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1、【答【答】线段线段AB的垂直平分线的垂直平分线。复习引入复习引入 【思考【思考1】平面内到一定点平面内到一定点A的距离等于定长的的距离等于定长的点点M的轨迹是什么？的轨迹是什么？【思考【思考2】平面内与两定点平面内与两定点A、 B距离相等的点距离相等的点M的轨迹是什么？的轨迹是什么？AABMrM|MA|=r|MA|= |MB|【答【答】以定点以定点A为圆心，定长为圆心，定长r为半径的圆。为半径的圆。【例【例1】已知线段已知线段AB的端点的端点B的坐标是的坐标是(4,3),端点端点A在圆在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段上运动，求线段AB的中点的中点M的轨迹方程的轨迹方程. yxoABM典
2、型例题典型例题 【分析】设【分析】设M(x,y), 因为因为M是是AB的中点，的中点，(4,3)(x,y)(x0,y0)所以所以004232xxyy解得解得002423xxyy又因为点又因为点A在圆在圆(x+1)2+y2=4上，上，所以所以(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,得得2233()()122xy为所求。为所求。A(x0,y0)相关点法相关点法【例【例1】已知线段已知线段AB的端点的端点B的坐标是的坐标是(4,3),端点端点A在圆在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段上运动，求线段AB的中点的中点M的轨迹方程的轨迹方程. yxoABM【小结】这种求轨迹方程的方法叫【小结】这种求轨
3、迹方程的方法叫相关点法相关点法。【分析】设【分析】设M(x,y), 因为因为M是是AB的中点的中点, B(4,3) ，(4,3)(x,y)所以点所以点A的坐标为的坐标为又因为点又因为点A在圆在圆(x+1)2+y2=4上，上，所以所以(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,得得2233()()122xy为所求。为所求。(2x-4, 2y-3)(2x-4, 2y-3)也叫也叫动点转移法动点转移法，或叫，或叫代入法代入法。注意：注意：求轨迹方程，第一步往往设所求动点坐标为求轨迹方程，第一步往往设所求动点坐标为(x,y).【练习【练习】已知线段已知线段AB的端点的端点B的坐标是的坐标是(4,0),端点
4、端点A在圆在圆x2+y2=4上运动，求线段上运动，求线段AB的中点的中点M的轨迹方程的轨迹方程. yxoABM典型例题典型例题 (x-2)2+y2=1(x,y)(2x-4, 2y)【例【例1】已知线段已知线段AB的端点的端点B的坐标是的坐标是(4,3),端点端点A在圆在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段上运动，求线段AB的中点的中点M的的轨迹方程轨迹方程. yxoABMC典型例题典型例题 D1| 12MDAC得得2233()()122xy为所求。为所求。14 03(,)22D M的轨迹是以的轨迹是以D为圆心，为圆心，1为半径的圆为半径的圆,【分析【分析2】【反思】定义法，相当漂亮！【反思】
5、定义法，相当漂亮！【变式【变式】过点过点P (4,0)作直线与圆作直线与圆x2+y2=4相交于不同相交于不同两点两点A、B ，求线段，求线段AB的中点的中点M的轨迹方程，并说的轨迹方程，并说明轨迹的形状。明轨迹的形状。 yxoABM典型例题典型例题 PPyxoABM典型例题典型例题 【变式【变式】过点过点P (4,0)作直线与圆作直线与圆x2+y2=4相交于不同相交于不同两点两点A、B ，求线段，求线段AB的中点的中点M的轨迹方程，并说的轨迹方程，并说明轨迹的形状。明轨迹的形状。 OMMPPyxoABM典型例题典型例题 【变式【变式】过点过点P (4,0)作直线与圆作直线与圆x2+y2=4相交
6、于不同相交于不同两点两点A、B ，求线段，求线段AB的中点的中点M的轨迹方程，并说的轨迹方程，并说明轨迹的形状。明轨迹的形状。 (x-2)2+y2=4(0 x 1)PyxoABM典型例题典型例题 【变式【变式】过点过点P (4,0)作直线与圆作直线与圆x2+y2=4相交于不同相交于不同两点两点A、B ，求线段，求线段AB的中点的中点M的轨迹方程，并说的轨迹方程，并说明轨迹的形状。明轨迹的形状。 (x-2)2+y2=4(0 x 1)OMMP轨迹是圆轨迹是圆(x-2)2+y2=4夹在圆夹在圆x2+y2=4内的圆弧。内的圆弧。C【反思【反思】与垂直有关的问题，可考虑与垂直有关的问题，可考虑勾股定理勾
7、股定理或或斜率关系斜率关系，或利用，或利用“直角三角形斜边上的中直角三角形斜边上的中线等于斜边一半线等于斜边一半”这个性质（注意讨论这个性质（注意讨论特殊情特殊情形形）。）。典型例题典型例题 【例【例2】已知动点已知动点M与两定点与两定点P (8,0)、 Q(2,0)距距 离之比为离之比为2，求点，求点M的轨迹方程。的轨迹方程。【分析】设【分析】设M(x,y), 由由|MP|=2|MQ|得得2222822xyxy化简得化简得2216xy直译法直译法【变式【变式】已知两定点已知两定点A,B间距离为间距离为6，动点，动点M与与A,B距离之比为距离之比为2，求点，求点M的轨迹方程。的轨迹方程。典型例
8、题典型例题 yxO-3A3BMC22-516xy（）注意：建系不同，答案不同，因此建系要恰当，考虑对称、尽量多落在标轴上.【拓展【拓展】已知两定点已知两定点A,B间距离为间距离为6，动点，动点M与与A,B距离之比为距离之比为2，则，则MABMAB面积的最大值为？面积的最大值为？典型例题典型例题 yxO-3A3BMC22-516xy（）反思：坐标法思想，秒！121.求轨迹方程时，一般应数形结合，即充分运用几何图形的性质将形的直观与数的严谨有机结合起来。2.求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等。3.求轨迹方程的步骤：建系设点（x,y）; 列式代入；
9、 化简检验.(P124,B1)等腰三角形的顶点是等腰三角形的顶点是A(4,2),底边的一个端底边的一个端点是点是B(3,5),求另一个端点求另一个端点C的轨迹方程的轨迹方程,并说明它并说明它的轨迹是什么的轨迹是什么.解解:设另一端点设另一端点C的坐标为的坐标为(x,y),依题意依题意,得得:|AC|=|AB|,由两点间距离公式得由两点间距离公式得,平方整理得平方整理得,(x-4)2+(y-2)2=10.这是以点这是以点A(4,2)为圆心为圆心,以以 为半径的圆为半径的圆,但但A B C为三为三角形的顶点角形的顶点,A B C三点不共线三点不共线.当当B与与C重合时重合时,C(3,5),当当BC
10、为直径时为直径时,C(5,-1),2222(4)(2)(43)(25)xy10端点端点C的轨迹方程是的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10( ).故端点故端点C的轨迹是以的轨迹是以A(4,2)为圆心为圆心, 为半径的圆为半径的圆,但要除去但要除去(3,5)和和(5,-1)两点两点.如下图所示如下图所示.10355-1xxyy且 规律技巧规律技巧:在求轨迹方程时在求轨迹方程时,必须考虑必须考虑C点是点是三角形的一个顶点三角形的一个顶点,故故A B C不能共线不能共线,这一这一点容易造成失误点容易造成失误,应引起高度重视应引起高度重视. 解：在给定的坐标系里，设点解：在给定的坐标系里，设点M
11、(x,y)是曲线上的任意一点，是曲线上的任意一点，也就是点也就是点M属于集合属于集合21| AMOMM由两点间的距离公式，得由两点间的距离公式，得21)3(2222 yxyx化简得化简得x2+y2+2x 30这就是所求的曲线方程这就是所求的曲线方程把方程把方程的左边配方，得的左边配方，得(x+1)2+y24所以方程所以方程的曲线是以的曲线是以C( 1，0)为圆心，为圆心，2为半径的圆为半径的圆.xyMAOC直译法直译法(P124,B3) (P124,B3) 已知一曲线是与定点已知一曲线是与定点O(0,0)O(0,0)，A(3,0)A(3,0)距离的距离的比是比是 的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程
12、，并画出曲线的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程，并画出曲线. . 12(P124,B2)长为长为2a的线段的线段AB的两个端点分别在相互的两个端点分别在相互垂直的两条直线上滑动，则线段垂直的两条直线上滑动，则线段AB的中点轨迹为的中点轨迹为?BAM222xya2.定义法定义法;轨迹的常用求法轨迹的常用求法:1.直译法直译法;xy【课堂练习【课堂练习】1.已知RtABC中，A(-1,0),B(3,0),(1)求直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程。2244139xyx2+y2-2x-3=0(y0)(x-2)2+y2=1(y0)知识探究二：圆的直径方程知识探究二：圆的直径方程 思考
13、思考1:1:已知点已知点A(1A(1，3)3)和和B(-5B(-5，5)5)，如，如何求以线段何求以线段ABAB为直径的圆方程？为直径的圆方程？ 思考思考2:2:一般地，已知点一般地，已知点A(xA(x1 1，y y1 1) )，B(xB(x2 2，y y2 2) )，则以线段，则以线段ABAB为直径的圆方为直径的圆方程如何？程如何？A Ax xo oy yB BP P例例5.已知：一个圆的直径的两端点是已知：一个圆的直径的两端点是A(x1，y1) 、B(x2，y2). 证明：圆的方程是证明：圆的方程是 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0 ABC P解法一：解法一： 求圆心、求半径求圆心、求半径解法二：解法二： 相关点法相关点法P点满足点满足PAPB即即12211 xxyyxxyy 举例举例