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1、专题25全等三角形的存在性破解策略 全等三角形的存在性问题的解题策略有： （1）当有一个三角形固定时（三角形中所有边角为定值），另一个三角形会与这个固定的三角形有一个元素相等；再根据全等三角形的判定，利用三角函数的知识（画图）或列方程来求解 （2）当两个三角形都不固定时（三角形中有角或边为变量），若条件中有一条边对应相等时，就要使夹这条边的两个角对应相等，或其余两条边对应相等；若条件中有一个角对应相等时，就要使夹这个角的两边对应相等，或再找一个角和一条边对应相等例题讲解 例1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx4与x轴的一个交点为A（2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x3，对称轴与
2、x轴交于点B （1）求抛物线的表达式； （2）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得PBDPBC?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 （3）若点M在y轴的正半轴上，连结MA，过点M作MA的垂线，交抛物线的对称轴于点N问：是否存在点M，使以点M、A、N为顶点的三角形与BAN全等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 解：（1）由题意可列方程组 ， 解得 ， 所以抛物线的表达式为 （2）显然OA2， OB3， OC4 所以 若P BDPBC，则BD BC5，PDPC 所以D为抛物线与x轴的左交点或右交点，点B，P在CD的垂直平分线上，若点D为抛物线与 x轴的左交点，即与点A重
3、合 如图1，取AC的中点E，作直线BE交抛物线于P1（x1，y1），P2（x2y2）两点 此时P1BCP1BD，P2BCP2 BD 由A、C两点的坐标可得点E的坐标为（1，2）所以直线BE的表达式为 联立方程组，解得， 所以点P1，P2的坐标分别为（4一，）（4，） 若D为抛物线与x轴的右交点，则点D的坐标为（8，0） 如图2，取CD的中点F作直线BF交抛物线于P3（x3，y3），P4（x4，y4）两点 此时P3BCP3BD，P4BCP4 BD 由C、D两点的坐标可得点F的坐标为（4，2）， 所以直线BF的表达式为y2x6联立方程组，解得，所以点P3，P4的坐标分别为（1，82），（ 1，82
4、）， 综上可得，满足题意的点P的坐标为（4一，），（4，），（1，82）或（1，82） （3）由题意可设点M（0，m），N（3，n），且m0， 则AM24m2，MN29（mn）2，BN2n2 而AMNABN900， 所以AMN与ABN全等有两种可能： 当AMAB，MNBN时，可列方程组，解得；（舍）， 所以此时点M的坐标为（0，）当AMNB，MNBA时，可列方程组：解得，（舍）所以此时点M的坐标为（0，）综上可得，满足题意的点M的坐标为（0，）或（0，）例2 如图，在平面直角坐标系xoy中，ABO为等腰直角三角形，ABO 900，点A的坐标为（40），点B在第一象限若点D在线段BO上，OD 2
5、DB，点E，F在OAB的边上，且满足DOF与DEF全等，求点E的坐标 图1 图2解： 由题意可得OA4，从而OBAB所以ODOB，BDOB当点F在OA上时，（）若DFODFE，点E在OA上如图1此时DFOA，所以OFOD，所以OE2OF，即点E的坐标为（，0）（）若DFODFE，点F在AB上，如图2此时EDOD2BD，所以sinBED；所以BED300，从而BEBD，AE过点E作EGOA于点G则EGAGAE，所以OG，即点E的坐标为（，） 图3 图4（）若DFOFDE，点E在AB上，如图3 此时DEOA，所以BDBE 从而AEOD， 过点E作EGOA于点G， 则EGAGAE，所以OG，即点E的
6、坐标为（，）当点F在AB上时，只能有ODF AFD，如图4 此时DF0A且点E与点A重合， 即点E的坐标为（4，0） 综上可得，端足条件的点E的坐标为（，0），（，），（，）或（4，0）进阶训练 1如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与y轴变于点C直线l；与抛物线的对称轴交于点E连结CE，探究；抛物线上是否存在一点F，使得FOEFCE若存在，请写出点F坐标；若不存在，请说明理由答案：存在点F的坐标为（，4）或（，4）2 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与l2相交于点PE为直线l2上一点，反比例函数（k0）的
7、图象过点E且与直线l1相交干点F （1）若点E与点P重合，求k的值； （2）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M，E，F为顶点的三角形与PEF全等？若存在，求点E的坐标：若不存在，请说明理由 答案：（1）k2（2）存在点E的坐标为（，2）或（，2）【提示】（2）易得点E（，2），F（1，k）如图1，当k2时，只能有MEFPEF过点F作FHy轴于点H，易证BMEHFM，用k表示相关线段的长度，从而得到BM，再解RtBME，得k，所以点E的坐标为（，2）；如图2，当k2时，只能有MEFPFE 过点F作FQy轴于点Q，同可得点E的坐标为（，2）3如图，抛物线经过A（，0），B（，0），C（0，3）
8、三点，线段BC与抛物线的对称轴交干D，该抛物线的顶点为P，连结PA，AD线段AD与y轴相交于点E （1）求该抛物线的表达式； （2）在平面直角坐标系中是否存在一点Q使以Q，C，D为顶点的三角形与ADP全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由答案：（1）抛物线的表达式为（2）存在点Q的坐标为（，4），（，2），（，1）或（0，7）【提示】（2）方法一：易求直线BC：，从而点D的坐标为（，2），可得CDPD，所以QCD与ADP全等有两种情况设点Q坐标，通过两点间距离公式列出QC，QD，AP，AD的长再分类讨论列方程组，从而求得点Q点坐标方法二：连接CP，易证CDP为等边三角形，ADC60，所以PDA120QCD与ADP全等有两种情况，如图1，DCQ120，CQDA4，此时点Q1的坐标为（0，7），点Q2的坐标为（，1）；如图2，CDQ120，DQDA4，此时点Q3的坐标为（，2），点Q4的坐标为（，4）7