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1、实数复习专题一 平方根、算术平方根和立方根【背诵与理解】一、定义：1、如果x2=a，那么x叫做a的平方根，符号是2、如果x2=a，那么正数x叫做a的算术平方根，符号是3、如果x3=a，那么x叫做a的立方根，符号是二、解读：1、求方根的方法： 底数法：将a表示为a=x2或a=x3，找到底数x，就是方根。 符号法：用符号或表示，再求方根。2、平方根与算术平方根：正数的平方根有两个，它们互为相反数，正数的算术平方根只有1个。 0的平方根或算术平方根都是0负数没有平方根和算术平方根。即只有在a0时才有意义。3、 立方根：正数、负数和0都有立方根，即有意义的条件是a为一切实数4、四类非负：a20，|a|
2、0，0，中a0，它们的最小值是05、方根的小数点移动规律：被开方数小数点：移2位，移3位，结果移1位6、三种题型：（1）若x2=a，则x=； 若x3=a，则x= （2）“0+0=0”模型：若非负+非负=0，则它们分别0 （3）立方根互为相反数，则被开方数互为相反数，即+=0，则a+b=0【经典例题】【类型1】文字叙述类例1、4的平方根是 ，2的算术平方根是 ，的立方根是 。解析：；=，则例2、 若x是16的平方根，8的立方根是y，则|x+y|的算术平方根是 。 解析：x=，y= | x+y|=|4+（2）|=2或6，则为或【类型2】符号表达类例3、 若x2=4，=3，则y-x的平方根是 。解：
3、由x2=4得：x=由=3得：y=9，则yx=9（2）=92或9+2=7或11，则yx的平方根为或【类型3】计算类：例4、 |1|+解：原式=1+ =1+=1+（）+2=【类型4】x2=a或x3=a例5、 求下列等式中的x的值：（1）2（x+5）218=0 （2）2x38=0解：2（x+5）2=18 解：2x3=8（x+5）2=9 x3=4两边变成平方解答（x+5）2=9 （x+5）2=（3）2 x+5= x=x+5=3x=35x=2或8【类型5】正数有两个互为相反数的平方根例6、若a+2与2a8是正数x的两个不同的平方根，则x= 。解：由题意得：a+2与2a8互为相反数 a+2+2a8=0，解
4、得：a=2 a+2=4，2a8=4，则x=（4）2 =16【类型6】非负数的性质例6、 当a= 时，2+3有最 值（填大或小），其值是 。解：的最小值是0，则a225=0，解得a=5 2的最小值是20=0 原式的最大值=32=30=3例7、 若（a+1）2+=0，则的平方根是 。解：由（a+1）2+=0得：（a+1）2,=0，=0，解得a=1，b=2=3，则它的平方根是【类型7】立方根互为相反数，则被开方数互为相反数例8、 若=0，那么x+y的值是 。 解：由=0得：x2y3与2x+y互为相反数 x2y3+2x+y=0，则3xy=3 x+y=（3xy）=1【类型8】小数点移动规律例9、 若=1
5、.8574，=5.8736，则（1） = ，= 。（2） =18.54，=0.5836，则的值是 。例10、 若=2.325，=5.008，则：（1） = 。（2） 若=50.08，=23.25，的值为 。【类型9】估算例11、 已知3+的整数部分是a，小数部分是b，求ab的值。解：，即23，则53+6a=5，b=3+5=2ab=5（2）=5+2=7例12、 ab，a、b为两个连续整数，求ab解：，即67 12，则a=1，b=2，则ab=1【类型10】应用题例13、 把体积为125cm3的大正方体锯成8块同样大小的小正方体（1） 求小正方体的棱长（2） 现有一张面积为36cm2的长方形木板，长是宽的4倍，若把以上的小正方体摆放在这张长方形木板上，且只摆放一层，问最多可以放几个小正方体？请说明理由。解：（1）设小正方体的棱长为xcm，得： 8x3=125 X3=，则x= （2）最多可以摆放4个，理由如下：设宽为acm，则长为4acm，得：a4a=36，则4a2=36解得a=3（负值舍去）长为12cm，宽为3cm122.5=4.8，32.5=1.2横着摆放4个，竖着摆放1个，共有41=4个此时2.524=25cm236cm2，符合题意答：（1）小正方体的棱长为2.5cm，（2）最多可以放4个小正方体，理由见以上解题过程。