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1、-向量的分解与坐标运算-第 5 页5.2向量的分解与坐标运算 【考纲解读】1.了解平面向量的基本定理及其意义。2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。3.会用坐标表示平面向量的加法、减法、与数乘运算。4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件。【知识梳理】1.平面向量基本定理：如果和是平面内的两个不平行的向量，那么该平面内任一向量，存在唯一的一对实数，使 ，把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组 ，记为 ， 把 叫做向量关于基底，的分解式。2.如果基底的两个向量，互相垂直，则称这个基底为 ，在正交基底下分解向量，叫做 。3.设，为平面直角坐标系内的正交基底，由平面向量基本定理，对于平面上的
2、一个向量，有且只有一对实数，使得=+。我们把有序数对（，）叫做向量 ，记作 ， 叫在轴上的坐标， 叫在轴上的坐标。把 叫做向量的坐标表示。4.向量的直角坐标运算：设=（，），=（，）则+= ，-= ，= 。5.向量共线：设=（，），=（，），向量 6.直线的向量参数方程式：已知A、B是直线上任意两点，O是外一点，对直线上任一点P，存在实数t，使关于基底，的分解式为： （），并且满足（）式的点P一定在上，我们把（）式叫做直线 的向量参数方程式；当t=时，点P是AB的中点，则 上式称为线段AB的中点的向量表达式。【基础自测】1.下列各组向量中能作为基底的是 （ ）A =（0，0）、=（2，-1）
3、B. =（-2，1）、=（5，7） C =（5，3）、=（10，6） D. =（2，-3）、=（，） 2.已知，是两个不共线的向量，与共线或与共线的充要条件是 （ ）A =0 B. =0 C. =0 D. =03. 设非零向量不共线，且与共线，则k的值是（ ）A. 1 B. -1 C. 1 D. 0 4.已知向量=（1，-3），=（2，-1），若点A、B、C能构成三角形，则实数应满足的条件是 （ ）A-2 B. C. 1 D. -15.已知向量=（-2，5）的起点为（1，2），则它的终点坐标为 。6. 已知轴的正方向与的方向的夹角为60o，且=4，则的坐标为 。 【精讲点拨】CBAOACO例1
4、.如图：已知=，=，求证：存在不全为零的实数，当=,且=0时，A，B，C三点共线例2.平面内给定三个向量 =（3，2），=（-1，2），=（4，1）。则：求满足= m+ n的实数m，n的值；若（+k）（2-），求实数k；设=（x，y）满足（-）（+）且|-|=1，求。BDOMAC例3.在ABC中，AD与BC交于点M，设=，=，以 为基底表示例4.已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10），若，试求为何值时，点P在第三象限内？【能力提升】1下列命题：（1）若则；（2）若为单位向量，与平行，则=；（3）设=+（），则与共线时，与也共线。其中真命题有 （ ）A. 0 B. 1 C. 2 D.
5、32. 若=(2,3), =(4,-1+y)，且，则y = （ ）A. 6 B.5 C.7 D.83. 若=+2, =(3-x) +(4-y) (其中、的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x、y的值可能分别为（ ）A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，44.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（3，1），B（-1，3），若点C满足，其中，且=1，则点C的轨迹方程为（ ） A.3x+2y-11=0 B.(x-1)2+(y-2)2=5 C.2x-y=0 D.x+2y-5=05成立的充要条件是 6，是两不共线的向量，且= 2 + k，= + 3，= 2- ，若A，B，D
6、三点共线，则k=_。7（2009广东理）若平面向量, 满足=1，平行于轴， =(2,-1)则= 。8.已知点A(1,-2)，若向量与=(2,3)同向，=2，则点B的坐标是 。【总结反思】【当堂检测】1.若A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线，则x的值为（ ）A.-3 B.-1 C.1 D.32（2009广东文）已知平面向量=（），=（），则向量（ ）A平行于y轴 B平行于第一、三象限的角平分线 C平行于轴 D平行于第二、四象限的角平分线3（2009宁夏海南卷文）已知=（），=（），向量+与-2垂直，则实数的值为 （ ）A B C D4.若向量=(-1,x)与=(-x, 2)共线且方向相同，则x= 。5. （2009辽宁卷文）在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边ABDC,ADBC,已知点A(2，0)，B（6，8），C(8,6),则D点的坐标为_.本资料由七彩教育网 提供！本资料来源于七彩教育网