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1、2022届高考专题练 等式性质与不等式性质、基本不等式一、单选题1已知则下列命题成立的是 （ ）ABCD2在区间2，4上随机地取一个数x，使 恒成立的概率是（ ）ABCD3如果1ab3,3ab5，那么2a3b的取值范围是()A(2,8)B(5,14)C(6,13)D(7,13)4小明骑自行车从甲地前往乙地，前一半路程以速度骑行，后一半路程以速度骑行，且，其全程的平均速度为，则下列关系中不正确的是（ ）ABCD5数列满足，且，则的最小值为（ ）ABCD6手机屏幕面积与手机前面板面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在01之间若设计师将某款手机的屏幕面积和手机前面板
2、面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该款手机的“屏占比”和升级前相比（ ）A不变B变小C变大D变化不确定二、填空题7_8若，则的取值范围是_.9已知，则的大小关系为_（用“”连接）10在中，角，的对边分别为，若，边的中线长为1，则的最小值为_三、解答题11已知函数（1）求不等式的解集；（2）若的最小值是，且，求的最小值12（1）已知，求证：（2）已知，求证：13根据要求比较一下各组中的的大小.（1），其中均为正实数；（2），其中均为正实数.14已知，求的取值范围.15在中，的对边分别为，若.（1）求角；（2）如果，求面积的最大值.16某跨国公司决定将某种智能产品在中国市场投放，已知该产
3、品年固定研发成本30万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，(1)写出年利润S（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式（利润=销售收入成本）；(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润试卷第3页，共3页参考答案：1D【解析】【分析】利用不等式的性质去判断和证明A，当判断B利用函数图像判断C；利用幂函数f（x）x3的单调性判断D【详解】当c0时，ac2bc20，所以A错误当 则，所以B错误在同一个坐标系画出的图像：易知所以C错误因为函数 f（x）x3在定义域上单调递增，所以由a3b3得ab，又ab0，所以a，b，同号
4、，所以成立所以D正确故选D【点睛】本题考查不等关系以及不等式的性质，要求熟练掌握不等式的性质以及不等式成立的条件2A【解析】【详解】恒成立，即，设，则，当且仅当，即时，等号成立，所以问题转化为，即，所以在区间上随机地取一个数时，使恒成立的概率是，故选择A.3C【解析】【详解】设abx，aby，1x3,3y5， 2a3bxy(xy)xy.又x，y，6xy13，2a3b的取值范围是(6,13)故选C.4D【解析】设甲地到乙地的距离为，计算出，然后利用作差法结合基本不等式可判断各选项的正误.【详解】根据题意，设甲地到乙地的距离为，则小明从甲地到乙地的时间为，则其平均速度为，A选项正确；，则，即，由基
5、本不等式可得，所以，B选项正确，D选项错误；，C选项正确.故选：D.5C【解析】【分析】依题意得，由裂项求和结合得，令，则，进而由基本不等式可求得结果.【详解】因为，所以对，.取倒数，得，则，所以则，且，所以，令，则.当且仅当即时，有最小值为.故选：C.6C【解析】【分析】做差法比较与的大小即可得出结论.【详解】设升级前的“屏占比”为，升级后的“屏占比”为（，）因为，所以升级后手机“屏占比”和升级前相比变大，故选：C7【解析】【分析】由，结合均值不等式即可求解【详解】由，当且仅当时等号成立故答案为：8【解析】利用不等式的性质可求的取值范围.【详解】因为，故，且，所以，故.故答案为：.9【解析】
6、【分析】根据对数的性质，将其化简作差与0 比较，即可判断大小关系【详解】由，有所以【点睛】本题考查利用作差法比较大小，解本题的关键在于熟练掌握同底对数的运算性质，属于基础题10【解析】【分析】在中，对进行切化弦，进而化简可得 ，边的中线长为1，结合平面向量的加法，可得，平方后再利用基本不等式可得，由即可得出结果.【详解】在中，因为，所以，即，所以，所以，所以因为边的中线长为1，所以，所以，即，解得所以所以的最小值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查了三角形中边的最值，基本不等式的应用是关键.考查了学生的运算求解能力、逻辑推理能力和灵活运用知识的综合能力，属于难题.11（1）；（2）【解析】
7、【分析】（1）将解析式中绝对值符号去掉，求得分段函数解析式；再在每一段中求得时的解集；从而得出答案；（2）先由（1）求出的最小值，所以得；再将构造成符合基本不等式的形式，从而求其最小值.【详解】解：（1），等价于或或，解得或或故不等式的解集为.（2）由（1）可知，则，则（当，时，等号成立）故最小值为【点睛】本题主要考查分段函数和基本不等式的相关性质，考查运算求解能力，属于基础题型.12（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由条件可得，然后可得，然后可证明；（2）由条件可得，然后利用基本不等式证明即可.【详解】（1），又，又，（2）因为所以，同理所以 (当且仅当时等号成立)13
8、（1）；（2）若，则；若，则；若，则.【解析】利用作差法，求出并化简整理，再与0比较，即可比较的大小；（1）由于，化简求得，结合，即可判断与0的大小，从而比较的大小；（2）已知，化简整理得，结合，分类讨论，三种情况，即可判断与0的大小，从而比较的大小.【详解】解：（1）由于，则，即，而均为正实数，即，则，所以，所以；（2）已知，则，即，而均为正实数，即，则，若，则，则，所以；若，则，则，所以；若，则，则，所以；【点睛】关键点点睛：本题考查利用作差法比较两数的大小，以及不等式的基本性质，解题的关键在于运用作差法并化简运算，考查运算能力和分类讨论思想.14【解析】转化条件为，再由基本不等式即可得解
9、.【详解】因为，所以，当且仅当即，时，等号成立，又，所以的取值范围为.【点睛】本题考查了基本不等式求最值的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.15（）（）【解析】【详解】试题分析：（1）利用两角和的正切公式，化简已知条件得到，故.（2）利用角的余弦定理，写出的关系式，利用基本不等式求得的最大值，由三角形面积公式可求得面积的最大值.试题解析：（1），即 又 由于为三角形内角，故 （2）在中，由余弦定理得，所以 ，当且仅当时等号成立的面积面积的最大值为16(1)；(2)当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为2370万元.【解析】【分析】（1）根据利润销售收入成本，即可得解；（2）分和两种情况，分别根据二次函数的性质和基本不等式，求出对应的的最大值，再比较大小，即可得解(1)当时，年利润，当时，年利润；(2)当时，所以S在上单调递增，所以；当时，当且仅当，即时，等号成立，此时，因为，所以，故当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为2370万元.答案第12页，共12页