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1、-初三数学几何综合题及答案-第 14 页1. 在ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向ABC的外侧作等腰直角三角形，M是BC边中点中点，连接MD和ME（1）如图1所示，若AB=AC，则MD和ME的数量关系是 （2）如图2所示，若ABAC其他条件不变，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；（3） 在任意ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向ABC的内侧作等腰直角三角形，M是BC的中点，连接MD和ME，请在图3中补全图形，并直接判断MED的形状图1图3图2（1）MD=ME 解：ADB和AEC是等腰直角三角形，ABD=DAB=ACE=EAC=45，ADB=AEC=90在AD
2、B和AEC中，ADBAEC（AAS），BD=CE，AD=AE，M是BC的中点，BM=CMAB=AC，ABC=ACB，ABC+ABD=ACB+ACE，即DBM=ECM在DBM和ECM中，DBMECM（SAS），MD=ME（2）如图，作DFAB，EGAC，垂足分别为F、G因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高，所以F、G分别是AB、AC的中点又M是BC的中点，所以MF、MG是ABC的中位线，MFAC，MGABBFM=BAC，MGC=BACBFM=MGC所以DFM=MGEDF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，MF=EG，DF=MG 在DFM
3、与MGE中，DFMMGE（SAS）DM=ME FMD=GEMDME=FMD+FMG+GME=GEM+MGC+GMEEGACEGC=90 GEM+MGC+GME+EGC=180DME=90 DMEM（3）如图所示：MDE是等腰直角三角形2如图1，在中，A=30，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连结EF（1）线段与的位置关系是_， _（2）如图2，当绕点顺时针旋转时（），连结AF，BE，（1）中的结论是否仍然成立.如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由图3图2（3）如图3，当绕点顺时针旋转时（），延长交于点，如果，求旋转角的度数图1（1）如图1，线段BE与AF的位置关系是互相垂直；ACB=9
4、0，BC=2，A=30，AC=2，点E，F分别是线段BC，AC的中点，=；故答案为：互相垂直；（2）（1）中结论仍然成立证明：如图2，点E，F分别是线段BC，AC的中点，EC=BC，FC=AC，=，BCE=ACF=，BECAFC，=，1=2，延长BE交AC于点O，交AF于点MBOC=AOM，1=2BCO=AMO=90BEAF；（3）如图3，ACB=90，BC=2，A=30AB=4，B=60过点D作DHBC于HDB=4（62）=22，BH=1，DH=3，又CH=2（1）=3，CH=DH，HCD=45，DCA=45，=18045=1353.（1）如图1，在四边形ABCD中，B=C=90，E为BC上
5、一点，且CE=AB，BE=CD，连结AE、DE、AD，则ADE的形状是_.(2)如图2，在，D、E分别为AB、AC上的点，连结BE、CD，两线交于点P当BD=AC，CE=AD时，在图中补全图形，猜想的度数并给予证明当时， 的度数_ （1）等腰直角三角形 -1分 （2） 45. -2分 证明：过B点作FBAB,且FB=AD.BD=AC，FBDDAC.FDB=DCA，ED=DCDCA+CDA=90，FDB +CDA=90，CDF=90，FCD=CFD =45AD=CE，BF=CEBFEC.四边形BECF是平行四边形BEFC.-6分（3）60-7分 4在ABC 中， AB = AC ，A =30，将
6、线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60得到线段 BD ，再将线段BD平移到EF，使点E在AB上，点F在AC上（1）如图 1，直接写出 ABD和CFE 的度数；（2）在图1中证明： AE =CF；（3）如图2，连接 CE ，判断CEF 的形状并加以证明1）ABD= 15 ，CFE= 45 2分（2）证明：连结CD、DF线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60得到线段 BD，BD = BC ，CBD =60BCD是等边三角形CD = BD 线段BD平移到EF，EFBD ，EF = BD 四边形BDFE是平行四边形，EF = CD 3分AB = AC ，A =30，ABC =ACB=75ABD =AB
7、C -CBD=15=ACDDFE =ABD=15，AEF =ABD=15AEF = ACD=15 4分CFE =A+AEF=30+15=45，CFD =CFE-DFE=45-15=30A=CFD=30 5分AEFFCD（AAS）AE =CF 6分（3）解：CEF是等腰直角三角形证明：过点E作EGCF于G，CFE=45，FEG=45EG =FGA =30，AGE=90，AE =CF，G为CF的中点EG为CF的垂直平分线EF =ECCEF =2FEG=90CEF是等腰直角三角形 8分5将绕点顺时针旋转得到，的延长线与相交于点，连接（1）如图1，若=，请直接写出与的数量 关系；（2）如图2，若=，猜
8、想线段与的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，若，（为常数），请直接写出的值 （用含、的式子表示）图1图1图1 图2 图3解： 解：（1）AF=BF理由如下：在DF上截取DG=BF，连接AG，（如图1），由旋转得AD=AB，D=B，在ADG和ABF中，ADGABF（SAS），AG=AF，DAG=BAF，GAF=GAB+BAF=GAB+DAG=DAB=60GAF是等边三角形，又DF=2BF，AF=GF=DFDG=DFBF=BF，即AF=BF；（2）解：猜想：AF=2BF证明：在DF上截取DG=BF，连接AG（如图2）由旋转得AD=AB，D=B，在ADG和ABF中，ADGABF（SAS），AG
9、=AF，DAG=BAF，GAF=GAB+BAF=GAB+DAG=DAB=60，GAF是等边三角形，又DF=3BF，AF=GF=DFDG=DFBF=2BF，即AF=2BF；（3）在DF上截取DG=BF，连接AG，（如图3），由旋转得AD=AB，D=B，在ADG和ABF中，ADGABF（SAS），AG=AF，DAG=BAF，GAF=GAB+BAF=GAB+DAG=DAB=，GAF是等腰三角形，DF=mBF，GF=DFDG=mBFBF=（m1）BF，过点A作AHDF于H，则FH=GF=（m1）BF，FAH=GAF=，sinFAH=，sin=，=6已知：ABD和CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点
10、C），点E、F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF、AE，AE交BD于点G（1）如图l，求证：EAFABD；（2）如图2，当ABAD时，M是线段AG上一点，连接BM、ED、MF，MF的延长线交ED于点N，MBFBAF，AFAD，请你判断线段FM和FN之间的数量关系，并证明你的判断是正确的图1图2证明：（1）如图1，连接FE、FC点F在线段EC的垂直平分线上FE=FCFEC=FCEABD和CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C）AB=CB，ABD=CBD在ABF与CBF中 ABCB ABDCBD BFBFABFCBF（SAS）BAF=FCE，FA=FC来源
11、:Z+xx+k.ComFE=FA，FEC=BAF EAF=AEF来源:学科网ZXXKFEC +BEF=180 BAF+BEF=180BAF+BEF+AFE+ABE=360AFE+ABE=AFE+ABD+CBD =180又AFE+EAF+AEF=180EAF+AEF=ABD+CBDABDCBD, EAF=AEFEAF=ABD（2）FM=FN 证明： 由(1)可知EAF=ABD 又AFB=GFA AFGBFA AGF=BAF 又MBF=BAFMBF=AGF 又AGF=MBG+BMG MBG=BMG BG=MGAB=AD ADB=ABD=EAF又FGA=AGD AGFDGA AF=AD设GF=2a
12、AG=3aGD=aFD=a CBD=ABD ABD=ADBCBD=ADB BE/AD 设EG=2k BG=MG=3k 过点F作FQ/ED交AE于QGQ=EG=， MQ=3k+=FQ/EDFM=FN7如图，等腰RtABC中，ACB=90，AC=BC=4，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PEAB于E，连接PQ交AB于D（1）当BQD=30时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由；（3）在整个运动过程中，设AP为x，BD为y
13、，求y关于x的函数关系式，并求出当BDQ为等腰三角形时BD的值解：（1）ACB=90，AC=BC=4，设AP为x，PC=4x，CQ=4+xBQD=30，CQ=PC4+x=（4x）解得x=84（2）当点P，Q运动时，线段DE的长度不会改变理由如下：作QFAB，交直线AB的延长线于点F，PEAB于E，DFQ=AEP=90，点P，Q做匀速运动且速度相同，AP=BQABC是等腰直角三角形，可证 PE=QF=AE=BF在PDE和QDF中，PDEQDF（AAS），DE=DFDE=AB又AC=BC=4，AB=4，DE=2，当点P，Q运动时，线段DE的长度不会改变（3）AP=x，BD=y，AE=x，AB=AE
14、+DE+BD，4=x+2+y，即y=x+2（0x4），当BDQ为等腰三角形时，x=y，x=44，即BD的值为448已知ABC=90，D是直线AB上的点，AD=BC（1）如图1，过点A作AFAB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断CDF的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上的一点，直线AE、CD相交于点P，且APD=45，求证BD=CE图2图1证明：ABC=90，AFAB， FAD=DBC AD=BC，AF=BD，FADDBC FD=DC 2分1=21+3=90，2+3=90即CDF=90 3分CDF是等腰直角三角形（2）过点A作AFAB，并截取AF=BD，连接DF、CF4分ABC
15、=90，AFAB， FAD=DBC AD=BC，AF=BD，FADDBC FD=DC ，1=21+3=90，2+3=90即CDF=90CDF是等腰直角三角形5分FCD=APD=45FCAEABC =90，AFAB，AFCE四边形AFCE是平行四边形 6分AF=CE BD=CE7分9已知ABC是等边三角形，E是AC边上一点，F是BC边延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF（1）如图1，若E是AC边的中点，猜想BE与EF的数量关系为 .图3（2）如图2，若E是线段AC上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE、EF的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明（3）如图3，若E是线段AC延长线上
16、的任意一点，其它条件不变，上述线段BE、EF的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明图2图1（1）答：猜想BE与EF的数量关系为：BE=EF；证明：（1）ABC是等边三角形，E是线段AC的中点，CBE=ABC=30，AE=CE，AE=CF，CE=CF，F=CEF，F+CEF=ACB=60，F=30，CBE=F，BE=EF；（2）答：猜想BE=EF证明如下：如图2，过点E作EGBC，交AB于点G，ABC是等边三角形，AB=AC，ACB=60，又EGBC，AGE=ABC=60，又BAC=60，AGE是等边三角形，AG=AE，BG=CE，又CF=AE，GE=CF，在BGE与ECF中，BGEEC
17、F（SAS），BE=EF； （3）BE=EF证明如下：如图3，过点E作EGBC交AB延长线于点G，ABC是等边三角形，AB=AC，ACB=60，又EGBC，AGE=ABC=60，又BAC=60，AGE是等边三角形，AG=AE，BG=CE，又CF=AE，GE=CF，又BGE=ECF=60，在BGE与ECF中，BGEECF（SAS），BE=EF10如图1，已知是等腰直角三角形，,点是 的中点作正方形，使点、分别在和上，连接， （1）试猜想线段和的数量关系是 ； （2）将正方形绕点逆时针方向旋转， 判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论； 若，当取最大值时，求的值 图1 图2（1）B
18、G=AE理由：如图1，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，点D是BC的中点，ADBC，BD=CD，ADB=ADC=90四边形DEFG是正方形，DE=DG在ADE和BDG中，ADEBDG（SAS），BG=AE故答案为：BG=AE；（2）成立BG=AE理由：如图2，连接AD，在RtBAC中，D为斜边BC中点，AD=BD，ADBC，ADG+GDB=90 四边形EFGD为正方形，DE=DG，且GDE=90，ADG+ADE=90，BDG=ADE在BDG和ADE中，BDGADE（SAS），DG=AE； BG=AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值如图3，当旋转角为270时，BG=AEBC=DE=4，B
19、G=2+4=6AE=6在RtAEF中，由勾股定理，得AF=，AF=211在ABC中，CACB，在AED中， DADE，点D、E分别在CA、AB上，（1）如图，若ACBADE90，则CD与BE的数量关系是 ；（2）若ACBADE120，将AED绕点A旋转至如图所示的位置，则CD与BE的数量关系是 ；，（3）若ACBADE2（0 90），将AED绕点A旋转至如图所示的位置，探图究线段CD与BE的数量关系，并加以证明(用含的式子表示)图图解：（1）如图，作DMAB，交BC于点M，ACB=ADE=90，CA=CB，DA=DE，CAB=CBA=DEA=45，DEBC，四边形EBMD是平行四边形，DM=B
20、E，DMAB，CDM=45，DM=CD，BE=CD； 故答案为：BE=CD； （2）如图，CA=CB，ACB=120CAB=CBA=30，AB=AC，同理AE=AD，=，CAD=BAE=30+BAD，CADBAE，= BE=CD；故答案为：BE=CD； （3）BE=2CDsin，证明：如图，分别过点C、D作CMAB于点M，DNAE于点N，CA=CB，DA=DE，ACB=ADE=2，CAB=DAE，ACM=ADN=，AM=AB，AN=AECAD=BAE，RtACM和RtADN中，sinACM=，sinADN=，又CAD=BAE，BAECAD，BE=2DCsin12如图，正方形ABCD的边长是2，
21、M是AD的中点点E从点A出发，沿AB运动到点B停止连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG（1）设AE=x时，EGF的面积为y求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）P是MG的中点，求点P运动路线的长解：（1）当点E与点A重合时，x=0，y=22=2当点E与点A不重合时，0x2在正方形ABCD中，A=ADC=90MDF=90，A=MDF在AME和DMF中，AMEDMF（ASA）ME=MF在RtAME中，AE=x，AM=1，ME=EF=2ME=2过M作MNBC，垂足为N（如图）则MNG=90，AMN=90，MN=AB=AD=2AMAME+E
22、MN=90EMG=90GMN+EMN=90AME=GMNRtAMERtNMG =，即=MG=2ME=2 y=EFMG=22=2x2+2 y=2x2+2，其中0x2；（2）如图，PP即为P点运动的距离；在RtBMG中，MGBG；MBG=GMG=90BMG；tanMBG=2，tanGMG=tanMBG=2；GG=2MG=4；MGG中，P、P分别是MG、MG的中点，PP是MGG的中位线；PP=GG=2；即：点P运动路线的长为213将等腰RtABC和等腰RtADE按图1方式放置，A=90， AD边与AB边重合， AB2AD4将ADE绕点A逆时针方向旋转一个角度（0180），BD的延长线交直线CE于点P
23、.（1）如图2，BD与CE的数量关系是 , 位置关系是 ；（2）在旋转的过程中，当ADBD时，求出CP的长； （3）在此旋转过程中，求点P运动的路线长.图1备用图图2解：（1）BD=EC，BDCE；理由：等腰RtABC和等腰RtADE按图1方式放置，A=90， AD边与AB边重合， AB=2AD=4，D，E分别是AB和AC的中点，故BD=EC=AD=AE，BDCE；故答案为：BD=EC，BDCE；（2）如图3所示：ABC和ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=90，BAD=CAE，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS），ABD=ACE，1=2，BPCE，ADBP，D
24、AE=90，AD=AE，四边形ADPE为正方形，AD=PE=2，ADB=90，AD=2，AB=4，ABD=30，BD=CE=2，CP=CEPE=22；（3）如图4，取BC的中点O，连接OP、OA，BPC=BAC=90，OP=OA=BC=2，在此旋转过程中（0180），由（2）知，当=60时，PBA最大，且PBA=30，此时AOP=60，点P运动的路线是以O为圆心，OA长为半径的+，点P运动的路线长为：L =+=2= 2 =14如图1，正方形与正方形AEFG的边AB、AE（ABAE）在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为. 在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶
25、点均不重合，连接BE、DG.（1）当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG； （2）当点C在直线上时，连接FC，直接写出FCD 的度数；（3）如图3，如果=45，AB =2，AE=，求点G到BE的距离.（1）证明：如图2，四边形ABCD是正方形，AB=AD，BAE+EAD=90.四边形AEFG是正方形，AE=AG，EAD+DAG=90.BAE=DAG. .BE=DG. （2）解：45或135. （3）解：如图3，连接GB、GE. 由已知=45，可知BAE=45. 又GE为正方形AEFG的对角线， AEG=45. ABGE. ,GE =8， 过点B作BHAE于点H.AB=2，.
26、设点G到BE的距离为h. 即点G到BE的距离为. 15问题：在中，A=100，BD为B 的平分线，探究AD、BD、BC之间的数量关系.请你完成下列探究过程：（1）观察图形，猜想AD、BD、BC之间的数量关系为 .（2）在对（1）中的猜想进行证明时，当推出ABC=C=40后，可进一步推出ABD=DBC= 度.（3）为了使同学们顺利地解答本题（1）中的猜想，小强同学提供了一种探究的思路：在BC上截取BE=BD，连接DE,在此基础上继续推理可使问题得到解决.你可以参考小强的思路，画出图形，在此基础上对（1）中的猜想加以证明.也可以选用其它的方法证明你的猜想.（1）AD+BD=BC；（2）AB=AC，
27、A=100ABC=C=40BD为B的平分线，ABD=DBC=20；（3）在BC上截取BF=BA，连接DF，在BC上截取BE=BD，连接DE，BD为B的平分线，ABD=DBC在ABD和FBD中，ABDFBDA=100，DFB=A=100，DFC=80，BE=BD，DBC=20，BED=BDE=80，DFE=FEDDF=DEFED=80，C=40，EDC=40EDC=CDE=ECAD=ECAD+BD=BC16在等边三角形ABC中，ADBC于点D（1）如图1，请你直接写出线段AD与BC之间的数量关系: AD= BC；（2）如图2，若P是线段BC上一个动点（点P不与点B、C重合），联结AP，将线段AP
28、绕点A逆时针旋转60，得到线段AE，联结CE，猜想线段AD、CE、PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，若点P是线段BC延长线上一个动点，（2）中的其他条件不变，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出线段AD、CE、PC之间的数量关系解：（1）如图1，ABC是等边三角形，B=60，ADBC于点D，BD=BC，在RTADB中，AD=BD，AD=BC，故答案为：（2）如图2，AD=（CE+PC） 理由如下：线段AP绕点A逆时针旋转60，得到线段AE，PAE=60，AP=AE，等边三角形ABC，BAC=60，AB=ACBACPAC=PAEPAC，BAP=CAE，在ABP和ACE中，ABPACE（SAS），BP=CE，BP+PC=BC，CE+PC=BC，AD=BC，AD=（CE+PC）（3）如图3，AD=（CEPC） 理由如下：线段AP绕点A逆时针旋转60，得到线段AE，PAE=60，AP=AE，等边三角形ABC，BAC=60，AB=ACBAC+PAC=PAE+PAC，BAP=CAE，在ABP和ACE中，ABPACE（SAS），BP=CE，BPPC=BC，CEPC=BC，AD=BC，AD=（CEPC）