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1、课外补习专用专题二 三角函数与解三角形【高考考场实情】三角函数是高中数学的重要内容，也是高考考查的重要内容之一三角函数在高考考查中一般有两种情形：其一，三道选择、填空题，共15分；其二，一道选择、填空题和一道解答题，共2道题，分值为17分高考对这一部分的考查难度相对稳定，只考选择、填空题时, 常有一道稍难题；解答题必在第17题位置，难度适中【考查重点难点】高考对三角函数的考查重点是基本概念、基本公式的理解和应用以及运算求解能力，侧重考查任意角三角函数概念和正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，突出考查形如的图象与性质，考查两角和与差的三角函数公式及简单的三角恒等变换，重点考查正弦定理和余弦
2、定理及其应用下面对学生存在的主要问题进行剖析，并提出相应的教学对策【存在问题分析】（一）概念理解不透彻【指点迷津】本专题中，概念理解不透彻主要表现在三角函数的定义、诱导公式；三角函数的复合变换和三角函数的性质（周期性、单调性、对称性）等。【例1】（2016年课标卷理7）若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）A B C D【名师点睛】本题有两个考查重点，即三角函数的复合变换和三角函数的性质三角函数的复合变换和三角函数的几何性质（对称轴方程，对称点坐标等）是考生的易错点，比如，考生比较容易将平移以后的解析式写为，或者将对称轴方程写为等在解决问题时，只有深刻地理解三角函数图象
3、的平移变换和三角函数图象的性质，提高应用所学三角函数知识进行运算的能力，才能正确地判断三角函数图象经平移以后的图象的对称轴方程（二）整体意识较薄弱【指点迷津】在三角函数专题中，常常出现三角求值问题在求值过程中，整体意识薄弱，不能合理运用有关公式进行恒等变形，是导致失分的主要原因，主要包括：找不准已知式与待求式之间的差别与联系，无法将角进行合理的拆分；对角的结构特征分析不透，不能从整体的意识上去分析和思考问题等【例2】（2016年课标卷理9）若，则A B C D【名师点睛】面对这样的给值求值问题，学生整体的意识不强，没有发现已知式的角与待求式的角的联系；利用两角差的公式，将展开得到后，没有注意所
4、求式与它的联系，导致问题复杂化其实“从角的关系出发分析问题”与“从（同角）三角函数值的代数运算关系出发分析问题”，是我们在解决同类问题时最常用的两种途径（三）恒等变形欠灵活【指点迷津】化归与转化思想是三角恒等变形的主导思想在三角恒等变形中，学生存在的主要问题是对已知式中角的差异、函数名称的差异、式子结构的差异等分析不到位，识别、选择、应用三角公式解决问题的能力不强，致使三角恒等变形转化不准确，造成后续求解繁琐或错误。【例3】（2016年课标卷理5）若，则 A B C 1 D 【解析】思路1： 对所求式子作等价变形：，再将代入，可求得选A思路2 ：将所求的式子等价变形为，由，可知，可得，所以选A
5、思路3：由，可知，则，将，代入，可得选A【名师点睛】在本题的解答中，学生存在的主要问题是不能快速地识别、选择、应用三角公式，如面对待求式，不会巧妙地利用，将待求式恒等变形为；将待求式化为之后，无法从求出它的值。三角恒等变形的实质是消除两个式子的差异，认真观察、比较已知条件与待求式子之间的联系，选择适当途径，将已知式与待求式化异为同，从而达到解题的目的（四）形数结合不灵巧【指点迷津】在本专题中，形数结合不灵巧主要表现在：对三角函数的图象与性质（周期性、单调性与对称性）的掌握情况不理想；对三角概念及三角函数三种表征的理解与变换不透彻；对三角函数的数形结合思想的运用以及基于三角函数的逻辑推理能力不强
6、，尤其是识图、用图能力及利用三角公式进行三角恒变形的能力不强 【例4】（2016年课标卷文6）将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为A B C D【解析】思路1： 求出给定三角函数的最小正周期，依据函数图象平移的一般方法，把已知函数图象平移因为的最小正周期为，所以的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为，即，选D思路2 ：根据给定三角函数的特殊点，确定平移后的三角函数的初始相位在已知函数的图象中找到一点，点向右平移个单位长度后为点由于三角函数图象的平移不改变原来三角函数的振幅、周期，假设平移后的三角函数为，则，故可取，即平移后的函数为，选D【名师点睛】本题看似简单，但答题仍
7、存在如下问题：审题不细致，本题用给定函数的周期作为图象平移的条件，也就是将函数的图象向右平移个单位长度，但学生却误认为是个单位长度，致使结果不正确；概念不清晰，对三角函数三种表征的理解与变换不熟练，如平移后的函数解析式表示为，或表示为本题用给定函数的周期作为图象平移的条件，是将函数周期性的代数表示转化为函数周期性的几何表示，其实质就是将满足的函数，将其图象沿轴方向平移个单位长度后，判断其图象与的图象是哪种关系函数的图象的平移和伸缩变换，以及根据图象确定问题是高考的热点，题型大多是选择题或填空题，在这类问题中，考生要熟练掌握三角函数的图象与性质（周期性、单调性与对称性），建立三角函数的解析式表征
8、与图象表征之间的关联 （五）定理应用欠思考【指点迷津】本专题的显著特点就是公式多、定理多学生对相关的概念、公式理解掌握不到位，导致解决相应的问题时，思维不顺畅，定理应用欠思考，如在应用诱导公式解三角函数问题时，常出现公式记忆不准确，不注意角的范围和象限等；在解决有关的问题时，不能准确应用有关的三角函数性质，不注意所给的角或者参数的范围；在三角恒等变形中，选用公式不合理或转化不准确，造成后续求解繁琐或错误；在解决三角形问题时，忘记或不会应用三角形中的隐含条件，求边、角时忽略其范围，不能熟练掌握正、余定理的几种常见变形等，这些都是造成失分的主要原因。【例5】（2016年课标卷文15）的内角的对边分
9、别为，若，则 【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系，两角和与差的三角变换公式以及解三角形的基本方法思路2与思路1的解题方法相比，虽然最终也可以求得正确结果，但所涉及的知识更多，计算量更大，且在求得或后，易忽略根据三角形边角关系舍去增根这一步骤由此可见，根据已知信息识别与设计合理的解决问题的途径，是解决问题的关键（六）知识交汇不顺畅【指点迷津】本专题的知识内容较多，高考对本专题的考查常常将众多知识进行交汇如在诱导公式和同角三角函数关系的考查中，常与三角函数式求值、化简，和差公式及倍角公式等综合进行，容易产生错误；在研究函数问题时，不仅关注解析式及其图象，还关注周期性、对称性、
10、单调性及最值等，综合度较大，要求较高，学生常因考虑不周而失分不仅如此，高考对本专题的考查，还常将三角函数与指数函数、对数函数、幂函数等进行交汇，考查函数的相关问题，综合性强，学生不容易得分 【例6】（2016年课标卷文12）若函数在上单调递增，则的取值范围是A B C D思路2： 函数在上单调递增，等价于当时，由题设可得，当，即时，取或，可知当时，不恒成立；当，即时，由于当时，故当时，等价于当时，可得选C思路3：函数在上单调递增，等价于当时，由题设可得当时，；当时，等价于由于在为增函数，在的最大值为，故；当时，等价于由于在为增函数，在的最小值为，故，综上可得选C【名师点睛】本题精心构造函数，使
11、得的研究可以化为一个二次函数的研究虽然问题情境非常熟悉，但涉及的是含参数的恒成立问题，所考查的知识内容多、要求高，不论采用何种思路，综合性都很强，而且运算量也不小，对学生在矩时间内完成该问题，是不小的考验细节决定成败，细微之处见真功，只有我们扎扎实实搞好每一个章节的复习，让知识复习做到全覆盖，才能突破思维障碍，在高考中取得好成绩【解决问题对策】（一）重温概念的来龙去脉，理清知识网络，切实掌握三角函数的概念与性质【指点迷津】高考对三角函数的考查，尤其是选择题、填空题对三角函数的考查，往往以三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数关系式、和差倍角公式等作为出发点，考查三角函数的求值问题；以三角函数的
12、图象与性质为载体，考查三角函数的解析式、周期性、单调性、对称性、最值等复习过程中，要关注三角函数的定义，以此为基础掌握同角公式、诱导公式、和差倍角公式；要关注正弦函数、余弦函数和正切函数的图象的重要性，它们都是重要的解题辅助工具；要关注思想方法的渗透，特别是化归与转化思想，它是三角恒等变形的主导思想【例】（2013年课标卷理15）设当时，函数取得最大值，则 思路2：由题设当时，函数取得最大值，所以，则，所以，即，解得思路3： ，依题设得，即，又，解得或当时，；当时，故满足题设的是思路4： ，依题设得，即，又，所以（二）强化三角函数公式的记忆，关注公式的正用、逆用与公式的变形，提高三角函数求值和
13、三角恒等变换问题的解题能力【指点迷津】理清三角函数求值的常见类型，特别是给角求值、给值求值问题给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相消，从而化为特殊角的三角函数；给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用，同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的【例8】（2016年课标卷文6）若，则A B C D【解析】本题考查了同角三角函数关系、倍角公式等基本知识由，可知，即，又由，解得，由此可选择余弦函数二倍角公式的任一种形式解决问题，如，选D【名师点睛】三角恒等变换是高考对三角函数考查
14、的重点内容在三角恒等变换中，一要熟悉公式正用、逆用，也要注意公式的变形，如，等；二要注意拆角、拼角的方法和技巧，如，等；三要关注常用的解题思路，如“1”的代换、“正切为弦”、“化异为同”等三角恒等变换的核心是角的变化，注意角的变化，灵活地选用三角公式是正确进行三角恒等变换的关键【例9】（2016课标卷文14）已知是第四象限角，且，则 思路3：思路4：展开求出，运用两角和的正切公式因为，所以，因为是第四象限角，所以，解得，所以，故思路5： 运用两角和的正弦公式求出，再运用两角和的正切公式因为，是第四象限角，所以，从而 ，所以，故（三）重视函数三种表征的理解和应用【指点迷津】加强函数图象与性质的研
15、究突破三角函数图象与性质问题的关键是识图、用图能力的形成以及利用三角公式进行三角恒等变换能力的培养高考复习中，要重视对正弦型三角函数概念及正弦型三角函数三种表征的理解与转换；重视对三角函数的数形结合思想的应用；重视基于三角函数的逻辑推理能力及运算求解能力的培养【例10】（2016年课标卷理12）已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为A11 B9 C7 D5【解析】思路1 由正弦型三角函数的单调性推出满足的关系因为在单调，所以区间不能包含函数的最值点，即，化简得因为为的零点，为图象的对称轴，所以因此可得又，故或当时，而且，可得的可能值为1，5，9；当时，而且，可得的可能值为3
16、，7，11验证有一个最值点，不满足题设；验证满足题设，故选B思路：由正弦型三角函数的零点及对称轴分析与满足的条件因为为的零点，为图象的对称轴，所以因此可得，又，故或因为在单调，所以区间不能包含函数的最值点，即，化简得当时，的可能值为1，5，9；当时，的可能值为3，7，11验证有一个最值点，不满足题设；验证满足题设，故选B思路：画出的示意图如下：根据函数示意图，因为因为在单调，因为为的零点，为图象的对称轴，所以因此可得，又，故或当时，的可能值为1，5，9；当时，的可能值为3，7，11验证有一个最值点，不满足题设；验证满足题设，故选B【名师点评】在得到与的范围后，容易把作为的最大值，这个错误的原因
17、是在由零点与最值点推导与的过程，产生了增根，因此需要验证由三角函数值的关系诱导的等式关系，往往产生增根，这是三角函数的基本性质（周期性）导致的（四）强化正、余弦定理的合理应用，理清量与量之间的关系【指点迷津】在解决三角形问题时，要高度关注：充分挖掘三角形中的隐含条件；熟练掌握正、余定理及几种变形，合理选用公式；利用正、余弦定理求边角时，尤其要关注其范围的确定【例11】（2017年课标卷理17）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为（1）求；（2）若，求的周长由余弦定理，可以得到，所以，因此，则，则的周长思路2：（1）因为的面积为，所以，即，由正弦定理得 ，所以（2）因为，所以，即
18、，又，所以，则，则因为，所以，又，所以，由正弦定理得，则的周长（五）重视知识的交融交汇，切实提高综合运用三角知识解决问题的能力【指点迷津】从高考对三角函数考查的试题来看，每一个试题都考查多个的知识点，如以三角求值为载体，综合考查三角函数的定义、同角三角函数关系、诱导公式、三角恒等变换等基础知识和基本方法；以函数为依托，考查三角函数的三种表征，考查三角函数的周期性、单调性、对称性、最值等基础知识和基本方法内容高考复习中，要关注三角函数知识脉络，重视知识的交融交汇，既要重视三角函数间的知识交汇，也要重视三角函数与其他知识领域的交汇，如三角函数与平面向量、三角函数与平面几何、三角函数与指对数函数等知
19、识的交融交汇等，让学生在原有的基础上有新的收获【例12】（2015年课标卷文17） 中，D是BC上的点，AD平分BAC，（1）求 ；（2）若，求【解析】（1）思路1：由正弦定理得,，因为AD平分BAC，所以思路2：如图，作，垂足分别为，则，由AD平分BAC，得，又，所以思路3： 由正弦定理得和之间的关系，进而由余弦定理得和之间的关系由（1）和正弦定理得由余弦定理得，于是，即是直角三角形，所以思路4： 取的中点，连接，则可证明是等边三角形，是等腰三角形由（1）和正弦定理得，如图，取的中点，连接，则，因为，所以是等边三角形，从而，所以思路5： 如图，延长至点，使，连接，由（1）由（1）和正弦定理得
20、，因为，所以是等边三角形，又因为是的中点，所以【新题好题训练】1已知函数, 其图象与直线相邻两个交点的距离为若对恒成立，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D2已知函数（ ）图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（ ）A. 关于点对称 B. 关于点对称C. 关于直线对称 D. 关于直线对称【答案】A3已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据诱导公式得到， 结合两式得到.故答案为：C。4若函数的最大值为，则的最小正周期为_【答案】【解析】因为函数的最大值为因此的最小正周期为5在锐角中，角所对的边分别为
21、，若，且，则_【答案】【解析】由已知得，所以，所以，又因为，所以，故为等边三角形，故，故答案为.6锐角中，分别为角，的对边，.（1）若，求的面积；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【试题分析】(1)根据正弦定理得到,即,由此得到的值,用余弦定理求得的值,用三角形面积公式求得三角形面积.(2)由(1)可求得的值,利用两角和的正弦公式可求得的值.【试题解析】（2）,.7在中分别为角所对的边，已知(I)求角的大小；()若,求的面积.【答案】（）.() .试题解析：（）由及，得，又在中 ,，()在中，由余弦定理得，即， 解得，的面积.8已知函数（）求函数的最大值和最小正周期；（）设的三边所
22、对的角分别为，若，求的值【答案】（），；（）.【解析】试题分析：（1）先利用两角和的余弦公式展开，再结合辅助角公式可将化为 ，即可得函数最大值和周期；（2）结合（1）可得，再利用余弦定理即可得到的值.由余弦定理可得：，因为，所以9在中，内角，的对边分别为，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）.试题解析：（1），.，.，.（2）的面积为，.由，及，得，.又，.故其周长为.10已知中，角所对应的边分别为，（是虚数单位）是方程的根，.（1）若 ，求边长的值；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.试题解析：（1）的两个根为. ， ， . ， ，得（2） . ，从而，等号当时成立，此时. 的面积的最大值等于.19