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1、2005年全国高中数学联合竞赛试题（一）及参考答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1使关于的不等式有解的实数k的最大值是（ ）ABCD解：令，则实数k的最大值为选D.2空间四点A、B、C、D满足的取值（ ）A只有一个B有二个C有四个D有无穷多个解：注意到32+112=130=72+92，由于，则DA2=AB2+BC2+CD2+2（+=，即，只有一个值0，故选A.3ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延 长后分别交此圆于A1、B1、C1，则的值为（ ）A2B4C6D8解：如图，连BA1，则AA1=2sin(B+同理 原式=选A.4如图，ABCD为正方体，任作平面a与对角 线AC
2、垂直，使得a与正方体的每个面都有公共点， 记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则（ ）AS为定值，l不为定值BS不为定值，l为定值CS与l均为定值DS与l均不为定值解：将正方体切去两个正三棱锥AABD与C后，得到一个以平行平面ABD与为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱剪开，展平在一张平面上，得到一个 ，而多边形W的周界展开后便成为一条与平行的线段（如图中），显然，故l为定值.当E位于中点时，多边形W为正六边形，而当E移至A处时，W为正三角形，易知周长为定值l的正六边形与正三角形面积分别为，故S不为定
3、值.选B.5方程表示的曲线是（ ）A焦点在轴上的椭圆B焦点在轴上的双曲线C焦点在y轴上的椭圆D焦点在y轴上的双曲线解：，即，又，方程表示的曲线是椭圆.）（*） 即.曲线表示焦点在y轴上的椭圆，选C.6记集合T=0，1，2，3，4，5，6，M=，将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（ ）ABCD解：用表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以74，得，M中的最大数为66667=240010.在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是24002004=396，而39610=11047将此数除以74，便得M中的数.故选C.二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7将
4、关于的多项式表为关于y的多项式，其中，则.解：由题设知，和式中的各项构成首项为1，公比为的等比数列，由等比数列的求和公式，得：令，取有8已知是定义在（0，+）上的减函数，若成立，则的取值范围是解：在（0，+）上定义，又，仅当或时，在（0，+）上是减函数，结合（*）知.9设、满足，若对于任意，则解：设，即，又另一方面，当，有，记，由于三点构成单位圆上正三角形的三个顶点，其中心位于原点，显然有即10如图，四面体DABC的体积为，且满足ACB=45，AD+BC+，则CD=.解：，即又，等号当且仅当AD=BC=时成立，这时AB=1，AD面ABC，DC=.11若正方形ABCD的一条边在直线上，另外两个顶
5、点在抛物线上.则该正方形面积的最小值为 80 .解：设正方形的边AB在直线上，而位于抛物线上的两个顶点坐标C（）、D（），则CD所在直线l的方程，将直线l的方程与抛物线方程联立，得令正方形边长为a，则 在上任取一点（6，5），它到直线的距离为 、联立解得12如果自然数a的各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”，将所有“吉祥数”从小到大排成一列解：方程的非负整数解的个数为而使）的整数解个数为现取m=7，可知，k位“吉祥数”的个数为P（k）=.2005是形如2abc的数中最小的一个“吉祥数”，且P（1）=1，P（2）=7，P（3）=28，对于四位“吉祥数”1abc，其个数为满足a+b+c=6的非
6、负整数解个数，即=28个.2005是第1+7+28+28+1=65个“吉祥数”，即从而n=65，5n=325.又P（4）=，而从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是：70000，61000，60100，60010，60001，52000.第325个“吉祥数”是52000，即三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13数列满足：证明：（1）对任意为正整数；（2）对任意为完全平方数.证明：（1）由题设得且严格单调递增，将条件式变形得，两边平方整理得 得 由式及可知，对任意为正整数.10分（2）将两边配方，得。 记从而式成立.是完全平方数.20分14将编号为1，2，9的九个小球随机放置在圆周的九个等
7、分点上，每个等分点上各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S.求使S达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法）解：九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在圆周上的一个圆形排列，故共有8！种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的放法有种.5分下求使S达到最小值的放法数：在圆周上，从1到9有优弧与劣弧两条路径，对其中任一条路径，设是依次排列于这段弧上的小球号码，则上式取等号当且仅当，即每一弧段上的小球编号都是由1到9递增排列.因此S最小=28=16.10分由上知，当每个弧段上的球号1，9确定
8、之后，达到最小值的排序方案便唯一确定.在1，2，9中，除1与9外，剩下7个球号2，3，8，将它们分为两个子集，元素较少的一个子集共有种情况，每种情况对应着圆周上使S值达到最小的唯一排法，即有利事件总数是26种，故所求概率20分15过抛物线上的一点A（1，1）作抛物线的切线，分别交x轴于D，交y轴于B，点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足；点F在线段BC上，满足， 且=1，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的抛迹方程.解一：过抛物线上点A的切线斜率为切线A B的方程、D的坐标为B（0，1），D（，0），D是线段AB的中点.5分设P（、C）、E（、F（，则由知，;，得.EF所在直线方程为：，化简得10分当时，直线CD的方程为：联立、解得，消去，得P点轨迹方程为：.15分当时，EF方程为：，CD方程为：，联立解得也在P点轨迹上，因C与A不能重合，.所求轨迹方程为20分解二：由解一知，AB的方程为故D是AB的中点.5分令，则因AD为ABC的中线，而，P是ABC的重心.10分设P（、C），因点C异于A，则，故重心P的坐标为消去，得故所求轨迹方程为20分- 7 -