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1、山东省潍坊市四校2011 年高三联考数学试题（理）一选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设 p、q 是两个命题，则“复合命题 p 或 q 为真，p 且 q 为假”的充要条件是Ap、q 中至少有一个为真Bp、q 中至少有一个为假Cp、q 中中有且只有一个为真Dp 为真，q 为假2已知复数|,13ziz则A2B2 C22D8 3已知 a、b、c 是三条互不重合的直线，、是两个不重合的平面，给出四个命题：;/,/,/abba则a、;/,/,/,则bab;,/,则aababa则,/,其中正确命题的个数是A1 个B2 个C3 个D4
2、 个4已知等差数列16884,31,SSSSSnann那么且项和为的前A81B31C91D1035定义在R 上的偶函数0)(log,0)21(,),0)(41xffxfy则满足且上递减在的 x 的集合为A),2()21,(B)2,1()1,21(C),2()1,21(D),2()21,0(6在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），若使目标函数z=ax+y(a0)取最大值的最优解有无穷多个，则a的值等于A31B1 C6 D3 7已知函数)41(,2),3(log,2,43)(1162fxxxxxf则的值等于A2116B25C4 D 4 8若半径为R 的球与正三棱柱的各个面都相切，则
3、球与正三棱柱的体积比为A2734B2732名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 8 页 -C33D639如果以原点为圆心的圆经过双曲线)0,0(12222babyax的焦点，而且被该双曲线的右准线分成弧长为 2：1 的两段圆弧，那么该双曲线的离心率e 等于A5B25C3D210如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，沿对角线BD 将 ABD 折起，使 A 点在平面BCD 内的射影落在BC 边上，若二面角CAB D 的平面角大小为，则 sin 的值等于A43B47C773D3411若函数)(xfy的图象如右图所示，则函数)1(xfy的图象大致为A B C D 12已知
4、函数,1,0)(),)()1()(上是减函数在且满足xfRxxfxfxfy有以下四个函数：xysinxycosZkkxkkxy,1212,)2(12Zkkxkkxy,1212,)2(12其中满足 f(x)所有条件的函数序号为ABCD二填空题：本大题共 4 小题，每小题4 分，共 16 分131023)21(xx展开式中的常数项为14如图，一艘船上午9：30 在 A 处测得灯塔S 在它的北偏东30 处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00 到达 B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75 处，且与它相距82n mile 此船的航速是n mil 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理
5、-第 2 页，共 8 页 -e/h15若不等式的值等于则实数的解集为axaxx,5,44|8|216如图，从点)2,(0 xM发出的光线沿平行于抛物线xy42的轴的方向射向此抛物线上的点P，反射后经焦点F 又射向抛物线上的点Q，再反射后沿平行于抛物线的轴的方向射向直线,072:Nyxl上的点再反射后又射回点 M，则 x0=三解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分12 分）.,3)(),(2cossin4)(的值求实数的最大值为若已知mxfRxxxmxf18（本小题满分12 分）抛掷两个骰子，当至少有一个2 点或 3 点出现时，就说这次试
6、验成功（）求一次试验中成功的概率；（）求在4 次试验中成功次数 的概率分布列及的数学期望与方差19（本小题满分12 分）如图，在四棱锥PABCD 中，PD底面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，PD=DC，E、F 分别是 AB、PB 的中点（）求证：EFCD；（）在平面PAD 内求一点 G，使 GF平面 PCB，并证明你的结论；（）求DB 与平面 DEF 所成角的大小20（本小题满分12 分）某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区已知 ABBC，OA/BC，且 AB=BC=2AO=4km，曲线段 OC 是以点 O 为顶点且开口向右的抛物线的一段
7、如果要使矩形的相邻两边分别落在AB、BC 上，且一个顶点落在曲线段OC 上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1km2）21（本小题满分12 分）如图，已知在坐标平面内，M、N 是 x 轴上关于原点O 对称的两点，P 是上半平面内一点，PMN的面积为),(),23,31(,23为常数坐标为点mOAmMPA.|MNOPMN（）求以M、N 为焦点且过点P 的椭圆方程；（）过点 B（1，0）的直线 l 交椭圆于 C、D 两点，交直线 x=4 于点 E，点 B、E 分1的比分别为CD、2，求证：021名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，
8、共 8 页 -22（本小题满分14 分）已知一列非零向).2)(,(21),(),(:1111111nyxyxyxayxaannnnnnnn满足量（）证明：|na是等比数列；（）求向量);2(1naann的夹角与（）设序排成共线的向量按原来的顺中所有与把1211,),2,1(aaaaan一 列，记 为0,2121nnnbbbOBbbb令为坐标原点，求点列Bn的极限点B 的坐标（注：若点Bn坐标为),(,lim,lim),(nnnnnnnBstBssttst为点列则称点且的极限点）参考答案一、选择题：1C 2C 3B 4D 5D 6B 7D 8B 9D 10 A 11A 12B 二、填空题：13
9、3210514 32 1516 166 三、解答题：17解：()4sincos2f xmxx22sin4sin1xmx222(sin)(21)xmm，令sintx，则22()2()(21),(11)f xtmmt,41)(,1,0mxftm取最大值处则在时当;210341mmm得由,41)(,1,0mxftm取最大值处则在时当由1430mm得12m综上，.21m18解：（）一次实验中，设事件A 表示“试验成功”，则.95)(1)(,946464)(APAPAP（）依题意得：:),95,4(其概率分布列为B0 1 2 3 4 P 404)94(C314)94(95C2224)94()95(C94
10、)95(334C444)95(C名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 8 页 -.818094954,920954DE19 解法一：（）（证法一）,AEEB PFFBQ，/EFAP，ABCD为正方形，ADDC，又PDCDQ（三垂线定理），PACD，.EFCD（证法二）取 BD 的中点 O，连结 FO、OEAEEBQ，/.OEAD又ADCDQ，.OECDFPFBQ，/.FOPDPD底面ABCD，FO底面ABCD，EFCD（三垂线定理）（）答：G 是 AD 的中点（方法一）取 PC 的中点 H，连结 DH PDDCQ，.DHPC又BCQ平面PDC，BCDH，DH平面.PCB
11、取DA中点G，连结GF、.FH1/2HFBCDGQ，四边形DGFH为平行四边形，/DHGF，.GFPCB平面（方法二）取 AD 中点 G，连结 PG、GB、GFPGD.BGA（）设B 到平面 DEF 的距离为 dB DEFFDEBVVQ，11.33DEFDEBSdSFO设底面边长为a，则12FOa，214DEBSa，1222aEFAP，11322DFPBa，225.42aDEaa222222235444EFDFaaaDEQ，90.DFEo268DEFSa，22611842adaa1.6da设DB与平面DEF所成的角为，则3sin6dDB，DB与平面DEF所成的角为3arcsin.6解法二：以
12、DA、DC、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图），设 AD=a，则D（0，0，0）、A（a,0,0）、B(a,a,0)、C(0,a,0)、)0,2,(aaE、)2,2,2(aaaF、).,0,0(aP（）,0)0,0()2,0,2(aaaDCEF.DCEF（）.),0,(PADGzxG平面则设(,)222aaaFGxzuuu r，由(,)(,0,0)()02222aaaaFG CBxzaa xuu u r uu u r得2ax；由2(,)(0,)()022222aaaaaFG CPxza aa zuu u r uu u r得0.z名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师
13、精心整理-第 5 页，共 8 页 -G点坐标为(,0,0)2a，即G为AD的中点（）设平面DEF 的法向量为).,(zyxn由00n DFn DEr uu u rr uu u r得(,)(,)02 2 2(,)(,0)02a a ax y zax y za，即()0202axyzaaxy，取1x，则2y，1z，(1,2,1)nr，3cos,6|26BD naBD nBDnauuu r ruuu r ru uu rr，DB与 平 面DEF所 成 角 大 小 为3arccos26（即3arcsin6）20解法一：以 O 为原点，OA 所在直线为y 轴建立直角坐标系如图，依题意可设抛物线方程为).2
14、,4(),0(22Cppxy且21,4222pp，故曲线段OC 的方程为).40(2xxy设)40)(,(xxxP是 曲 线 段OC上 的 任 意 一 点，则 在 矩 形PQBN中，xPNxPQ4|,2|，工业区面积842)4)(2(|2123xxxxxPNPQS，0443:0,222321212121xxSxxS得令即123440,xx1122(32)(2)0,xx4.9x当xSSx是时,0,)94,0(的增函数；当xSSx是时,0,)4,94(的减函数；94x时，S 取到极大值，此时,382|xPQ5.92725693238.9324|SxPN又0 xQ时，8S，2max9.5().Skm
15、答：把工业园区规划成长为km932，宽为km38的矩形时，工业园区的面积最大，最大面积约为9.5km2解法二：由解法一得：曲线段OC 的方程为).40(xxy设)20)(,(2yyyP是 曲 线 段OC上 的 任 意 一 点，则 在 矩 形PQBN中，,4|,2|2yPNyPQ工业区面积,842)4)(2(|232yyyyyPNPQS2,320,443212yySyyS得令.32,20yy名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 8 页 -当ySSy是时,0)32,0(的增函灵敏；当)2,32(y时，ySS是,0的减函数，32y时，S取到极大值，此时382|yPQ，.5.9
16、2725693238.9324|2SyPN又0 xQ时，8S，2max9.5().Skm答：把工业园区规划成长为kmkm38,932宽为的矩形时，工业园区的面积最大，最大面积约为25.9 km21解：（）设),(),0)(0,(),0,(00yxPccNcM则,2),()0,2(000cxyxcOPMN.1,2200 xccx故.23,23|)2(2100cyycSPMN00(,),MPxc yu uu rQ(13,OAuu u r3),2由已知),23,31(),(00mycx即001332xcym，故003()(13).2xcy将代入，得,23)31()1(23cc化简得,0)33(2cc
17、,0)13)(3(cc.23,30yc设椭圆方程为)23,1(,3).0(1222222Pbababyax在椭圆上，2231413bb，故221,4ba，椭圆方程为：.1422yx（）当l 的斜率不存在时，4xl与无交点，不合题意当l的斜率存在时，设l方程为(1)yk x，代入椭圆方程2214xy化简得2222(41)8440.kxk xk设点),(11yxC、),(22yxD，则222112112221222114,11.1444,148,0 xxxxkkxxkkxx，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 8 页 -,44,11212211xxxx8)(52)4)(1
18、(1)4411(212122212121xxxxxxxxxx而81485144428)(5222222121kkkkxxxx0)8324088(1412222kkkk，02122解：（）211211)()(21|nnnnnyxyxa),2(|222212121nayxnnn首项22|,0|121211nnaayxa为常数，|na是等比数列（）),(21),(1111111nnnnnnnnyxyxyxaa212121|21)(21nnnayx，22|22|21|,cos1121111nnnnnnnnnaaaaaaaaa，nnaa与1的夹角为.4（）),(21),(11112111yxyxayxa
19、3111111(2,2)(,),42ayxyxu u r4111(,4ayxu u r11),yx),(41)2,2(8111115yxyxa/951aaaL一般地，11,bau rur25,bau u ru u r,L43,nnbau u rrL用数学归纳法易证34nnab成立).,()41(111yxbnn设(,)nnnOBtsu uuu r，则2111111()()()444nntxL11()4141()1541()4nn，从 而4lim5nnt112)41()41()41(1 ysnn11()81421()1541()4nn，从而8lim5nns极限点 B 的坐标为).58,54(名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 8 页 -