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1、专题二：平行四边形存在性问题探究专题导入来源:学科网导例： 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx22x3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P，A，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 图1说明：我们知道不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内另找一个点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形答案有三种，如图2，以AB为对角线的ACBD1，以AC为对角线的ABCD2，以BC为对角线的ABD3C图2方法点睛方法指引：解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步：寻找分类标准；第二步：画图；第三步：计算知识储备：来源:Z|xx|k.Com平行四边形顶点坐
2、标公式ABCD的顶点坐标分别为A(xA，yA) ，B(xB,yB)，C(xC,yC)，D(xD,yD)，则xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD证明： 如图3，连接AC，BD，相交于点E点E为AC的中点，E点坐标为(xA+xC2，yA+yC2)又点E为BD的中点，E点坐标为(xB+xD2，yB+yD2)xA+xC=xB+xD，yA+yC=yB+yD即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等【导例答案】P，A，C三点是确定的，过PAC的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D（如图4）D1(2, 7)，D2(4, 1)，D3(2, 1) 图3典例精讲
3、类型一：已知三个定点、一个动点，探究平行四边形的存在性问题例1 如图4，抛物线yx22x3与x轴的负半轴交于A点，与y轴交于C点，顶点是M，经过C，M两点作直线与x轴交于点N(1)直接写出点A，C，N的坐标(2)在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 图4分析 :(1)分别令_和_即可求得A，C两点的坐标，由抛物线的函数解析式即可求得顶点M的坐标，然后求出直线CM直线的函数解析式便可求得点N的坐标(2)根据能导例的方法，先求出使得以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形的点P的坐标，然后逐一代入抛物线的函数
4、解析式验证得符合条件的点P类型二：已知两个定点，探求限定条件下的另两个动点，使之构成平行四边形例2 如图5，矩形OABC在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA4，OC3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D(1)求抛物线的函数解析式(2)求点D的坐标(3)若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由 图5分析 ：(1)由OA的长度确定出点A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式_，将_的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线的函数
5、解析式(2)设直线AC的函数解析式为ykxb，将点A，C的坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC的函数解析式，与_联立即可求出点D的坐标(3)存在，分两种情况考虑：若AD为平行四边形的对角线，则有MD_，MD_；若AD为平行四边形的一边，则MN_，MN_，此时通过画图可知有两种情况专题过关1如图7，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于点A（4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H（1）求抛物线的函数解析式；（2）求点D的坐标；（3）点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，
6、使得以点D，P，MN为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由 图72 如图8，抛物线yax2bx3经过点A(2，3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC3OB(1)求抛物线的解析式(2)点D在y轴上，且BDOBAC，求点D的坐标(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由图83如图9，是将抛物线yx2平移后得到的抛物线，其对称轴为直线x1，与x轴的一个交点为A(1，0)，另一个交点为B，与y轴的交点为C(1)求抛物线的函数解析式(2)若
7、点N为抛物线上一点，且BCNC，求点N的坐标(3)点P是抛物线上一点，点Q是一次函数yx的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，则这样的点P，Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由图94 已知抛物线y=x22x+a(a0）与y轴相交于点A，顶点为M直线y=12xa分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线AM相交于点N(1)填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M( ), N( )；(2)如图10，将NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N恰好落在抛物线上，AN与x轴交于点D，连接CD，求a的值和四边形ADCN的面积；(3)在抛物线y=x2-2x+a(a0）上
8、是否存在一点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由5如图11，直线AB：y12x+2与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是第一象限内直线AB上一点，过点C作CDx轴于点D，且CD的长为72，P是x轴上的动点，N是直线AB上的动点（1）直接写出A，B两点的坐标；（2）如图11，若点M的坐标为（0，32），是否存在这样的P点使以O，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若有在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由（3）如图11，将直线AB绕点C逆时针旋转交y轴于点F，交x轴于点E，若旋转角即ACE45，求BFC的面积 图11 图11专题一答案
9、：例1 (1)A(1，0)，C(0，3)，N(3，0)(2)存在若AC为平行四边形的对角线，则点P的坐标为(2，3)；若AN为平行四边形的对角线，则点P的坐标为(4，3)；若CN为平行四边形的对角线，则点P的坐标为(2，3)把这三个点的坐标分别代入验证，得点P(2，3)在该抛物线上，因此存在符合条件的点P，点P的坐标为(2，3)类型二：已知两个定点，探求限定条件下的另两个动点，使之构成平行四边形例2 (1)设抛物线的顶点为E，根据题意，得E(2，3)设抛物线的函数解析式为ya(x2)23将(4，0)代入，得04a3，即a34抛物线的函数解析式为y34 (x2)2334x23x(2)设直线AC的
10、函数解析式为ykxb(k0)，将(4，0)，(0，3)代入，得4k+b=0，b=3，解得k=-34，b=3故直线AC的函数解析式为y34x3将直线AC的函数解析式与抛物线的函数解析式联立，来源:学_科_网得y34x3，y=34x23x解得x=1，y=94或x=4，y=0点D的坐标为(1，94)(3)存在，分两种情况考虑：若AD为平行四边形的对角线，则有MDAN，MDAN由对称性得到M1（3，94），即DM12，故AN12点N1的坐标为(2，0)如图1，若AD为平行四边形的一边，则MNAD，MNAD图1 当点M在x轴上方时，如图1所示由知AN22点N2的坐标为(6，0)当点M在x轴下方时，如图2
11、所示，过点D作DQx轴于点Q，过点M3作M3Px轴于点P，可得ADQN3M3P，图2M3PDQ94，N3PAQ3点M3的纵坐标为94将yM94代入抛物线的函数解析式，得9434x23x，解得xM27或xM27，xNxM371或71N3（-7-1,0），N4(71，0)综上所述，满足条件的点N有4个，N1(2，0)，N2(6，0)，N3(71，0)，N4(71，0)专题过关1（1）设抛物线解析式为y=a（x+4）（x2）把C（0，4）代入得4=a（0+4）（02）a=12抛物线解析式为：y=12（x+4）（x2）=12x2x+4（2）如图3，由（1）抛物线对称轴为直线x=1，线段BC的中垂线与对
12、称轴l交于点D，点D在对称轴上设点D坐标为（1，m）过点C做CGl于G，连接DC，DB DC=DB在RtDCG和RtDBH中，DC2=12+（4m）2，DB2=m2+（2+1）2，12+（4m）2=m2+（2+1）2解得：m=1点D坐标为（1，1）（3）存在，理由如下：当点P坐标为（13，0）时， 若DN和MP为平行四边形对边，则有DN=MP当x=13时，y=12（13）2-13+4=6518DN=MP=6518点N坐标为（1，8318）若MN，DP为平行四边形对边时，M，P点到ND距离相等，则点M横坐标为73则M纵坐标为12（-32）2-73+4=6518来源:学。科。网由平行四边形中心对称
13、性可知，点M到N的垂直距离等于点P到点D的垂直距离当点N在D点上方时，点N纵坐标为65181=4718此时点N坐标为（1，4718）当点N在x轴下方时，点N坐标为（1，4718）当点P坐标为（7，0）时，所求N点不存在故答案为：（1，8318），（1，4718），（1，4718）2 (1)令x0，由yax2bx3得y3，C(0，3) OC3又OC3OB，OB1B(1，0)把点B(1，0)和A(2，3)的坐标分别代入yax2bx3，得a-b-3=0，4a+2b-3=-3解得a=1，b=-2抛物线的解析式为yx22x3(2)如图4，过点B作BEx轴，交AC的延长线于点EBDOBAC，BODBEA9
14、0，RtBDORtBAEODOBAEBE，OD133OD1D点坐标为(0，1)或(0，1) 图4(3)存在如图5，M1(0，3)；M2(2，5)；M3(4，5) 图53(1)由题意，设抛物线的函数解析式为y(x1)2k，把(1，0)代入，得0(11)2k，解得k4，抛物线的函数解析式为y(x1)24x22x3(2)当x0时，y(01)243，点C的坐标是(0，3)，OC3点B的坐标是(3，0)，OB3OCOB，则OBC是等腰直角三角形，OCB45如图6，过点N作NHy轴，垂足为HNCB90，NCH45NHCH 图6HOOCCH3CH3NH设点N为(a，a22a3) a3a22a3解得a0(舍去
15、)或a1点N的坐标是(1，4) (3)四边形OAPQ是平行四边形，PQOA1，且PQOA来源:学科网ZXXK设P(t，t22t3)，则Q(t1，t22t3)将点Q(t1，t22t3)代入y32x32，得t22t332 (t1)32，整理得2t2t0，解得t10，t212，t22t3的值为3或154，P，Q的坐标分别是(0，3)，(1，3)或(12，154)，(32，154)4 (1)M(1，a1)，N(4a3，-a3)；(2)a=94；S四边形ADCN=18916；(3)由已知条件易得A(0,a)、C(0,-a)、N(4a3,-a3)设P(m,m2-2m+a)如图7.当以AC为对角线时，由平行
16、四边形顶点坐标公式，得：0+0=4a3+m，a-a=-13a+m2-2m+a.m=52a=-158.P1(52,-58)；当以AN为对角线时，得:0+4a3=0+m，a-13a=-a+m2-2m+a.m=52，a=158. (不合题意，舍去)当以CN为对角线时，得:0+4a3=0+m，-a-13a=a+m2-2m+a.m=-12，a=-38.P2(-12，78)在抛物线上存在点P1(52，-58)和P2(-12，78)，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形5（1）A（4，0），点B（0，2）；（2）设点P（x，0）若OM为边，则OMPN，OMPN点M的坐标为（0，32），OMx轴，O
17、M32PNx轴，PN32当y32时，则3212x+2x1当y32时，则3212x+2x7点P（1，0），点P（7，0）若OM为对角线，则OM与PN互相平分，点M的坐标为（0，-32），点O的坐标（0，0）OM的中点坐标（0，34）点P（x，0），点N（x，32）3212（x）+2x7点P（7，0）综上所述：点P（1，0）或（7，0）或（7，0）（3）CD72，即点C纵坐标为727212x+2x3点C（3，72）如图8，过点C作CGAB，交x轴于点G图8由CGAB，设直线CG解析式为y2x+b7223+bb192直线CG解析式为：y2x+192点G坐标为（194，0）点A（4，0），点B（0，2），OA4，OB2，AG354tanCAGBOAO=CGAC，CGAC=24=12ACF45，ACG90，ACFFCG45CGAC=EGAE=12，且AE+EG354AE356OEAEAO116点E坐标为（116，0）设直线CE解析式为：ymx+n72=3m+n，0=11m+n6.解得m3，n112 直线CE解析式为：y3x112当x0时，y112点F（0，112）BF2+112152SBFC121523454