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1、 中国科学院大学 2020 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称：高等数学（丙） 中国科学院大学 2020 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称：高等数学（丙） 考生须知： 考生须知： 1本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 1本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 一、选择题一、选择题 (本题满分 60 分，每小题 6 分。请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空 格。每题的四个备选项中只有一个是正确
2、的，不选、错选或多选均不得分。请将你的选择标 清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。) 1. 已知函数( )f x在0 x 处连续，且 2 2 0 () lim1 h f h h ，则下列说法正确的是（ ） 。 A(0)0f且(0)f存在 B(0)1f且(0)f存在 C(0)0f且(0)f存在 D(0)1f且(0)f存在 2. 计算 3 0 1 tan1 sin lim x xx x =（ ） 。 A0 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 4 3. 二元函数( , )f x y在点(0,0)处可微的一个充分条件是（ ） 。 A ( , )(0,0) lim ( , )(0,0)0
3、 x y f x yf . B 0 ( ,0)(0,0) lim0 x f xf x ，且 0 (0, )(0,0) lim0 y fyf y . C 22( , )(0,0) ( , )(0,0) lim0 x y f x yf xy . D 0 lim( ,0)(0,0)0 xx x fxf ，且 0 lim(0, )(0,0)0 yy y fyf . 4. 已知D是以c为半径，坐标原点为圆心的圆，则 D xydxdy 的值为（ ） 。 A0 B. 2 2 c C. 4 2 c D. 4 4 c 科目名称：高等数学（丙） 第 1 页 共 4 页 5. 设方程 xy xyze，则 22 22
4、 zz xy 的表达式是（ ） 。 A 22 ()exyxy B()exyxy C2exyxy D(1)exyxy 6. 设 0 3a ， 1 5a ， 且对任何自然数1n 有 11 2 (1) 3 nnn naana ， 则幂级数 0 n n n a x 的收敛半径为（ ） 。 A1 B 2 3 C 3 2 D2 7. 若反常积分 0 1 1 b a dx xx 收敛，则（ ） 。 A1a 且1b B. 1a 且1b C. 1a 且1ab D. 1a 且1ab 8. 根据行列式的定义， 212 111 ( ) 321 111 xx x f x x x 中 3 x的系数为（ ） 。 A. 2
5、B. 1 C. -2 D. -1 9. 设A、B是 3 阶方阵，且4A ，3B ，则 2 3 T A B的值为（ ） 。 A108 B. 27 4 C. 972 D. 324 10. 设 T =（10-1），矩阵 T A=，n为正整数， n aIA|为（ ） 。 A 2 2naa（） B. 2 a C.2na D. 2 2na2 （） 二、 （本题满分二、 （本题满分 10 分）分）求矩阵 11 24 A （1）特征值、特征向量； （2）并判定所对应的特征向量是否正交？ 科目名称：高等数学（丙） 第 2 页 共 4 页 三 （本题满分（本题满分 10 分）分） 已知三阶方阵 3 33 3 ()
6、,() ijij AaBb ，计算下式： （1）* T AA，其中*A是A的伴随矩阵， T A是A的转置矩阵。若 111213 ,aaa为三个相等 的正数，求 13 a。 （2）若矩阵,A B等价，| 0A ，求|B。 四、 （本题满分（本题满分 10 分）分）有线性方程组： 12345 12345 2345 12345 1 323 2263 5433 xxxxx xxxxxa xxxx xxxxxb （1）,a b取何值时方程组无解？ （2）, a b取何值时方程组有解，并写出其全部解。 五、 （本题满分本题满分 10 分）分） 已知向量组 12345 11522 21010 , 33156
7、5 011054 （1） 求向量组的秩和一个极大线性无关组； （2） 把不属于极大线性无关组的向量用极大线性无关组线性表示。 六、 （本题满分本题满分 10 分）分）设曲线( )yf x与 2 yxx在点（1,0）处有公共切线，计算 lim() 2 n n nf n 。 七、 （本题满分 10 分本题满分 10 分）设数列 n a有界，且满足条件： 2nn aa ， 3nn aa ，nN。证 明数列 n a收敛。 八、 （本题满分八、 （本题满分 10 分）分） 求由曲线3cosr与曲线1cosr 所围图形的公共部分的面 积。 科目名称：高等数学（丙） 第 3 页 共 4 页 九 、（ 本 题 满 分九 、（ 本 题 满 分10分 ）分 ） 已 知 函 数( )uf r且 222 lnrxyz满 足 方 程 222 2223 2 222 (+) uuu xyz xyz ，求( )f x的表达式。 十、 （本题满分十、 （本题满分 10 分）分）设函数( )f x在区间 , a b上具有连续导数，( )( )0f af b且有 2( ) 1 b a fx dx 。请证明：不等式 222 1 ( )( ) 4 bb aa fxdxx fx dx 。 科目名称：高等数学（丙） 第 4 页 共 4 页