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1、3计算导数1.曲线y=1x在点P处的切线的斜率为-4,则点P的坐标是()A.12,2B.-12,-2或12,2C.-12,-2D.12,-2解析:y=1x=-1x2,由-1x2=-4,解得x=12.所以P点的坐标为12,2或-12,-2,故选B.答案:B2.设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1)处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处切线的斜率为()A.2B.-14C.4D.-12解析:由题意可知g(1)=2,f(x)=g(x)+2x,f(1)=g(1)+2=4,故选C.答案:C3.设f0(x)=sin x,f1(x)=f0(x),f2(x
2、)=f1(x),fn+1(x)=fn(x),nN,则f2 017(x)=()A.sin xB.-sin xC.cos xD.-cos x解析:f0(x)=sinx,f1(x)=f0(x)=(sinx)=cosx,f2(x)=f1(x)=(cosx)=-sinx,f3(x)=f2(x)=(-sinx)=-cosx,f4(x)=f3(x)=(-cosx)=sinx,4为最小正周期,f2017(x)=f1(x)=cosx.答案:C4.若f(x)=10x,则f(1)=.解析:(10x)=10xln10,f(1)=10ln10.答案:10ln 105.在曲线y=4x2上求一点P,使得曲线在该点处的切线的
3、倾斜角为135,则P点坐标为.解析:设P(x0,y0),y=4x2=(4x-2)=-8x-3,tan135=-1,-8x0-3=-1.x0=2,y0=1.答案:(2,1)6.设曲线y=xn+1(nN+)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lg xn,则a1+a2+a99的值为.解析:在点(1,1)处的切线斜率k=(n+1)1n=n+1,则在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得xn=nn+1.an=lgnn+1.a1+a2+a99=lg12+lg23+lg99100=lg122399100=lg1100=-2.答案:-27.求抛物线y=x2过
4、点52,6的切线方程.解设此切线过抛物线上的点(x0,x02).由导数的意义知此切线的斜率为2x0.又此切线过点52,6和点(x0,x02),x02-6x0-52=2x0.由此x0应满足x02-5x0+6=0,解得x0=2或x0=3.即切线过抛物线y=x2上的点(2,4)或(3,9),所求切线方程分别为y-4=4(x-2)或y-9=6(x-3),化简得4x-y-4=0或6x-y-9=0.8.导学号01844035已知直线y=kx是曲线y=ln x的一条切线,试求k的值.解设切点坐标为(x0,y0).y=lnx,y=1x,切线的斜率k=1x0.点(x0,y0)既在直线y=kx上,也在曲线y=lnx上,y0=kx0,y0=lnx0.把k=1x0代入式得y0=1,再把y0=1代入式求出x0=e.k=1x0=1e.9.导学号01844036已知曲线C:y=2x2,点A(0,-2)及点B(3,a),从点A观察点B,若视线不被曲线C挡住,求实数a的取值范围.解在曲线C:y=2x2上取一点D(x0,2x02)(x00),y=2x2,y=4x.当x=x0时,y=4x0.令2x02+2x0=4x0,得x0=1,此时D(1,2),kAD=2-(-2)1-0=4,直线AD的方程为y=4x-2.若视线不被曲线C挡住,则实数a43-2=10,即实数a的取值范围是(-,10).