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1、中国科学院大学 20202020 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称：高等代数 考生须知： 1本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 说明说明：本卷共九题，前七道题必答，第八题、第九题只准选其一答之。 一 (20 分) 若整系数多项式( )f x有根p q，这里, p q是互素的整数，证明 1) ()|(1), ()|( 1)qpfqpf； 2) 对任意整数m有 ()|( )mqpf m。 二 (18 分) 以det()M记矩阵M的行列式，证明下列结论： 1) 设,A B都是n阶实方阵，则 det
2、det(1 ) det(1 ) AB ABAB BA 2) 设A是m n矩阵，B是n m矩阵， k I表示k阶单位矩阵。则 detdet nm mn IABIBA, (是复数)。 三 (18 分) 已知n阶方阵A满足 2 n AI，问：秩 n IA秩 n IA? 并证明你的答案。 四 (18 分)设A是n阶实对称正定矩阵，B是n阶实对称半正定矩阵， 1) 证明：det()det( )det( )ABAB； 2) 当2n 时， 问： 在什么条件下有det()det( )det( )ABAB， 并证明之。 五 (18 分)设n阶复方阵A的全部特征值为 12 , n 。求A的伴随矩阵 * A的全部特
3、征值。 科目名称：高等代数 第 1 页 共 2 页 六 (20 分) 已知实对称矩阵 222 254 245 A 1) 求正交矩阵Q，使得 1 Q AQ 为对角形矩阵； 2) 求解矩阵方程 2 XA。 七 (18 分) 设是非零复数，k为正整数，( ) n J表示特征值为的n阶若 当块。 1) 求( ) k n J的若当标准形； 2) 证明：( ) n J有k次方根，即存在n阶复方阵B使得( ) k n BJ； 3) 证明：任意n阶可逆复方阵A都有k次方根。 八 (20 分) n阶实方阵P称为正交矩阵，如果 t n PPI；n阶实方阵R称 为反射矩阵， 如果R正交相似于对角矩阵diag( 1,1,1)。 证明： 每个二阶正交矩 阵都能写成反射矩阵的乘积。 九 (20 分) nx表示实数域上所有次数小于( 1)n 的多项式之集， 它是 实数域上n维线性空间。求导算子D： ( )( ),( ) nf xfxf xxD 是 nx上的线性变换。 1) 对于任意实数a，证明平移算子 a S： ( )(),( ) an f xf xaf xxS 是 nx上的线性变换，并且存在一个多项式( ) ng xx，使得() a gSD。 2) 分别求出, a SD在基 21 1, ,2!,(1)! n x xxn 下的矩阵。 科目名称：高等代数 第 2 页 共 2 页