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1、8.2 立体图形的直观图（精练）【题组一 平面图形的直观图】1（2020全国高一课时练习）用斜二测画法画出下列水平放置的等腰直角三角形的直观图；（1）直角边横向；（2）斜边横向.【答案】见解析.【解析】（1）直角边横向如图. （2）斜边横向如图2（2020全国高一课时练习）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）.（1）矩形；（2）平行四边形；（3）正三角形；（4）正五边形【答案】见解析【解析】（1）根据斜二测画法的规则，可得：（2）根据斜二测画法的规则，可得：（3）根据斜二测画法的规则，可得：（4）根据斜二测画法的规则，可得：3（2020全国高一课时练习）用斜二测画法画水平
2、放置的正六边形的直观图.【答案】见解析【解析】画法：（1）如图（1），在正六边形中，取所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，两轴相交于点O.在图（2）中，画相应的轴与轴，两轴相交于点，使. （2）在图（2）中，以为中点，在x轴上取，在轴上取以点为中点，画平行于轴，并且等于；再以为中点，画平行于轴，并且等于.（3）连接，并擦去辅助线轴和轴，便获得正六边形水平放置的直观图图（3）.4（2020全国高一课时练习）如图所示是由正方形ABCD和正三角形CDE所构成的平面图形，请画出其水平放置的直观图.【答案】作图见解析【解析】（1）以AB所在直线为轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系（如图所示），再建立坐
3、标系，使两坐标轴的夹角为（如图所示）.（2）以为中点，在轴上截取；分别过，作轴的平行线，截取，.在轴上截取.（3）连接，得到平面图形.（4）去掉辅助线，就得到所求的直观图（如图所示）5（2020全国高三专题练习（文）用斜二测画法画出图中水平放置的四边形OABC的直观图【答案】见解析【解析】画法：（1）画轴，轴，使；（2）在轴上取,使，在轴上取，使；在轴下方过作平行于，使；(3) 连线，连接，所得四边形即为水平放置的四边形OABC的直观图如图【题组二 空间几何体的直观图】1画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图并说明画法.【答案】答案见解析.【解析】(1)画轴：画轴、轴、轴，(或)，如左图
4、；(2)画底面：以为中心，在平面内，画出正方形水平放置的直观图；(3)画顶点：在轴上截取，使的长度是原四棱锥的高；(4)成图：顺次连接、，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如下图.2若给定长,宽,高分别为4cm,3cm,2cm的长方体,如何用斜二测画法画出该长方体的直观图?【答案】见解析【解析】(1)画轴.如图(1),画x轴y轴z轴,三轴相交于点O,使,.(2)画底面.以点O为中点,在x轴上取线段MN,使;以点O为中点,在y轴上取线段PQ,使.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,则平面ABCD就是长方体的底面,如图(1
5、).(3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2cm长的线段,如图(1).(4)成图.顺次连接,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到了长方体的直观图,如图(2).3（2020全国高一课时练习）已知一棱柱的底面是边长为的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为，试用斜二测画法画出此棱柱的直观图.【答案】见解析【解析】（1）画轴.画出轴、轴轴，三轴相交于点，使，.（2）画底面.以点为中点，在轴上画，在轴上画，分别过点，作轴的平行线，过点，作轴的平行线，设它们的交点分别为，则四边形就是该棱柱的底面.（3）画侧棱.过点，分别作轴的平行线，并在这些平行线
6、上分别截取长的线段，如图所示.（4）成图.连接，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到该棱柱的直观图，如图所示.4（2020全国高一课时练习）画出一个上下底面边长分别为1,2,高为2的正三棱台的直观图.【答案】见解析【解析】建立空间直角坐标系,画x轴y轴z轴相交于点O.使x轴与y轴的夹角为45，y轴与z轴的夹角为90，底面在y轴上取线段取，且以为中点，作平行于x轴的线段,使,在y轴上取线段,使.连接,则为正三棱台的下底面的直观图.画上底面在z轴上取,使,过点作,建立坐标系.在中,类似步骤的画法得上底面的直观图.连线成图连接,去掉辅助线,将被遮住的部分画成虚线,则三棱台即为要求
7、画的正三棱台的直观图. 5（2020全国高一课时练习）画出底面是正方形,高与底面边长相等且侧棱均相等的四棱锥的直观图.【答案】见解析【解析】(1)建系:先画x轴y轴z轴,其交点为O,使,.(2)画底面.以O为中心,在xOy平面内,画出正方形水平放置的直观图ABCD,如图.(3)画顶点.在Oz上截取OP,使.(4)成图.连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,得四棱锥的直观图,如图.6（2020全国高一课时练习）已知一个圆锥由等腰直角三角形旋转形成，画出这个圆锥的直观图.【答案】见解析.【解析】圆锥直观图如下：7（2020全国高一课时练习）一个简单组合体由上下两部分组成
8、，下部是一个圆柱，上部是一个半球，并且半球的球心就是圆柱的上底面圆心，画出这个组合体的直观图.【答案】见解析【解析】如图所示，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和球共同的轴线上确定球的半径，最后画出圆柱和半球，并标注相关字母，就得到组合体的直观图.8（2020全国高三专题练习）如图为一几何体的平面展开图，按图中虚线将它折叠起来，画出它的直观图【答案】见解析【解析】由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示.【题组三 直观图的面积周长】1如图,的斜二测直观图为等腰,其中,则的面积为( )A2B4CD【答案】D【解析】由题
9、意，的斜二测直观图为等腰，由已知直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，则，且原平面图形的面积是故选：2用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形.已知点是斜边的中点，且，则的边边上的高为（ ）A1B2CD【答案】D【解析】直观图是等腰直角三角形，根据直观图中平行于轴的长度变为原来的一半,的边上的高.故选D.3如图，正方形的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，则原图形的周长是（ ）A16cmB12cmC10cmD18cm【答案】A【解析】将直观图还原为平面图形，如图所示.，所以，所以原图形的周长为16cm，故选：A.4已知用斜二测画法得到的某水
10、平放置的平面图形的直观图是如图所示的等腰直角，其中，则原平面图形中最大边长为（ ）A2BC3D【答案】D【解析】由斜坐标系中作交轴于点，由，等腰直角三角形，由斜二测法的纵半横不变，可将直观图在直角坐标系中还原成原平面图形如下：，最长边，故选：D5如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则下列叙述正确的是（ ）A原图形是正方形B原图形是非正方形的菱形C原图形的面积是D原图形的面积是【答案】C【解析】过C作CD/y轴，交x轴于D,将DC绕 D逆时针旋转45，并伸长到原来的两倍，得到实际图中的点C,将C沿OA方向和长度平移得到 B,得到水平放置时直观图还原为实际的平面图形,如下图所示
11、:,故原图并不是正方形,也不是菱形,故A,B均错误,又直观图的面积,所以原图的面积,故选:C.6把四边形按斜二测画法得到平行四边形(如图所示)，其中，则四边形一定是一个（ ）A菱形B矩形C正方形D梯形【答案】A【解析】把平行四边形还原回原图形，过程如下：在平面直角坐标系中，在轴上截取，且使为的中点，在轴上截取，过向左左轴的平行线段，使，连接，可得平行四边形.，.平行四边形为菱形.故选：A.7如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45的等腰梯形，已知直观图的面积为4，则该平面图形的面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】已知直观图的面积为4,所以原图的面积为，故选：C8如图所示，正方
12、形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）ABCD【答案】B【解析】先把水平放置的平面图形的直观图还原成原来的实际图形，如图：由斜二测画法得：，所以原图形周长为8.故选：B.9如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的周长和面积分别为（ ）A，B，C，D，【答案】B【解析】由直观图可得原图形，原图形的周长为，故选：B9如图所示，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（ ）ABCD【答案】B【解析】如图所示，由斜二测画法的规则知与轴平行的线段其长度不变，正方形的对角线在轴上，可求得其长度为，故在原平面
13、图中其在轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为，所以原来的图形是平行四边形，其在横轴上的边长为1，高为，所以它的面积是故选：10一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）ABCD【答案】B【解析】如图，恢复后的原图形为一直角梯形，所以.故选：B.11如图，边长为的正方形是一个水平放置的平面图形的直观图，则图形的面积是（ ）ABCD【答案】D【解析】由直观图画出原图，如图，因为，所以，则图形的面积是. 故选：D12已知边长为1的菱形中，则用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】菱形中，则菱形的面积为；所以用斜
14、二测画法画出这个菱形的直观图面积为.故选D13已知正三角形ABC的边长为2，那么ABC的直观图A1B1C1的面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】如图所示，直观图A1B1C1的高为，底边长为；所以A1B1C1的面积为：故选：C14如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，则其原平面图形的面积为_.【答案】4【解析】由斜二测画法可知原平面图形为两直角边分别为2,4的直角三角形.故面积为.故答案为：【题组四 斜二测画法】1（2020全国高一单元测试）下列命题中正确的是（ ）A正方形的直观图是正方形B平行四边形的直观图是平行四边形C有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱D用一个平面去截棱锥
15、，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台【答案】B【解析】选项，正方形的直观图是平行四边形，故错误；选项，由斜二测画法规则知平行性不变，即平行四边形的直观图是平行四边形，故正确；选项，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，要注意棱柱的每相邻两个四边形的公共边互相平行，故错误；选项，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故错误故选：2（2020全国高三专题练习）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（ ）A原来相交的仍相交B原来垂直的仍垂直C原来平行的仍平行D原来共点的仍共点【答案】
16、B【解析】根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与轴平行的线段长度不变，与轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜，故原来垂直线段不一定垂直了；故选：B3（2020包头市第九中学高一期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，下列结论中正确的个数是（ ）平行的线段在直观图中仍然平行；相等的线段在直观图中仍然相等；相等的角在直观图中仍然相等；正方形在直观图中仍然是正方形A1B2C3D4【答案】A【解析】对于，平行的线段在直观图中仍然是平行线段，所以正确； 对于，相等的线段在直观图中不一定相等， 如平行于轴的线段，长度不变，平行于轴的线段，变为原来的，所以错误； 对于，相等的角在直观
17、图中不一定相等， 如直角坐标系内两个相邻的直角，在斜二测画法内是和，所以错误； 对于，正方形在直观图中不是正方形，是平行四边形，所以错误； 综上，正确的命题序号是，共1个 故选：A4（2019安徽合肥市合肥一中高二月考（理）下列说法正确的是（ ）A用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分称为棱台B空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等C通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线D相等的角在直观图中对应的角仍相等【答案】C【解析】对A， 用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分称为棱台，所以A错误；对B， 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，所以B错误
18、；对C，根据母线的定义可知，正确；对D，如等腰直角三角形，画出直观图后，不是等腰三角形，所以D错误故选：C5（2020全国高一课时练习）在用斜二测画法画水平放置的的直观图时，若在直角坐标系中的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中等于（ ）ABCD或【答案】D【解析】因为的两边分别平行于x轴、y轴，所以在直观图中，由斜二测画法知或，即或.故选:D6（2020全国高一课时练习）利用斜二测画法画直观图时，下列说法中正确的是（ ）两条相交直线的直观图是平行直线；两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线；正方形的直观图是平行四边形；梯形的直观图是梯形.ABCD【答案】B【解析】两条相交直线的直观图仍然是相交直线，故错；两条垂直直线的直观图是两条相交但不垂直的直线，故错；正确.故选：B 23 / 23