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1、关于圆的一般方程轨迹问题第一张，PPT共二十三页，创作于2022年6月【答答】线段线段AB的垂直平分线的垂直平分线。复习引入复习引入 【思考思考1】平面内到一定点平面内到一定点A的距离等于定长的点的距离等于定长的点M的轨迹是什么？的轨迹是什么？【思考思考2】平面内与两定点平面内与两定点A、B距离相等的点距离相等的点M的轨迹是什么？的轨迹是什么？AABMrM|MA|=r|MA|=|MB|【答答】以以定点定点A为圆心，为圆心，定长定长r为半径的圆。为半径的圆。第二张，PPT共二十三页，创作于2022年6月【例例1】已知线段已知线段AB的端点的端点B的坐标是的坐标是(4,3),端点端点A在圆在圆(x
2、+1)2+y2=4上运动，求线段上运动，求线段AB的中点的中点M的轨迹方程的轨迹方程.yxoABM典型例题典型例题 【分析分析】设设M(x,y),因为因为M是是AB的中点，的中点，(4,3)(x,y)(x0,y0)所以所以解得解得又因为点又因为点A在圆在圆(x+1)2+y2=4上，上，所以所以(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,得得为所求。为所求。A(x0,y0)相关点法相关点法第三张，PPT共二十三页，创作于2022年6月【例例1】已知线段已知线段AB的端点的端点B的坐标是的坐标是(4,3),端点端点A在圆在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段上运动，求线段AB的中点的中点M的轨迹方程
3、的轨迹方程.yxoABM【小结小结】这种求轨迹方程的方法叫这种求轨迹方程的方法叫相关点法相关点法。【分析分析】设设M(x,y),因为因为M是是AB的中点的中点,B(4,3)，(4,3)(x,y)所以点所以点A的坐标为的坐标为又因为点又因为点A在圆在圆(x+1)2+y2=4上，上，所以所以(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,得得为所求。为所求。(2x-4,2y-3)(2x-4,2y-3)也叫也叫动点转移法动点转移法，或叫，或叫代入法代入法。注意：注意：求轨迹方程，第一步往往设所求动点坐标为求轨迹方程，第一步往往设所求动点坐标为(x,y).第四张，PPT共二十三页，创作于2022年6月【练习练
4、习】已知线段已知线段AB的端点的端点B的坐标是的坐标是(4,0),端点端点A在圆在圆x2+y2=4上运动，求线段上运动，求线段AB的中点的中点M的轨迹方程的轨迹方程.yxoABM典型例题典型例题 (x-2)2+y2=1(x,y)(2x-4,2y)第五张，PPT共二十三页，创作于2022年6月【例例1】已知线段已知线段AB的端点的端点B的坐标是的坐标是(4,3),端点端点A在在圆圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段上运动，求线段AB的中点的中点M的轨迹方的轨迹方程程.yxoABMC典型例题典型例题 D得得为所求。为所求。M的轨迹是以的轨迹是以D为圆心，为圆心，1为半径的圆为半径的圆,【分析分析
5、2】【反思反思】定义法，相当漂亮！定义法，相当漂亮！第六张，PPT共二十三页，创作于2022年6月【变式变式】过点过点P(4,0)作直线与圆作直线与圆x2+y2=4相交于不同两点相交于不同两点A、B，求线段，求线段AB的中点的中点M的轨迹方程，并说明轨迹的形的轨迹方程，并说明轨迹的形状。状。yxoABM典型例题典型例题 P第七张，PPT共二十三页，创作于2022年6月PyxoABM典型例题典型例题 【变式变式】过点过点P(4,0)作直线与圆作直线与圆x2+y2=4相交于不同两点相交于不同两点A、B，求线段，求线段AB的中点的中点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状。的轨迹方程，并说明轨迹的形状。第八
6、张，PPT共二十三页，创作于2022年6月PyxoABM典型例题典型例题 【变式变式】过点过点P(4,0)作直线与圆作直线与圆x2+y2=4相交于不同两点相交于不同两点A、B，求线段，求线段AB的中点的中点M的轨迹方程，并说明轨迹的形的轨迹方程，并说明轨迹的形状。状。(x-2)2+y2=4(0 x 1)第九张，PPT共二十三页，创作于2022年6月PyxoABM典型例题典型例题 【变式变式】过点过点P(4,0)作直线与圆作直线与圆x2+y2=4相交于不同两点相交于不同两点A、B，求线段，求线段AB的中点的中点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状。的轨迹方程，并说明轨迹的形状。(x-2)2+y2=4(
7、0 x 1)轨迹是圆轨迹是圆(x-2)2+y2=4夹在圆夹在圆x2+y2=4内的圆弧。内的圆弧。C【反思反思】与垂直有关的问题，可考虑与垂直有关的问题，可考虑勾股定理勾股定理或或斜斜率关系率关系，或利用，或利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边直角三角形斜边上的中线等于斜边一半一半”这个性质（注意讨论这个性质（注意讨论特殊情形特殊情形）。）。第十张，PPT共二十三页，创作于2022年6月典型例题典型例题 【例例2】已知动点已知动点M与两定点与两定点P(8,0)、Q(2,0)距距 离之比为离之比为2，求点，求点M的轨迹方程。的轨迹方程。【分析分析】设设M(x,y),由由|MP|=2|MQ|得得化简
8、得化简得直译法直译法第十一张，PPT共二十三页，创作于2022年6月【变式变式】已知两定点已知两定点A,B间距离为间距离为6，动点，动点M与与A,B距距离之比为离之比为2，求点，求点M的轨迹方程。的轨迹方程。典型例题典型例题 yxO-3A3BMC注意：建系不同，答案不同，因此建系要恰当，考虑对称、尽量多落在标轴上.第十二张，PPT共二十三页，创作于2022年6月【拓展拓展】已知两定点已知两定点A,B间距离为间距离为6，动点，动点M与与A,B距距离之比为离之比为2，则，则MABMAB面积的最大值为？面积的最大值为？典型例题典型例题 yxO-3A3BMC反思：坐标法思想，秒！12第十三张，PPT共
9、二十三页，创作于2022年6月小结：小结：1.求轨迹方程时，一般应数形结合，即充分运用几何图形的性质将形的直观与数的严谨有机结合起来。2.求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等。3.求轨迹方程的步骤：建系设点（x,y）;列式代入；化简检验.第十四张，PPT共二十三页，创作于2022年6月(P124,B1)等腰三角形的顶点是等腰三角形的顶点是A(4,2),底边的一个端点底边的一个端点是是B(3,5),求另一个端点求另一个端点C的轨迹方程的轨迹方程,并说明它的并说明它的轨迹是什么轨迹是什么.解解:设另一端点设另一端点C的坐标为的坐标为(x,y),依题
10、意依题意,得得:|AC|=|AB|,由两点间距离公式得由两点间距离公式得,平方整理得平方整理得,(x-4)2+(y-2)2=10.这是以点这是以点A(4,2)为圆心为圆心,以以 为半径的圆为半径的圆,但但A B C为三为三角形的顶点角形的顶点,A B C三点不共线三点不共线.当当B与与C重合时重合时,C(3,5),当当BC为直径时为直径时,C(5,-1),第十五张，PPT共二十三页，创作于2022年6月端点端点C的轨迹方程是的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10().故端点故端点C的轨迹是以的轨迹是以A(4,2)为圆心为圆心,为半径的圆为半径的圆,但要除但要除去去(3,5)和和(5,-1
11、)两点两点.如下图所示如下图所示.第十六张，PPT共二十三页，创作于2022年6月 规律技巧规律技巧:在求轨迹方程时在求轨迹方程时,必须考虑必须考虑C点是点是三角形的一个顶点三角形的一个顶点,故故A B C不能共线不能共线,这一这一点容易造成失误点容易造成失误,应引起高度重视应引起高度重视.第十七张，PPT共二十三页，创作于2022年6月 解：在解：在给给定的坐定的坐标标系里，系里，设设点点M(x,y)是曲是曲线线上的任意一点，上的任意一点，也就是点也就是点M属于集合属于集合由两点由两点间间的距离公式，得的距离公式，得化化简简得得x2+y2+2x 30这这就是所求的曲就是所求的曲线线方程方程把
12、方程把方程的左的左边边配方，得配方，得(x+1)2+y24所以方程所以方程的曲的曲线线是以是以C(1，0)为圆为圆心，心，2为为半径的半径的圆圆.xyMAOC直译法直译法(P124,B3)(P124,B3)已知一曲已知一曲线线是与定点是与定点O(0,0)O(0,0)，A(3,0)A(3,0)距离的距离的比是比是 的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程，并画出曲线的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程，并画出曲线.第十八张，PPT共二十三页，创作于2022年6月(P124,B2)长为长为2a的线段的线段AB的两个端点分别在相互垂的两个端点分别在相互垂直的两条直线上滑动，则线段直的两条直线上滑动，则线段AB的中点
13、轨迹为的中点轨迹为?BAM2.定义法定义法;轨迹的常用求法轨迹的常用求法:1.直译法直译法;xy第十九张，PPT共二十三页，创作于2022年6月【课堂练习课堂练习】1.已知RtABC中，A(-1,0),B(3,0),(1)求直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程。x2+y2-2x-3=0(y0)(x-2)2+y2=1(y0)第二十张，PPT共二十三页，创作于2022年6月知识探究二：圆的直径方程知识探究二：圆的直径方程 思考思考1:1:已知点已知点A(1A(1，3)3)和和B(-5B(-5，5)5)，如何求，如何求以线段以线段ABAB为直径的圆方程？为直径的圆方程？思考思考2
14、:2:一般地，已知点一般地，已知点A(xA(x1 1，y y1 1)，B(xB(x2 2，y y2 2)，则以线段，则以线段ABAB为直径的圆方程如何？为直径的圆方程如何？A Ax xo oy yB BP P第二十一张，PPT共二十三页，创作于2022年6月例例5.已知：一个圆的直径的两端点是已知：一个圆的直径的两端点是A(x1，y1)、B(x2，y2).证明：圆的方程是证明：圆的方程是 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0 ABC P解法一：解法一：求圆心、求半径求圆心、求半径解法二：解法二：相关点法相关点法P点满足点满足PAPB即即 举例举例第二十二张，PPT共二十三页，创作于2022年6月感感谢谢大大家家观观看看第二十三张，PPT共二十三页，创作于2022年6月