2022年高考数学复习第讲导数应用的题型与方法教案 .pdf

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1、导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值二、考试要求了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。熟记基本导数公式（c,xm(m 为有理数)，sin x,cos x,ex,ax,lnx,logax 的导数）。掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号）

2、，会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。三、复习目标1了解导数的概念，能利用导数定义求导数掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念了解曲线的切线的概念在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念2熟记基本导数公式（c,xm(m 为有理数)，sin x,cos x,ex,ax,lnx,logax 的导数）。掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间，求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用 3 了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已

3、有的导数公式求某些简单函数的导数。4了解复合函数的概念。会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。四、双基透视（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n次多项式的导数问题属于较难类型。3导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。4曲线的切线名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 27 页 -在初中学过圆的切线，直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线

4、的概念推广为一段曲线的切线，即直线和曲线有惟一公共点时，直线叫做曲线过该点的切线，显然这种推广是不妥当的如图3 1 中的曲线C 是我们熟知的正弦曲线y=sinx 直线1l与曲线 C 有惟一公共点M，但我们不能说直线1l与曲线 C相切；而直线2l尽管与曲线C有不止一个公共点，我们还是说直线2l是曲线C 在点 N 处的切线因此，对于一般的曲线，须重新寻求曲线的切线的定义所以课本利用割线的极限位置来定义了曲线的切线5瞬时速度在高一物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用

5、，对瞬时速度作了说明物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度6导数的定义导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以此为依据对导数的定义，我们应注意以下三点：(1)x 是自变量x 在0 x处的增量(或改变量)(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果 x 0 时，xy有极限，那么函数y=f(x)在点0 x处可导或可微，才能得到f(x)在点0 x处的导数名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 27 页 -(3)如果函数y=f(x)在点0 x处可导，那么函数y=f(

6、x)在点0 x处连续(由连续函数定义可知)反之不一定成立例如函数y=|x|在点 x=0 处连续，但不可导由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：(1)求函数的增量)()(00 xfxxfy；(2)求平均变化率xxfxxfxy)()(00；(3)取极限，得导数xyxfx00lim)(。7导数的几何意义函数y=f(x)在点0 x处的导数，就是曲线y=(x)在点)(,(00 xfxP处的切线的斜率由此，可以利用导数求曲线的切线方程具体求法分两步：(1)求出函数y=f(x)在点0 x处的导数，即曲线y=f(x)在点)(,(00 xfxP处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切

7、线斜率的条件下，求得切线方程为)(000 xxxfyy特别地，如果曲线y=f(x)在点)(,(00 xfxP处的切线平行于y 轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为0 xx8和（或差）的导数上一节我们学习了常见函数的导数公式，那么对于函数23)(xxxf的导数，又如何求呢？我们不妨先利用导数的定义来求。xxxxxxxxxfxxfxfxx)()()(lim)()(lim)(232300 xxxxxxxxxxxxxxxxxxx23)(323(lim)(2)()(33lim222023220我们不难发现)()(23)(23223xxxxxx，即两函数和的导数等于这两函数名师资料总结-精品资料

8、欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 27 页 -的导数的和。由此我们猜测在一般情况下结论成立。事实上教材中证明了我们的猜想，这就是两个函数的和（或差）的求导法则。9积的导数两个函数的积的求导法则的证明是本节的一个难点，证明过程中变形的关键是依据导数定义的结构形式。（具体过程见课本P120）说明：（1）)(vuuv；（2）若 c 为常数，则(cu)=cu。10商的导数两个函数的商的求导法则，课本中未加证明，只要求记住并能运用就可以。现补充证明如下：设)()()(xvxuxfy)()()()()()()()()()()()()()()()()()u(xyxvxxvxvxxvxuxvxuxxux

9、vxxvxxvxuxvxxuxvxuxxvx)()()()()()()()(xvxxvxxvxxvxuxvxxuxxuxy因为 v(x)在点 x 处可导，所以它在点x 处连续，于是x0 时，v(x+x)v(x)，从而20)()()()()(limxvxvxuxvxuxyx即2vuvvuvuy。说明：（1）vuvu；（2）2vuvvuvu学习了函数的和、差、积、商的求导法则后，由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运算得到的简单的函数，均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求。11.导数与函数的单调性的关系0)(xf与)(xf为增函数的关系。0)(xf能推出)(xf为增

10、函数，但反之不一定。如函数3)(xxf在),(上名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 27 页 -单调递增，但0)(xf，0)(xf是)(xf为增函数的充分不必要条件。0)(xf时，0)(xf与)(xf为增函数的关系。若将0)(xf的根作为分界点，因为规定0)(xf，即抠去了分界点，此时)(xf为增函数，就一定有0)(xf。当0)(xf时，0)(xf是)(xf为增函数的充分必要条件。0)(xf与)(xf为增函数的关系。)(xf为增函数，一定可以推出0)(xf，但反之不一定，因为0)(xf，即为0)(xf或0)(xf。当函数在某个区间内恒有0)(xf，则)(xf为常数，函

11、数不具有单调性。0)(xf是)(xf为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。单调区间的求解过程，已知)(xfy（1）分析)(xfy的定义域；（2）求导数)(xfy（3）解不等式0)(xf，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式0)(xf，解集在定义域内的部分为减区间我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性

12、。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数)(xfy在某个区间内可导。函数单调区间的合并函数单调区间的合并主要依据是函数)(xf在),(ba单调递增，在),(cb单调递增，又知函数在bxf)(处连续，因此)(xf在),(ca单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为以个区间。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 27 页 -12.)(xfy,bax（1）0)(xf恒成立)(xfy为),(ba上 对任意),(bax不等式)()()(bfxfaf恒成立（2）0)(xf恒成立)(xfy在),(ba上 对任意),

13、(bax不等式)()()(bfxfaf恒成立1导数概念的理解2利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。对于复合函数，以前我们只是见过，没有专门定义和介绍过它，课本中以描述性的方式对复合函数加以直观定义，使我们对复合函数的的概念有一个初步的认识，再结合以后的例题、习题就可以逐步了解复合函数的概念。3要能正确求导，必须做到以下两点：（1）熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。（2）对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关

14、系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。4求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：（1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；（3）把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数。也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f()，=f(x)；然 后 将 已 知 函 数 对 中 间 变 量 求 导)(y，中 间 变 量 对 自 变 量 求 导)(x；最 后 求xy，并将中间变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解求导回代。熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。例 111)(2xbaxxxxfy在

15、1x处可导，则ab思路：11)(2xbaxxxxfy在1x处可导，必连续1)(lim1xfxbaxfx)(lim11)1(f1ba名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 27 页 -2lim0 xyxaxyx0lim2a1b例 2已知 f(x)在 x=a 处可导，且f(a)=b，求下列极限：（1）hhafhafh2)()3(lim0；（2）hafhafh)()(lim20分析：在导数定义中，增量x 的形式是多种多样，但不论x 选择哪种形式，y也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在ax处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。解：（1）hhaf

16、afafhafhhafhafhh2)()()()3(lim2)()3(lim00bafafhafhafhafhafhhafafhafhafhhhh2)(21)(23)()(lim213)()3(lim232)()(lim2)()3(lim0000（2）hhafhafhafhafhh22020)()(lim)()(lim00)(lim)()(lim0220afhhafhafhh说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。例 3观察1)(nnnxx，xxcos)(sin，xxsin)(cos，是否可判断，可导的奇函数的导函数是

17、偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。解：若)(xf为偶函数)()(xfxf令)()()(lim0 xfxxfxxfxxxfxxfxxfxxfxfxx)()(lim)()(lim)(00名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 27 页 -)()()(lim0 xfxfxxfx 可导的偶函数的导函数是奇函数另证：)()()()(xfxxfxff 可导的偶函数的导函数是奇函数例 4（1）求曲线122xxy在点（1，1）处的切线方程；（2）运动曲线方程为2221tttS，求 t=3 时的速度。分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在0 x处的导数就是曲线

18、 y=f(x)在点),(00yxp处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。解：（1）222222)1(22)1(22)1(2xxxxxxy，0422|1xy，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0 因此曲线122xxy在（1，1）处的切线方程为y=1（2）)2(122tttStttttttt4214)1(232422726111227291|3tS。例 5 求下列函数单调区间（1）5221)(23xxxxfy名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 27 页 -（2）xxy12（3）xxky2)0(k（4）ln22xy解：（1）232xxy)1)(23(xx

19、)32,(x),1(时0y)1,32(x0y)32,(，),1()1,32(（2）221xxy)0,(，),0(（3）221xky),(kx),(k0y),0()0,(kkx0y),(k，),(k)0,(k，),0(k（4）xxxxy14142定义域为),0()21,0(x0y),21(x0y例 6求证下列不等式（1）)1(2)1ln(222xxxxxx),0(x（2）xx2sin)2,0(x（3）xxxxtansin)2,0(x名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 27 页 -证：（1）)2()1ln()(2xxxxf0)0(f011111)(2xxxxxf)(xfy

20、为),0(上),0(x0)(xf恒成立2)1ln(2xxx)1ln()1(2)(2xxxxxg0)0(g0)1(4211)1(42441)(22222xxxxxxxxg)(xg在),0(上),0(x0)1ln()1(22xxxx恒成立（2）原式2sinxx令xxxf/sin)()2,0(x0cosx0tan xx2)tan(cos)(xxxxxf)2,0(x0)(xf)2,0(2)2(fxx2sin（3）令xxxxfsin2tan)(0)0(fxxxxxxxf222cos)sin)(coscos1(cos2sec)()2,0(x0)(xf)2,0(xxxxsintan例 7利用导数求和：名师资

21、料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 27 页 -（1）；（2）。分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式1)(nnnxx，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。解：（1）当 x=1 时，；当 x1 时，两边都是关于x 的函数，求导得即（2），两边都是关于x 的函数，求导得。令 x=1 得，即。例 8求满足条件的a（1）使axxysin为R上增函数（2）使aaxxy3为R上（3）使5)(23xxaxxf为R上名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 27 页 -解：（1）axy

22、cos1a1a时xxysin也成立),1 a（2）axy230a0a时3xy也成立),0a（3）),31a例 9（1）),0(x求证xxxx11ln11（2）Nn2n求证11211ln13121nnn（1）证：令tx110 x1t11tx原不等式1ln11ttt令tttfln1)(ttf11)(),1(t0)(tf),1(t)(tf0)1()(ftfttln1令tttg11ln)(22111)(tttttg),1(t0)(tg),1(t)(tg0)1()(gtgtt11lnxxxx11ln11（2）令12,1nx上式也成立将各式相加112111lg23ln12ln13121nnnn即11211

23、ln13121nnn名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 27 页 -例 10（2003 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷，理工农医类19）设0a，求函数),0()(ln()(xaxxxf的单调区间.分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.解：)0(121)(xaxxxf.当0,0 xa时0)42(0)(22axaxxf.0)42(0)(22axaxxf（i）当1a时，对所有0 x，有0)42(22aax.即0)(xf，此时)(xf在),0(内单调递增.（ii）当1a时，对1x，有0)42(22axax，即0)(xf，此

24、时)(xf在（0，1）内单调递增，又知函数)(xf在 x=1 处连续，因此，函数)(xf在（0，+）内单调递增（iii）当10a时，令0)(xf，即0)42(22axax.解得aaxaax122,122或.因此，函数)(xf在区间)122,0(aa内单调递增，在区间),122(aa内也单调递增.令0)42(,0)(22axaxxf即，解得aaxaa122122.因此，函数)(xf在区间)122,12-2aaaa（内单调递减.说明：本题用传统作差比较法无法划分函数的单调区间，只有用导数才行，这是教材新增的内容。其理论依据如下（人教版试验本第三册P148）：设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0

25、)(xf，则)(xf为增函数；如果名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 27 页 -0)(xf，则)(xf为减函数。如果0)(xf，则)(xf为常数。例 11已知抛物线42xy与直线 y=x+2 相交于A、B 两点，过A、B 两点的切线分别为1l和2l。（1）求 A、B 两点的坐标；（2）求直线1l与2l的夹角。分析：理解导数的几何意义是解决本例的关键。解（1）由方程组,2,42xyxy解得 A(-2，0)，B(3，5)（2）由y=2x，则4|2xy，6|3xy。设两直线的夹角为，根据两直线的夹角公式，23106)4(164tan所以2310arctan说明：本例中直

26、线与抛物线的交点处的切线，就是该点处抛物线的切线。注意两条直线的夹角公式有绝对值符号。例 12（2001 年天津卷）设0a，xxeaaexf)(是R上的偶函数。（I）求a的值；（II）证明)(xf在),0(上是增函数。解：（I）依题意，对一切Rx有)()(xfxf，即xxxxaeaeeaae1，0)1)(1(xxeeaa对一切Rx成立，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 27 页 -由此得到01aa，12a，又0a，1a。（II）证明：由xxeexf)(，得xxeexf)()1(2 xxee，当),0(x时，有0)1(2xxee，此时0)(xf。)(xf在),0(上

27、是增函数。例 13（2000 年全国、天津卷）设函数axxxf1)(2，其中0a。（I）解不等式1)(xf；（II）证明：当1a时，函数)(xf在区间),0上是单调函数。解 1：（I）分类讨论解无理不等式（略）。（II）作差比较（略）。解 2：axxxf1)(2（i）当1a时，有axx112，此时0)(xf，函数)(xf在区间),(上是单调递减函数。但1)0(f，因此，当且仅当0 x时，1)(xf。（ii）当10a时，解 不 等 式0)(xf，得21aax，)(xf在 区 间1,(2aa上是单调递减函数。解方程1)(xf，得0 x或212aax，221210aaaa，名师资料总结-精品资料欢迎

28、下载-名师精心整理-第 15 页，共 27 页 -当且仅当2120aax时，1)(xf，综上，（I）当10a时，所给不等式的解集为：2120|aaxx；当1a时，所给不等式的解集为：0|xx。（II）当且仅当1a时，函数)(xf在区间),0上时单调函数。例 14（2002 年普通高等学校招生全国统一考试（新课程卷理科类20）已知0a，函数),0(,1)(xxaxxf设ax201，记曲线)(xfy在点)(,(11xfxM处的切线为l。（）求l的方程；（）设l与x轴 的 交 点 为)0,(2x，证 明：ax102 若ax11，则axx121解：（1）)(xf的导数21)(xxf，由此得切线l的方程

29、)(1112111xxxxaxy，（2）依题得，切线方程中令0y，得1112)1(xaxxx)2(11axx，其中ax201，（）由ax201，)2(112axxx，有02x，及aaxax1)1(212，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 27 页 -ax102，当且仅当ax11时，ax12。（）当ax11时，11ax，因此，1112)2(xaxxx，且由（），ax12，所以axx121。例 15（2003 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷21）已知na,0为正整数.（）设1)(,)(nnaxnyaxy证明；（）设).()1()1(,)()(1nfnnfana

30、xxxfnnnnn证明对任意分析：本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力。证明：（）因为nkknnCax0)(kknxa)(，所以10)(kknnkknxakCynkn0.)()(1111nkknknaxnxaC（）对函数nnnaxxxf)()(求导数:nnnnnnnnnnnnnnannannanxaxxxfaxxfaxannnnfaxnnxxf)()1()1(,.)()(,.0)(,0.)()(,)()(1111时当因此的增函数是关于时当时当所以)()(1()1()1)(1()1(1nnnnnannnannnnf).()1()()(1(1nfnannnnn

31、nn即对任意).()1()1(,1nfnnfannn名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 27 页 -1设函数 f(x)在0 x处可导，则xxfxxfx)()(lim000等于（）A)(0 xfB)(0 xfC)(0 xfD)(0 xf2若13)()2(lim000 xxfxxfx，则)(0 xf等于（）A32B23C 3 D2 3曲线xxy33上切线平行于x 轴的点的坐标是（）A（-1，2）B（1，-2）C（1，2）D（-1，2）或（1，-2）4若函数f(x)的导数为f(x)=-sinx，则函数图像在点（4，f（4）处的切线的倾斜角为（）A90B0C锐角D钝角5函数

32、5123223xxxy在0，3上的最大值、最小值分别是（）A5，15 B5，4 C 4，15 D5，16 6一直线运动的物体，从时间t 到 t+t 时，物体的位移为s，那么tst0lim为（）A从时间 t 到 t+t 时，物体的平均速度B时间 t 时该物体的瞬时速度C当时间为t 时该物体的速度D从时间 t 到 t+t 时位移的平均变化率7关于函数762)(23xxxf，下列说法不正确的是（）A在区间（，0）内，)(xf为增函数B在区间（0，2）内，)(xf为减函数C在区间（2，）内，)(xf为增函数D在区间（，0）),2(内，)(xf为增函数8对任意 x，有34)(xxf，f(1)=-1，则此

33、函数为（）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 27 页 -A 4)(xxfB 2)(4xxfC 1)(4xxfD2)(4xxf9函数 y=2x3-3x2-12x+5 在0,3上的最大值与最小值分别是（）A.5,-15 B.5,4 C.-4,-15 D.5,-16 10设 f(x)在0 x处可导，下列式子中与)(0 xf相等的是（）（1）xxxfxfx2)2()(lim000；（2）xxxfxxfx)()(lim000；（3）xxxfxxfx)()2(lim000（4）xxxfxxfx)2()(lim000。A（1）（2）B（1）（3）C（2）（3）D（1）（2）（3

34、）（4）11（2003 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷理工农医类16）f(x)是定义在区间c,c上的奇函数，其图象如图所示：令g（x）=af（x）+b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是（）A若 a0,则函数 g（x）的图象关于原点对称.B若 a=1，2b0,则方程 g（x）=0 有大于 2 的实根.C若 a0,b=2,则方程 g（x）=0 有两个实根.D若 a1,b2,则方程 g（x）=0 有三个实根.12若函数f(x)在点0 x处的导数存在，则它所对应的曲线在点)(,(00 xfx处的切线方程是_。13设xxxf1)(，则它与 x 轴交点处的切线的方程为_。14设3)(0 xf，

35、则hhxfhxfh)3()(lim000_。15垂直于直线2x-6y+1=0，且与曲线5323xxy相切的直线的方程是_名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 27 页 -16已知曲线xxy1，则1|xy_。17y=x2ex的单调递增区间是18曲线3213xy在点)4,1(3处的切线方程为_。19P 是抛物线2xy上的点，若过点P 的切线方程与直线121xy垂直，则过P点处的切线方程是_。20在抛物线2xy上依次取两点，它们的横坐标分别为11x，32x，若抛物线上过点 P 的切线与过这两点的割线平行，则P 点的坐标为 _。21曲线3)(xxf在点 A 处的切线的斜率为3

36、，求该曲线在A 点处的切线方程。22在抛物线2xy上求一点 P，使过点 P 的切线和直线3x-y+1=0 的夹角为4。23判断函数)0()0()(xxxxxf在 x=0 处是否可导。24求经过点（2，0）且与曲线xy1相切的直线方程。25求曲线 y=xcosx 在2x处的切线方程。26已知函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=x2+cx+d.若 f(2x+1)=4g(x)，且 fx=g(x)，f(5)=30，求 g(4).27已知曲线21:xyC与22)2(:xyC。直线 l 与1C、2C都相切，求直线l 的方程。28设 f(x)=(x-1)(x-2)(x-100)，求 f(1)。29求曲线

37、22)3(1xxy在点)161,1(处的切线方程。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 27 页 -30求证方程1lg xx在区间)3,2(内有且仅有一个实根31a、b、x、y均为正数且1baNn1n求证：nnnbyaxbyax)(32（1）求函数xy在 x=1 处的导数；（2）求函数baxxy2（a、b 为常数）的导数。33证明：如果函数y=f(x)在点0 x处可导，那么函数y=f(x)在点0 x处连续。34（2002 年普通高等学校招生全国统一考试（新课程卷文史类21）已 知,0a函 数),0,)(3xaxxf，设01x，记 曲 线)(xfy在 点)(,(11xf

38、xM处的切线为l。（）求l的方程；（）设l与x轴 的 交 点 为)0,(2x，证 明：312ax；若311ax，则1231xxa。15 CBDCA；610 BDBAB；11 B 12)()(000 xxxfxfy13 y=2(x-1)或 y=2(x+1)14-6 153x+y+6=0 162117(-,-2)与(0,+)180123yx192x-y-1=0 20（2，4）21由导数定义求得23)(xxf，令332x，则 x=1。当 x=1 时，切点为（1，1），所以该曲线在（1，1）处的切线方程为y-1=3(x-1)即 3x-名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 21 页，共 27

39、 页 -y-2=0；当 x=-1时，则切点坐标为（-1，-1），所以该曲线在（-1，-1）处的切线方程为y+1=3(x+1)即 3x-y+2=0。22由导数定义得f(x)=2x，设曲线上P 点的坐标为),(00yx，则该点处切线的斜率为02xkp，根据夹角公式有13213200 xx解得10 x或410 x，由10 x，得10y；由410 x，得1610y；则 P（-1，1）或)161,41(P。2310lim)0()0(limlim000 xxxfxfxyxxx，10lim)0()0(limlim000 xxxfxfxyxxx，xyxyxx00limlim，xyx0lim不存在。函数 f(x

40、)在 x=0 处不可导。24可以验证点（2，0）不在曲线上，故设切点为),(00yxP。由000000)(lim11lim|0 xxxxxxxxxyxxxx200001)(1limxxxxx，得所求直线方程为名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 22 页，共 27 页 -)(10200 xxxyy。由点（2，0）在直线上，得00202xyx，再由),(00yxP在曲线上，得100yx，联立可解得10 x，10y。所求直线方程为x+y-2=0。25Y=xcosx+x(cosx)=cosx-xsinx 2|2xy，切点为0,2，切线方程为：)2(20 xy即0422yx。26 解：由已

41、知(2x+1)2+a(2x+1)+b=4(x2+cx+d)=2x+a=2x+ca=c 又知 52+5a+b=305a+b=5由知 a=c=2.依次代入、知b=5，d=g(4)=42+2 4=2327 解：设l与1C相 切 于 点),(211xxP，与2C相 切 于)2(,(222xxQ。对xyC2:1，则 与1C相 切 于 点P的 切 线 方 程 为)(21121xxxxy，即2112xxxy。对)2(2:2xyC，则与2C相切于点 Q 的切线方程为名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 23 页，共 27 页 -)(2(2)2(2222xxxxy，即4)2(2222xxxy。两切线

42、重合，4)2(22222121xxxx，解得;2,021xx或0221xx，直线方程为y=0 或 y=4x-4。28解：令 x=1 得29解：22)3(xxy，则32)3(232xxxy325452|31xy。切线方程为)1(325161xy即 5x+32y-7=0。30 解：1lg)(xxxfyxxy10lg10lglg)3,2(x0y)(xfy在)3,2(0104lg)2(f07.2lg)3(f)(xfy在)3,2(内与x轴有且仅有一个交点 方程1lg xx在)3,2(内仅有一解名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 24 页，共 27 页 -31证：由对称性不妨设yx（1）若y

43、x显然成立（2）若yx设nnnbyaxbyaxxf)()(abyaxnnbynaxxfnnn111)()()()(111nnnbyaxxbana)()(11nnbyaxbxaxnayx0)(xf),(yx时)(xf0)()(yfxfnnnbyaxbyax)(32分析：根据导数的定义求函数的导数，是求导数的基本方法。解（1）11xy11111xxxxy，21111limlim00 xxyxx，21|1xy。（2）)()()(22baxxbxxaxxyxaxxx2)(2，xaxxxxaxxy)2()()2(2。axxaxxyxx2)2(limlim00y=2x+a 说明应熟练掌握依据导数的定义求函

44、数的导数的三个步骤。33分析：从已知和要证明的问题中去寻找转化的方法和策略，要证明f(x)在点0 x处连名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 25 页，共 27 页 -续，必须证明)()(lim00 xfxfxx，由于函数f(x)在点0 x处可导，因此根据函数在点0 x处可导的定义，逐步实现这个转化。已知：)()()(lim0000 xfxxfxxfx求证：)()(lim00 xfxfxx证明：考虑)(lim0 xfxx，令xxx0，则0 xx，等价于 x0，于是)()(0)(lim)()(lim)()()(lim)()()()(lim)()()(lim00000000000000

45、000010 xfxfxfxxxfxxfxfxxxfxxfxfxfxxxfxxfxfxfxxfxxxxx函数 f(x)在点0 x处连续。说明：函数f(x)在点0 x处连续、有极限以及导数存在这三者之间的关系是：导数存在连续有极限。反之则不一定成立，例如y=|x|在点x=0 处有极限且连续，但导数不存在。34解：（1）)(xf的导数23)(xxf，由此得切线l的方程)(3)(12131xxxaxy，（2）依题意，在切线方程中令0y，得2131213112323xaxxaxxx，（）)32(3131213121312axaxxax0)2()(31311231121axaxx，312ax，当且仅当311ax时取等成立。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 26 页，共 27 页 -（）若311ax，则031ax，03213112xaxxx，且由（）312ax，所以1231xxa。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 27 页，共 27 页 -