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1、 3 计算导数 学习目标 1.会求函数在一点处的导数.2.理解导函数的概念并能求一些简单函数的导函数 知识点一 导函数 思考 对于函数f(x)，如何求f(1)、f(x)？f(x)与f(1)有何关系？梳理 如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为_，f(x)_，则f(x)是_，称f(x)为f(x)的_，通常也简称为_ 区别 联系 f(x0)f(x0)是具体的值，是数值 在xx0处的导数f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值 f(x)f(x)是f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一
2、个新函数，是函数 知识点二 导数公式表 函数 导函数 yc(c是常数)y_ yx(为实数)y_ yax(a0，a1)y_ yex y_ ylogax(a0，a1)y_ yln x y_ ysin x y_ ycos x y_ ytan x y_ ycot x y1sin2x 类型一 利用导函数求某点处的导数 例 1 求函数f(x)x23x的导函数f(x)，并利用f(x)求f(3)，f(1)反思与感悟 f(x0)是f(x)在xx0处的函数值计算f(x0)可以直接使用定义，也可以先求f(x)，然后求f(x)在xx0处的函数值f(x0)跟踪训练 1 求函数yf(x)1x5 的导函数f(x)，并利用f
3、(x)，求f(2)类型二 导数公式表的应用 例 2 求下列函数的导数(1)ysin 3；(2)yx x；(3)ylog3x；(4)ysin x2cos2x21；(5)y5x.反思与感悟 对于教材中出现的 8 个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如 sin332是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现sin3cos3这样的错误结果二是准确记忆，灵活变形如根式、分式可先转化为指数式，再利用公式求导 跟踪训练 2 求下列函数的导数(1)y(1x)(11x)x；(2)y2cos2x21.类型三 导数公式的综合应用 命题角度 1 利用导数公式求解切线方程
4、例 3 已知点P(1,1)，点Q(2,4)是曲线yx2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由 引申探究 若例 3 条件不变，求与直线PQ平行的曲线yx2的切线方程 反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决 跟踪训练 3 过原点作曲线yex的切线，那么切点的坐标为_，切线的斜率为_ 命题角度 2 利用导数公式求参数 例 4 已知直线ykx是曲线yln x的切线，则k的值等于()Ae Be C.1e D1e 反思与感悟 解决此类问题的关键是设出切点，根据导
5、数的几何意义表示出切线的斜率进一步写出切线方程 跟踪训练 4 已知函数f(x)x，g(x)aln x，aR，若曲线yf(x)与曲线yg(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值 1下列结论：(sin x)cos x；(x53)x23；(log3x)13ln x；(ln x)1x.其中正确的有()A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 2质点的运动方程是s1t4(其中s的单位为 m，t的单位为 s)，则质点在t3 s 时的速度为()A434 m/s B334 m/s C535 m/s D435 m/s 3设函数f(x)logax，f(1)1，则a_.4在曲线y1x上一点P处的切线的斜率为4，则
6、点P的坐标为_ 5曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_ 1利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想与化归 2有些函数可先化简再求导 如求y12sin2x2的导数 因为y12sin2x2cos x，所以y(cos x)sin x.3对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化 答案精析 问题导学 知识点一 思考 f(1)limx0 f1xf1x.f(x)limx0 fxxfxx.f(1)可以认为把x1 代入导数f(x)得到的值 梳理 f(x)limx0 f
7、xxfxx 关于x的函数 导函数 导数 知识点二 0 x1 axln a ex 1xln a 1x cos x sin x 1cos2x 题型探究 例 1 解 f(x)limx0 fxxfxx limx0 xx23xxx23xx limx0(x2x3)2x3，即f(x)2x3，f(3)2333，f(1)2(1)35.跟踪训练 1 解 yf(xx)f(x)1xx51x5 xxxx，yx1xxx，f(x)limx0 yxlimx0 1xxx 1x2.f(2)14.例 2 解(1)y0.(2)因为yx xx32，所以y(x32)32x1232x.(3)y(log3x)1xln 3.(4)因为ysin
8、 x2cos2x21sin xcos xtan x，所以y(tan x)1cos2x.(5)y(5x)5xln 5.跟踪训练 2 解(1)y(1x)(11x)x 1xxx1xx12，y12x32.(2)y2cos2x21cos x，y(cos x)sin x.例 3 解 因为y(x2)2x，假设存在与直线PQ垂直的切线 设切点为(x0，y0)，由PQ的斜率为k41211，而切线与PQ垂直，所以 2x01，即x012.所以切点为(12，14)所以所求切线方程为 y14(1)(x12)，即 4x4y10.引申探究 解 因为y(x2)2x，设切点为M(x0，y0)，由PQ的斜率为k41211，而切线
9、平行于PQ，所以 2x01，即x012.所以切点为M(12，14)所以所求切线方程为y14x12，即 4x4y10.跟踪训练 3(1，e)e 解析 设切点坐标为(x0，ex0)(ex)ex，过该点的直线的斜率为 ex0，所求切线方程为yex0ex0(xx0)切线过原点，ex0 x0ex0，解得x01.切点坐标为(1，e)，斜率为 e.例 4 C y(ln x)1x.设切点坐标为(x0，y0)，则切线方程为yy01x0(xx0)，即yxx0ln x01.直线ykx过原点，ln x010，得x0e，k1e.跟踪训练 4 设两曲线的交点为(x0，y0)，由题意知，f(x0)g(x0)，即12x012ax0，即a12x012，点(x0，y0)为两曲线的交点，x0aln x0，由可得x0e2，将x0e2代入得ae2.当堂训练 1C 2.D 3.1e 4(12，2)或(12，2)5.12e2