合.AC=BC,AD=BD.(HL)第六张，PPT共四十一页，创作于2022年6月ABCD 如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为M.MO垂径定理垂径定理 垂直于弦的垂直于弦的直径平分这条弦，并且直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧平分弦所对的弧.第七张，PPT共四十一页，创作于2022年6
5、月垂径定理垂径定理三种语言三种语言定理定理 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧并且平分弦所对的弧.n老师提示老师提示:n垂径定理是垂径定理是圆中一个重圆中一个重要的结论要的结论,三三种语言要相种语言要相互转化互转化,形成形成整体整体,才能运才能运用自如用自如.想一想想一想 P906 6OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM,AC=BC,AD=BD.第八张，PPT共四十一页，创作于2022年6月看下列图形，能否使用垂径定理看下列图形，能否使用垂径定理?为什么为什么?EEE不可以不可以不可以不可以可以可以可以可以第九张，PPT共四十一页，创作
6、于2022年6月ABCD 如图，如图，AB是是 O的弦（不是直径），作一条平分的弦（不是直径），作一条平分AB的直径的直径CD，交，交AB于点于点M.MO（1）右图是轴对称图形吗）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的些等量关系？说一说你的理由。理由。CDAB,n小明发现图中有小明发现图中有:n由由 CD是直径是直径 AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD.第十张，PPT共四十一页，创作于2022年6月ABCD 如图，如图，AB是是 O的的弦弦（不是直径不是直径），作一条平分），作一条平分AB的
7、直径的直径CD，交，交AB于点于点M.MO逆定理逆定理 平分弦平分弦（不是直不是直径径）的直径垂直于弦，并的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧且平分弦所对的弧.第十一张，PPT共四十一页，创作于2022年6月ABCDMO垂径定理垂径定理 垂直于弦的垂直于弦的直径平分这条弦，并且直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧平分弦所对的弧.逆定理逆定理 平分弦平分弦（不是直径不是直径）的直径垂直于弦，并且平的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧分弦所对的弧.CD是直径是直径,CDAB,AM=BM,AC=BC,AD=BD.第十二张，PPT共四十一页，创作于2022年6月n你可以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗
8、?垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理n如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.OABCDM CD是直径是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.第十三张，PPT共四十一页，创作于2022年6月OABCDM垂径定理及逆定理垂径定理及逆定理条件条件结论结论命题命题垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的
9、直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条并且平分弦所对的另一条弧弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和并且平分弦和它所对的另一条弧它所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦并且平分弦所对的另一条弧所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.第十四张，PPT共四十一
10、页，创作于2022年6月 课时课时P61-62第十五张，PPT共四十一页，创作于2022年6月2.2.圆对称性圆对称性(2)(2)垂径定理的应用垂径定理的应用第十六张，PPT共四十一页，创作于2022年6月ABCDMO垂径定理垂径定理 垂直于弦的垂直于弦的直径平分这条弦，并且直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧平分弦所对的弧.逆定理逆定理 平分弦平分弦（不是直径不是直径）的直径垂直于弦，并且平的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧分弦所对的弧.CD是直径是直径,CDAB,AM=BM,AC=BC,AD=BD.第十七张，PPT共四十一页，创作于2022年6月n你可以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗
11、?垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理n如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.OABCDM CD是直径是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.第十八张，PPT共四十一页，创作于2022年6月OABCDM垂径定理及逆定理垂径定理及逆定理条件条件结论结论命题命题垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的
12、直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的另一并且平分弦所对的另一条弧条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦并且平分弦和它所对的另一条弧和它所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,并且并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.第十九张，PPT共四十一
13、页，创作于2022年6月OABCDM按图填空按图填空:(1)若若CD AB，CD为直径，则为直径，则_，_，_；(2)若若AM=BM，CD为直径，则为直径，则_，_，_；(3)若若CD AB，AM=BM，则，则_，_，_；(4)若若AC=BC，CD为直径，则为直径，则_，_，_；第二十张，PPT共四十一页，创作于2022年6月挑战自我挑战自我填一填填一填n1、判断：、判断：n 垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.（）n平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）n经过弦
14、的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）n圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.（）n弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）第二十一张，PPT共四十一页，创作于2022年6月挑战自我挑战自我垂径定理的推论垂径定理的推论 n如果圆的两条弦互相平行如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相那么这两条弦所夹的弧相等吗等吗?n提示提示:这两条弦在圆中位置有两种情况这两条弦在圆中位置有两种情况:OABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧垂径定理
15、的推论垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等.第二十二张，PPT共四十一页，创作于2022年6月例例1 1、如如图图，已已知知在在O O中中，弦弦ABAB的的长长为为8 8厘厘米米，圆圆心心O O到到ABAB的距离为的距离为3 3厘米，求厘米，求O O的半径的半径.ABMO垂径定理的应用垂径定理的应用第二十三张，PPT共四十一页，创作于2022年6月弓形的定义：弓形的定义：由弦及其所对的弧组成的图形由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。叫做弓形。弓形高：弓形高：弧的中点到弦的距离叫做弓形的高。弧的中点到弦的距离叫做弓形的高。第二十四张，PPT共四十一页，创作于202
16、2年6月垂径定理垂径定理三角形三角形已知：如图，直径已知：如图，直径CDAB，垂足为，垂足为E.若半径若半径 r=2，AB=,求求OE、DE 的长的长.若半径若半径 r=2，OE=1，求，求AB、DE 的长的长.d rh第二十五张，PPT共四十一页，创作于2022年6月d rh垂径定理垂径定理三角形三角形弦长弦长a，弦心距，弦心距d，半径，半径r，及弓形高，及弓形高h 四者之间的关系四者之间的关系知知2求求2（1）已知）已知r,d（2）已知）已知r,h（3）已知）已知r,a（4）已知）已知d,h（5）已知）已知a,d（6）已知）已知a,h在在a,d,r,ha,d,r,h中，已知其中任意两个量中
17、，已知其中任意两个量,可以求出其它两可以求出其它两个量个量.d+h=rd+h=r第二十六张，PPT共四十一页，创作于2022年6月垂径定理的应用垂径定理的应用(测公路的弯道的半径测公路的弯道的半径测公路的弯道的半径测公路的弯道的半径)解：连接解：连接OC.设弯路的半径为设弯路的半径为Rm，则，则0F=（R-90）m.OECD，CF=1/2CD=1/2600=300（m）.根据勾股定理，得根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2，即即 R2=3002+（R-90）2解这个方程，得解这个方程，得R=545.所以，这段弯路的半径为所以，这段弯路的半径为545m.RmF0CDE例例2.如图，一条公路的转
18、弯处是一段圆弧（即图中如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中 ，点，点O是是 的圆心），其中的圆心），其中CD=600m，E为为 上一点，且上一点，且OECD，垂足为，垂足为F，EF=90m.求这求这段弯路的半径段弯路的半径.CDCDCD第二十七张，PPT共四十一页，创作于2022年6月例：例：1300多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥(如如图图)的桥拱是圆弧形的桥拱是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对是弦的长弧所对是弦的长)为为 37.4 m,拱高为拱高为7.2m,求桥拱的半径求桥拱的半径(精确到精确到0.1m).第二十八张，PPT共四十一页，创作于2022年6月
19、解：如图，用解：如图，用 表示桥拱，表示桥拱，所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为，半径为Rm，经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD，D为垂足，与为垂足，与 相交于点相交于点C.根根据垂径定理，据垂径定理，D是是AB的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD就是拱高就是拱高.由题设由题设在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得解得解得 R27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.RD37.47.2第二十九张，PPT共四十一页，创作于2022年6月例：例：在半径为在半径为5 5的圆内，有两条互相平行的弦，的圆内，有两条互相平行的弦
20、，长度分别为长度分别为6 6和和8 8，求这两条平行弦之间的，求这两条平行弦之间的距离。距离。练：练：在半径为在半径为5 5的圆内，有一个等腰梯形，的圆内，有一个等腰梯形，它的两底长度分别为它的两底长度分别为6 6和和8 8，求这个等腰梯，求这个等腰梯形的面积。形的面积。第三十张，PPT共四十一页，创作于2022年6月垂径定理的应用垂径定理的应用2、在直径为、在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示截面如图所示.若油面宽若油面宽AB=600mm，求油的最大，求油的最大深度深度.ED 600BAO600 650DC第三十一张，PPT共四十一页，创作于
21、2022年6月2.如图，某地有一圆弧形拱桥如图，某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为桥下水面宽为7.2米，米，拱顶高出水面拱顶高出水面2.4米。现有一艘宽米。现有一艘宽3米、船舱顶部为长米、船舱顶部为长方形并高出水面方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？利通过这座拱桥吗？第三十二张，PPT共四十一页，创作于2022年6月此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥.解解:如图，用如图，用 表示桥拱，表示桥拱，所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,半径为半径为Rm，经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD，D为垂足，与为垂足，与 相交于点相
22、交于点C。根据垂径定理，根据垂径定理，D是是AB的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD就是拱高就是拱高由题设得由题设得在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得解得解得 R=3.9（m）.在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得第三十三张，PPT共四十一页，创作于2022年6月n3、已知：如图，、已知：如图，O 中，中，AB为为 弦，弦，C 为为 的中点，的中点，OC交交AB 于于D，AB=6cm，CD=1cm.求求 O 的半径的半径OA.第三十四张，PPT共四十一页，创作于2022年6月n如如图图,M,M为为O O内内的的一一点点,利利用用尺尺规规作作一一条条弦弦AB
23、,AB,使使ABAB过点过点M.M.并且并且AM=BM.AM=BM.OM第三十五张，PPT共四十一页，创作于2022年6月n4.如图如图,圆圆O与矩形与矩形ABCD交于交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求求BE的长的长.ABCD0EFGH第三十六张，PPT共四十一页，创作于2022年6月结束寄语形成天才的决定因素应该是形成天才的决定因素应该是勤奋勤奋.第三十七张，PPT共四十一页，创作于2022年6月 这节课我们学习了哪些主要内容这节课我们学习了哪些主要内容?学习了哪学习了哪些基本观点和方法些基本观点和方法?应用垂径定理要注意哪些应用垂径定理要注意哪些问题问题?第三十八张，P
24、PT共四十一页，创作于2022年6月1 1 1 1、本节课主要学习了、本节课主要学习了、本节课主要学习了、本节课主要学习了(1)(1)(1)(1)圆的轴对称性；圆的轴对称性；圆的轴对称性；圆的轴对称性；(2)(2)(2)(2)垂径定理及推论垂径定理及推论垂径定理及推论垂径定理及推论.2 2 2 2、有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非、有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非、有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非、有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非 常重要的辅助线常重要的辅助线常重要的辅助线常重要的辅助线.圆心到弦的距离、半径、弦长
25、构成直角三圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三 角形，便将问题转化为解直角三角形的问题角形，便将问题转化为解直角三角形的问题角形，便将问题转化为解直角三角形的问题角形，便将问题转化为解直角三角形的问题.3 3 3 3、垂径定理的证明，是通过、垂径定理的证明，是通过、垂径定理的证明，是通过、垂径定理的证明，是通过“实验实验实验实验观察观察观察观察猜想猜想猜想猜想证明证明证明证明”实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想后证明的观点，实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想后证明的观点，实现的，体现了实践的观点
26、、运动变化的观点和先猜想后证明的观点，实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想后证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思想方法定理的引入还应用了从特殊到一般的思想方法定理的引入还应用了从特殊到一般的思想方法定理的引入还应用了从特殊到一般的思想方法.知识结构知识结构知识结构知识结构第三十九张，PPT共四十一页，创作于2022年6月 赵州桥又名赵州桥又名“安济桥安济桥”，位于河北省赵县城南交，位于河北省赵县城南交河上，是我国现存的著名古代大石拱桥、河上，是我国现存的著名古代大石拱桥、隋开隋开皇大业年间皇大业年间(590(590608)608)由李春创建由李春创建.桥单孔，全长桥单孔，
27、全长50.8250.82米，桥面宽约米，桥面宽约1010米，跨径约为米，跨径约为3737米，弧形平米，弧形平缓，拱圈为缓，拱圈为2828条并列的石条组成，上设四个小拱，条并列的石条组成，上设四个小拱，既减轻重量，节省材料，又便于排洪，且增美既减轻重量，节省材料，又便于排洪，且增美观观在世界桥梁史上，其设计与工艺之新为石在世界桥梁史上，其设计与工艺之新为石拱桥的卓越典范，跨度之大在当时亦属首创，拱桥的卓越典范，跨度之大在当时亦属首创，反映了我国古代劳动人民的智慧与才能反映了我国古代劳动人民的智慧与才能.关于赵州桥的说明：关于赵州桥的说明：关于赵州桥的说明：关于赵州桥的说明：第四十张，PPT共四十一页，创作于2022年6月感感谢谢大大家家观观看看第四十一张，PPT共四十一页，创作于2022年6月