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1、2023届一轮复习第二篇 函数、导数及其应用_第3节 函数的奇偶性与周期性 一、选择题（共10小题）1. 下列函数中，既是偶函数又在 0,+ 上单调递增的是 A. y=xB. y=cosxC. y=exD. y=lnx 2. 已知 fx=ax2+bx 是定义在 a1,2a 上的偶函数，那么 a+b 的值是 A. 13B. 13C. 12D. 12 3. 已知定义在 R 上的奇函数 fx 满足 fx+4=fx，则 f8 的值为 A. 1B. 0C. 1D. 2 4. 设 fx 是周期为 2 的奇函数，当 0x1 时，fx=2x1x，则 f52 等于 A. 12B. 14C. 14D. 12 5.
2、 已知 fx 是定义在实数集 R 上的奇函数，对任意的实数 x，fx2=fx+2，当 x0,2 时，fx=x2，则 f132 等于 A. 94B. 14C. 14D. 94 6. 设函数 y=fx 的图象与 y=2x+a 的图象关于直线 y=x 对称，且 f2+f4=1，则 a 等于 A. 1B. 1C. 2D. 4 7. 若函数 fx=x2x+1xa 为奇函数，则 a 等于 A. 12B. 23C. 34D. 1 8. 已知 fx 是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0x2 时，fx=x3x，则函数 y=fx 的图象在区间 0,6 上与 x 轴的交点的个数为 A. 6B. 7C.
3、8D. 9 9. 已知 fx,gx 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 fxgx=x3+x2+1，则 f1+g1= A. 3B. 1C. 1D. 3 10. 已知定义在 R 上的奇函数 fx 满足 fx4=fx，且在区间 0,2 上是增函数，则 A. f25f11f80B. f80f11f25C. f11f80f25D. f25f800 时，fx=x2x，则 fx 的解析式为 13. 已知定义在 R 上的奇函数满足 fx=x2+2xx0，若 f3a2f2a，则实数 a 的取值范围是 14. 设偶函数 fx 在 0,+ 上为减函数，且 f2=0，则不等式 fx+fxx0 的解集为 15.
4、定义在 R 上的偶函数 fx 满足 fx+1=fx，且在 1,0 上是增函数，给出下列关于 fx 的结论： fx 是周期函数； fx 的图象关于直线 x=1 对称； fx 在 0,1 上是增函数； fx 在 1,2 上是减函数； f2=f0； fx 的一个对称中心为 12,0其中正确结论的序号是 16. 设函数 fx 是定义在 R 上的奇函数，若当 x0,+ 时，fx=lgx，则满足 fx0 的 x 的取值范围是 17. 已知 fx 是定义在 R 上的偶函数，并且 fx+2=1fx，当 2x3 时，fx=x，则 f1.5= 18. 若函数 fx=xlnx+a+x2 为偶函数，则 a= 19.
5、已知函数 fx=x2+1,x0,1,xf2x 的 x 的取值范围是 20. 若函数 fxxR 是周期为 4 的奇函数，且在 0,2 上的解析式为 fx=x1x,0x1sinx,10x2x,x00,x=0x22,x0 时，y=lnx=lnx，在 0,+ 上递增2. B【解析】依题意知 b=0，2a=a1，所以 a=13，则 a+b=133. B【解析】因为 fx+4=fx，所以 fx 是以 4 为周期的周期函数所以 f8=f0，又函数 fx 是定义在 R 上的奇函数，所以 f8=f0=04. A【解析】因为 fx 是周期为 2 的奇函数，当 0x1 时，fx=2x1x，所以 f52=f12=f1
6、2=212112=125. D【解析】由 fx2=fx+2，可知函数 fx 的最小正周期 T=4，又由于该函数是奇函数，故 f132=f52=f32=f32=322=946. C【解析】设 x,y 是函数 y=fx 图象上任意一点，它关于直线 y=x 的对称点为 y,x，由 y=fx 的图象与 y=2x+a 的图象关于直线 y=x 对称，可知 y,x 在 y=2x+a 的图象上，即 x=2y+a，解得 y=log2x+a，所以 f2+f4=log22+alog24+a=1，解得 a=27. A【解析】法一因为 fx 为奇函数，所以 fx=fx，所以 x2x+1xa=x2x+1xa，即 2x1x
7、+a=2x+1xa 恒成立，整理得 2a1x=0，所以必须有 2a1=0，所以 a=12法二由于函数 fx 是奇函数，所以必须有 f1=f1，即 11a=131a，即 1+a=31a，解得 a=128. B【解析】当 0x2 时，令 fx=x3x=0，得 x=0 或 x=1根据周期函数的性质，由 fx 的最小正周期为 2，可知 y=fx 在 0,6 上有 6 个零点，又 f6=f32=f0=0，所以 fx 在 0,6 上与 x 轴的交点个数为 79. C【解析】因为 fxgx=x3+x2+1，所以 fxgx=x3+x2+1，因为 fx 为偶函数，gx 为奇函数，所以 fx+gx=x3+x2+1
8、，所以 f1+g1=1+1+1=110. D【解析】因为定义在 R 上的奇函数 fx 满足 fx4=fx，即 fx4=fx，所以 f4x=fx，所以函数图象关于 x=2 对称，且 f0=0，又由已知得 fx8=fx44=fx4=fx，故函数是以 8 为周期的周期函数，所以 f25=f1，f80=f0，f11=f3=f41=f1，由于奇函数 fx 在 0,2 上是增函数，所以 fx 在 2,2 上为增函数，故 f1f0f1，所以 f25f80f1111. aa2或a2【解析】由已知 fx 在 0,+ 上为增函数，且 fa=fa，所以 faf2faf2，所以 a2，即 a2 或 a212. fx=
9、x2x,x0【解析】由已知得 f0=0，当 x0，而 x0 时，fx=x2x，所以 fx=x2+x，又 fx 为奇函数，所以 fx=fx，所以得 fx=x2x，综上可知 fx=x2x,x013. 3,1【解析】当 x0 时，fx=x2+2x=x+121，所以函数 fx 在 0,+ 上为增函数又函数 fx 是定义在 R 上的奇函数，所以函数 fx 在 R 上是增函数由 f3a2f2a 得 3a22a解得 3a114. xx2或0x0 等价于 fxx0当 x0 时，fxx0 等价于 fx0，又 fx 在 0,+ 上为减函数，且 f2=0所以 fx0 的解集为 x0x2当 x0 等价于 fx0，又
10、fx 在 ,0 上为增函数，且 f2=2=0所以 fx0 的解集为 xx0 的解集为 xx2或0x215. 【解析】对于，fx+2=fx+1=fx=fx，故 2 是函数 fx 的一个周期，正确；对于，由于函数 fx 是偶函数，且函数 fx 是以 2 为周期的函数，则 f2x=fx2=fx，即 f2x=fx，故函数 fx 的图象关于直线 x=1 对称，故正确；对于，由于函数 fx 是偶函数且在 1,0 上是增函数，根据偶函数图象的性质可知，函数 fx 在 0,1 上是减函数，故错误；对于，由于函数 fx 是以 2 为周期的函数且在 1,0 上为增函数，由周期函数的性质知，函数 fx 在 1,2
11、上是增函数，故错误；对于，由于函数 fx 是以 2 为周期的函数，所以 f2=f0，正确对于，由于 fx 是偶函数，所以有 fx=fx，fx+1=fx=fx，所以 fx 的图象关于 12,0 对称，故正确16. 1,01,+17. 2.5【解析】提示：由 fx+2=1fx，得 fx=1fx+2，所以 fx+2=1fx+4，所以 fx=fx+4，所以函数 fx 的周期为 4，所以 f1.5=f2.5=f2.5=2.518. 1【解析】因为 fx 是偶函数，而 y=x 是奇函数，所以 gx=lnx+a+x2 是奇函数，所以 g0=0，解得 a=119. 1,21【解析】当 x=1 时，无解当 1x
12、0，f1x2f2x 化为 1x22+11 恒成立当 0x1 时，1x20，2x0，f1x2f2x 化为 1x22+12x2+1，即 1x22x，x+122，所以 0x21当 1x20 时，无解，综上知 1x2120. 516【解析】因为 fx 是以 4 为周期的奇函数，所以 f294=f834=f34=f34，f416=f876=f76=f76因为当 0x1 时，fx=x1x，所以 f34=34134=316因为当 1x2 时，fx=sinx，所以 f76=sin76=12所以 f294+f416=12316=51621. 3【解析】因为函数为偶函数，所以 f1=f1，又函数图象关于直线 x=
13、2 对称，所以 f1=f3，故 f1=f3=322. （1） 由 9x20,x290 得 x=3所以 fx 的定义域为 3,3，关于原点对称又 f3+f3=0，f3f3=0即 fx=fx所以 fx 既是奇函数，又是偶函数（2） 由 4x20,x+330 得 2x2 且 x0所以 fx 的定义域为 2,00,2，关于原点对称所以 fx=4x2x+33=4x2x所以 fx=fx，所以 fx 是奇函数（3） 易知函数的定义域为 ,00,+，关于原点对称当 x0，故 fx=x2x=fx；当 x0 时，x0,x220, 得定义域为 1,00,1，关于原点对称 fx=lg1x2x22=lg1x2x因为 fx=lg1x2x=lg1x2x=fx. 所以 fx 为奇函数（2） 由 1x1+x0,1+x0, 得 10 时，fx=x22=x2+2=fx；当 x0 时，fx=x2+2=x22=fx；当 x=0 时，f0=0，也满足 fx=fx故该函数为奇函数第7页（共7 页）