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1、带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的解题技巧湖北省恩施高中 陈恩谱带电粒子（质量m、电量q确定）在有界磁场中运动时，涉及的可能变化的参量有入射点、入射速度大小、入射方向、出射点、出射方向、磁感应强度大小、磁场方向等，其中磁感应强度大小与入射速度大小影响的都是轨道半径的大小，可归并为同一因素（以“入射速度大小”代表），磁场方向在一般问题中不改变，若改变，也只需将已讨论情况按反方向偏转再分析一下即可。在具体问题中，这五个参量一般都是已知两个，剩下其他参量不确定（但知道变化范围）或待定，按已知参数可将问题分为如下10类（），并可归并为6大类型。类型已知参量类型一入射点、入射方向；出射点、出射方向类型
2、二入射点、速度大小；出射点、速度大小类型三入射点、出射点类型四入射方向、出射方向类型五入射方向、速度大小；出射方向、速度大小；类型六入射点、出射方向；出射点，入射方向入射点入射方向入射速度大小出射点出射方向所有这些问题，其通用解法是：第一步，找准轨迹圆圆心可能的位置，第二步，按一定顺序尽可能多地作不同圆心对应的轨迹圆（一般至少5画个轨迹圆），第三步，根据所作的图和题设条件，找出临界轨迹圆，从而抓住解题的关键点。类型一：已知入射点和入射速度方向，但入射速度大小不确定（即轨道半径不确定）这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在过入射点、垂直入射速度的同一条直线上。【例1】如图所示，长为L的水平极板间有
3、垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为L，板不带电现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是A使粒子的速度vC使粒子的速度vD使粒子的速度v时粒子能从右边穿出粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O点，有 r2由 r2 ，得 v2 ，所以v0，0x0，xa的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B。在O点处有一小孔，一束质量为m、带电量为q（q0）的粒子沿x轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值已知速
4、度最大的粒子在0xa的区域中运动的时间之比为2：5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。图乙图甲a2a2aa【分析】粒子在0xa的区域，由对称性可知，粒子在xa的区域内的轨迹圆圆心均在在x=2a直线上，在x=2a直线上取不同点为圆心，半径由小取到大，可作出一系列圆（如图乙），其中轨迹圆为半径最小的情况，轨迹圆为题目所要求的速度最大的粒子的轨迹。 【答案】竖直屏上发亮的范围从0到2a，水平屏上发亮的范围从2a到【解答】 粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中运动半径为： x 速度小的粒子将在xa的区
5、域走完半圆，射到竖直屏上。半圆的直径在y轴上，半径的范围从0到a，屏上发亮的范围从0到2a。 轨道半径大于a的粒子开始进入右侧磁场，考虑r=a的极限情况，这种粒子在右侧的圆轨迹与x轴在D点相切（虚线），OD=2a，这是水平屏上发亮范围的左边界。 速度最大的粒子的轨迹如图中实线所示，它由两段圆弧组成，圆心分别为C和，C在y轴上，有对称性可知在x=2a直线上。 设t1为粒子在0xa的区域中运动的时间，由题意可知 ，由此解得： 由式和对称性可得 所以 即弧长NP为1/4圆周。因此，圆心在x轴上。 设速度为最大值粒子的轨道半径为R，有直角可得 由图可知OP=2a+R，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐
6、标 【易错提醒】本题容易把握不住隐含条件所有在xa的区域内的轨迹圆圆心均在在x=2a直线上，从而造成在xa的区域内的作图困难；另一方面，在xa的区域内作轨迹圆时，半径未从轨迹圆半径开始取值，致使轨迹圆未作出，从而将水平荧光屏发亮范围的左边界坐标确定为x=a。类型二：已知入射点和入射速度大小（即轨道半径大小），但入射速度方向不确定这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆”上所谓“圆心圆”，是指以入射点为圆心，以为半径的圆。【例2】如图所示，在0xa、0y范围内有垂直手xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，
7、它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的 (1)速度的大小；(2)速度方向与y轴正方向夹角的正弦。【分析】本题给定的情形是粒子轨道半径r大小确定但初速度方向不确定，所有粒子的轨迹圆都要经过入射点O，入射点O到任一圆心的距离均为r，故所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆”以入射点O为圆心、r为半径的圆周上（如图甲）。考虑到粒子是向右偏转，我们从最左边的轨迹圆画起取“圆心圆”上不同点为圆心、r为
8、半径作出一系列圆，如图乙所示；其中，轨迹对应弦长大于轨迹对应弦长半径一定、圆心角都较小时（均小于180），弦长越长，圆心角越大，粒子在磁场中运动时间越长故轨迹对应圆心角为90。图乙图甲【答案】【解答】设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，根据牛顿第二定律和洛伦兹力得：OyxCRDAaPv，解得： 当a/2Ra时，在磁场中运动的时间最长的粒子，其轨迹是圆心为C的圆弧，圆弧与磁场的边界相切，如图所示，设该粒子在磁场中运动的时间为t，依题意，t=T/4时，OCA=/2设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为，由几何关系得：，且 解得：【易错提醒】由于作图不仔细而把握不住“轨迹
9、对应弦长大于轨迹对应弦长半径一定、圆心角都较小时（均小于180），弦长越长，圆心角越大，粒子在磁场中运动时间越长”，从而误认为轨迹对应粒子在磁场中运动时间最长。这类题作图要讲一个小技巧按粒子偏转方向移动圆心作图。pabcdO【练习2】如图所示，在正方形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场。在t=0时刻，一位于ad边中点O的粒子源在abcd平面内发射出大量的同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与Od边的夹角分布在0180范围内。已知沿Od方向发射的粒子在t=t0时刻刚好从磁场边界cd上的p点离开磁场，粒子在磁场中做圆周运动的半径恰好等于正方形边长L，粒子重力不计
10、，求：（1）粒子的比荷q/m；（2）假设粒子源发射的粒子在0180范围内均匀分布，此时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比；O3pabcdOpabcdO图甲图乙O1O2O4（3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。【分析】以L为半径、O点为圆心作“圆心圆”（如图甲）；由于粒子逆时针偏转，从最下面的轨迹开始画起（轨迹），在“圆心圆”取不同点为圆心、以L为半径作出一系列圆（如图乙）；其中轨迹与轨迹对称，在磁场中运动时间相同；轨迹并不经过c点，轨迹对应弦长短于轨迹对应弦长即沿轨迹运动的粒子最后离开磁场。【答案】，5/6 ，【解答】（1）初速度沿Od方向发射的粒子在磁场中运动的轨迹如图，
11、其园心为n，由几何关系有： , 粒子做圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，根据牛顿第二定律得，得 (2)依题意，同一时刻仍在磁场中的粒子到O点距离相等。在t0时刻仍在磁场中的粒子应位于以O为园心，Op为半径的弧pw上。由图知 此时刻仍在磁场中的粒子数与总粒子数之比为5/6 （3）在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应该与磁场边界b点相交，设此粒子运动轨迹对应的圆心角为，则 在磁场中运动的最长时间 所以从粒子发射到全部离开所用时间为。 【易错提醒】本题因作图不认真易错误地认为轨迹经过c点，认为轨迹对应弦长等于轨迹对应弦长，于是将轨迹对应粒子作为在磁场中运动时间最长的粒子进行计算；虽然计算出来结果正确，但
12、依据错误。类型三：已知入射点和出射点，但未知初速度大小（即未知半径大小）和方向这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在入射点和出射点连线的中垂线上。【例3】如图所示，无重力空间中有一恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy平面向外，大小为B，沿x轴放置一个垂直于xOy平面的较大的荧光屏，P点位于荧光屏上，在y轴上的A点放置一放射源，可以不断地沿平面内的不同方向以大小不等的速度放射出质量为m、电荷量+q的同种粒子，这些粒子打到荧光屏上能在屏上形成一条亮线，P点处在亮线上，已知OAOPl，求：（1）若能打到P点，则粒子速度的最小值为多少？（2）若能打到P点，则粒子在磁场中运动的最长时间为多少？【分
13、析】粒子既经过A点又经过P点，因此AP连线为粒子轨迹圆的一条弦，圆心必在该弦的中垂线OM上（如图甲）。在OM上取不同点为圆心、以圆心和A点连线长度为半径由小到大作出一系列圆（如图乙），其中轨迹对应半径最小，而轨迹对应粒子是O1点上方轨道半径最大的，由图可知其对应圆心角也最大。O2O1O1图甲图乙MM【答案】（1）v， （2）【解答】（1）粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，设粒子的速度大小为v时，其在磁场中的运动半径为R，则由牛顿第二定律有：qBvmx若粒子以最小的速度到达P点时，其轨迹一定是以AP为直径的圆（如图中圆O1所示）由几何关系知：sAP=R则粒子的最小速度v（2）粒子在磁场中的运
14、动周期T设粒子在磁场中运动时其轨迹所对应的圆心角为，则粒子在磁场中的运动时间为：由图可知，在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹如图中圆O2所示，此时粒子的初速度方向竖直向上，则由几何关系有：PMNOP则粒子在磁场中运动的最长时间：【练习3】图中虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线.在平面右侧的半空间存在一磁感强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向外，O是MN上的一点，从O点可以向磁场区域发射电量为+q，质量为m，速率为v的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向，已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇.P到O的距离为L，不计重力及粒子间的相互作用.(1)求所考察的粒子在磁场中的轨道
15、半径.(2)求这两个粒子从O点射入磁场的时间间隔.【分析】如图甲，作OP连线中垂线，然后在中垂线上取关于C对称的两点O1、O2为圆心过O、P作出两个轨迹圆，如图乙所示。保留相遇前轨迹如图丙所示。【答案】（1，（2） MMNOPPMOOPPP图乙图甲NN图丙CCCO1O2O1O2【解答】（1）设粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律得，则（2）如图所示，以OP为弦可以画两个半径相同的圆，分别表示在P点相遇的两个粒子的轨迹。圆心分别为O1、O2，过O点的直径分别为OO1Q1、OO2Q2，在O点处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向，用表示它们之间的夹角。由几何关系可知，从O点射入到
16、相遇，粒子1的路程为半个圆周加弧长Q1P=R，粒子2的路程为半个圆周减弧长PQ2=R粒子1的运动时间为 ，其中T为圆周运动的周期。粒子2运动的时间为 两粒子射入的时间间隔为 因为 所以 有上述算式可解得 类型四：已知初、末速度的方向（所在直线），但未知初速度大小（即未知轨道半径大小）30oyvLOPx这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在初、末速度延长线形成的角的角平分线上。【例4】在xOy平面上的某圆形区域内，存在一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一个质量为m、带电量为+q的带电粒子，由原点O开始沿x正方向运动，进入该磁场区域后又射出该磁场；后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方
17、向与y轴的夹角为30（如图所示），已知P到O的距离为L，不计重力的影响。（1）若磁场区域的大小可根据需要而改变，试求粒子速度的最大可能值；（2）若粒子速度大小为，试求该圆形磁场区域的最小面积。30oyvLOPQCA图甲xPLOyv30oQCA图乙x【分析】初、末速度所在直线必定与粒子的轨迹圆相切，轨迹圆圆心到两条直线的距离（即轨道半径）相等，因此，圆心必位于初、末速度延长线形成的角的角平分线QC上（如图甲）；在角平分线QC上取不同的点为圆心，由小到大作出一系列轨迹圆（如图乙），其中以C点为圆心轨迹是可能的轨迹圆中半径最大的，其对应的粒子速度也最大。【解答】过P点作末速度所在直线，交x轴于Q点，
18、经分析可知，粒子在磁场中作圆周运动的轨迹的圆心必在的角平分线QC上，如图甲所示。设粒子在磁场中作匀速圆周运动的轨道半径为r，则由牛顿第图丙Ly30ovOQCAPx二定律，有 则 由此可知粒子速度越大，其轨道半径越大，由图乙可知，速度最大的粒子在磁场中运动轨迹的圆心是y轴上的C点。（1）如图丙所示，速度最大时粒子的轨迹圆过O点、且与PQ相切于A点。由几何关系有 ，Py30oxLO图丁AvCQDE可得 由、求得 （2）将代入式，可得，粒子的运动轨迹是如图丁所示的轨迹圆，该轨迹圆与x轴相切于D点、与PQ相切于E点。连接DE，由几何关系可知由于D点、E点必须在磁场内，即线段DE在磁场内，故可知磁场面积
19、最小时必定是以DE为直径（如图丁中所示）。即面积最小的磁场半径为 则磁场的最小面积为 【练习4】如图所示，xOy平面内存在着沿y轴正方向的匀强电场一个质量为m，带电荷量为q的粒子从坐标原点O以速度v0沿x轴正方向开始运动当它经过图中虚线上的M(2a，a)点时，撤去电场，粒子继续运动一段时间后进入一个矩形匀强磁场区域(图中未画出)，又从虚线上的某一位置N处沿y轴负方向运动并再次经过M点已知磁场方向垂直xOy平面(纸面)向里，磁感应强度大小为B，不计粒子的重力，试求：(1)电场强度的大小；(2)N点的坐标；(3)矩形磁场的最小面积【分析】粒子在电场中偏转后进入MN右侧，初速度方向已知，另一方面，粒
20、子末速度由N指向M。初速度、末速度所在直线交于点M，过M点作角平分线MO，粒子轨迹圆的圆心必在直线MO上。取其上一点O为圆心作出轨迹圆（如图所示）。【答案】 【解答】 粒子从O到M做类平抛运动，设时间为t，则有 得 设粒子运动到M点时速度为v，与x方向的夹角为，则 ， 即 由题意知，粒子从P点进入磁场，从N点离开磁场，粒子在磁场中以O点为圆心做匀速圆周运动，设半径为R，则 解得粒子做圆周运动的半径为 由几何关系知， 所以N点的纵坐标为 横坐标为 当矩形磁场为图示虚线矩形时的面积最小。则矩形的两个边长分别为 所以矩形磁场的最小面积为 类型五：已知初速度的大小（即已知轨道半径大小）和方向，但入射点
21、不确定这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在将入射点组成的边界沿垂直入射速度方向平移一个半径距离的曲线上。【例5】如图所示，长方形abcd的长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆心eb为半径的圆弧和以O为圆心Od为半径的圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(eb边界上无磁场)磁感应强度B=0.25T。一群不计重力、质量m=310-7kg、电荷量q=+210-3C的带正电粒子以速度v=5l02m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射入磁场区域，则下列判断正确的是（ ）A. 从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边B. 从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边
22、C. 从Od边射入的粒子，出射点分布在ab边D. 从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点【分析】所有进入磁场的粒子的入射点均在dOb线上，将该曲线垂直速度向上平移一个半径后得到曲线Oaf，此即所有粒子在磁场中做圆周运动的圆心所在曲线，在该曲线上从下到上取点作为圆心、为半径作一系列轨迹圆，其中为从d点射入粒子的轨迹（圆心在O点），为从O点射入粒子的轨迹（圆心在a点），为从a点射入粒子的轨迹，从d、O之间入射粒子在磁场中转过1/4圆周后沿eb边界作直线运动最终汇聚于b点，从O、a之间入射粒子先作直线运动再进入磁场做圆周运动，由作图易知这些粒子也汇聚于b点。fff【答案】D【练习5】如图所示，在xO
23、y平面内有一半径为R、与x轴相切于原点的圆形区域，该区域内有垂直于xOy平面的匀强磁场。在圆的左边0y0)和初速度v的带电微粒沿x轴正方向射向该区域，其中沿半径AO方向进入磁场区域的带电微粒经磁场偏转后，从坐标原点O沿y轴负方向离开。(1)求磁感应强度B的大小和方向。(2)请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由。CDCD【分析】（1）从A点进入磁场区域的微粒轨迹圆心在A点正下方相距R的C处，微粒轨迹如图所示，可知微粒轨迹半径为；（2）所有这些微粒进入磁场后做圆周运动的圆心均在如图所示半圆虚线OCD上，在该曲线上由上到下取点作为圆心、以R为半径作一系列轨迹圆，易由图可知这些微粒均与x轴相
24、交于原点因为圆心所在曲线半圆OCD的圆心是原点O。【答案】(1)，方向垂直xOy平面向外；（2）这束微粒均与x轴相交于原点。类型六：已知初速度方向（所在直线）和出射点，但入射点不确定这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在“以初速度所在直线为准线、出射点为焦点的抛物线”上。【例6】如图所示，现有一质量为m、电量为e的电子从y轴上的P（0，a）点以初速度v0平行于x轴射出，在y轴右侧某一圆形区域加一垂直于xoy平面向里匀强磁场，磁感应强度大小为B. 为了使电子能从x轴上的Q（b，0）点射出磁场。试求满足条件的磁场的最小面积，并求出该磁场圆圆心的坐标。【分析】本题中，电子初速度所在直线已知，电子进入磁场的入射点在该直线上，则可知电子在磁场中作圆周运动的轨迹圆与该直线相切、且经过Q点，所以电子轨迹圆圆心到该直线和到Q点的距离相等，即电子轨迹圆圆心在以该直线为准线、Q点为焦点的抛物线上。在该抛物线上从左向右去不同点为圆心，做出一些列轨迹圆，可以看出所有这些轨迹中轨迹所需圆形磁场的直径最小。【答案】，（b,）