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1、二项分布【知识网络】1、条件概率的概念、公式、性质，并能运用它们计算事件的概率；2、两个事件相互独立的概念，判断两个事件是否是相互独立事件；3、理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。【典型例题】例 1：（1）将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6 点”，则概率)(BAP等于（）A、9160 B、21 C、185 D、21691答案：A。解析：1515519115460()60(),()3,(|)666666216666216()91P ABP BP ABP A BP B。（2）某人射击命中目标的概率为0.6,每次射击互不影响,连
2、续射击 3 次,至少有 2 次命中目标的概率为 ()A.12584 B.12581 C.12536 D.12527答案：B。解析：12581)53(52)53(333225CC。（3）袋中装有黑球和白球共7 个，从中任取2 个球都是白球的概率是71，现在甲、乙两人从袋中轮流摸出1 球，甲先取，乙后取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球每一次被取到的机会是等可能的，那么甲取到白球的概率是（）A、73 B、356 C、351 D、3522答案：D。解析：设白球有n 个，2271,3,7nCnCP甲=34334321227765765435。（4）某气象站天气预报准确率是80%，5
3、 次预报中至少有4 次准确的概率是_(精确到 0.01)。答案：0.74。解析：74.08.02.08.0)(555445CCAP。（5）在 10 个球中有 6 个红球，4 个白球（各不相同），不放回的依次摸出2 个球，在第一次摸出红球的条件下，第2 次也摸出红球的概率是。答案：95。解析：设“第一次摸到红球”为事件A，“第二次摸到红球”为事件B，则名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 11 页 -665(),()1010 9P AP AB，(|)()/()5/9P A BP ABP A。例 2：甲乙两人独立解出某一道数学题的概率依次为1212,P P PP，已知该题被
4、甲或乙解出的概率为0.8，甲乙两人同时解出该题的概率为0.3，求:（1）12,P P;（2）解出该题的人数X的分布列及EX.答案：解：（1）设甲乙两人解出该数学题分别为事件A和B，则12(),()P AP P BP，所以0.80.3P A BP A BP A BP A B，即12211212110.80.3PPPPPPPP解之得120.6,0.5PP（2）(0)0.40.50.2P X，(1)0.60.50.40.50.5P X，(2)0.60.50.3P X列出分布列：X 0 1 2 P 0.2 0.5 0.3 所以00.20.5 10.321.1EX。例 3：高二（1）班的一个研究性学习小
5、组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为31，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验.（）第一小组做了5 次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3 次发芽成功的概率；（）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但实验的次数最多不超过 5 次，求第二小组所做种子发芽试验的次数的概率分布列和数学期望答案：解（）至少有3 次发芽成功，即有3 次、4 次、5 次发牙成功设 5 次试验中发芽成功的次数为随机变量X，则P（X=3）=33251240()()332
6、43C4451210(4)()33243P XC555121(5)()33243P XC所以至少有3 次发芽成功的概率)5()4()3(XPXPXPP名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 11 页 -4010151243243243243（）随机变量的可能取值为1，2，3，4，5 1(1)3P2 12(2)3 39P2214(3)()3327P3218(4)()3381P4216(5)()1381P所以的分布列为1 2 3 4 5 P 13294278811681的数字期望812118116581842743922311E例 4：设飞机 A有两个发动机，飞机 B有四个发
7、动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，飞机就能安全飞行。现设各发动机发生故障的概率p是t的函数1tpe，其中t为发动机启动后所经历的时间，为正常数，试论证飞机A与飞机 B哪一个更安全(这里不考虑其他故障)。答案：解：设飞机A能安全飞行的概率为1P，飞机 B能安全飞行的概率为2P，则22221211)1()1(ppCppCP43434443342341)1(41)1(1ppppppCppCP)1)(31(3)1)(13()143(43223223412ppppppppppppPP又tep1所以)32()1(3212ttteeePP当23ln1t时，320te，012PP，12PP；当23ln
8、1t时，32te，012PP，12PP；当23ln1t时，32te，012PP，12PP；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 11 页 -故当23ln1t时，飞机 A安全；当23ln1t时，飞机 A与飞机 B一样安全；当23ln1t时，飞机 B安全。【课内练习】1在 4 次独立试验中，事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1 次的概率是8165，则事件 A在一次试验中出现的概率是（）A、31 B、52 C、65 D、32答案：A。解析：设A发生概率为P，46511(1),813PP。2把一枚硬币抛掷两次，事件 A=“第一次出现正面”，事件 B=“第二次出现反面”，则)
9、(ABP等于（）A.21 B.41 C.31 D.1 答案：A。解析：()111(),(),(|)24()2P ABP AP ABP B AP A。3 甲、乙两人独立解同一个问题，甲解决这个问题的概率是1p，乙解决这个问题的概率是2p，那么恰好有一人解决这个问题的概率是（）A、21pp B、)1()1(1221pppp C、211pp D、)1)(1(121pp答案：B。解析：恰好有一人解决这个问题是指甲解决且乙未解决，与乙解决且甲未解决这两个互斥事件有一个发生。4一袋中装有5 个白球，3 个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10 次停止，用X表示取球的
10、次数，则)12(XP。答案：1022118385C。解析：)12(XP1022118385C。5抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,则第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为。答案：21。解析：设第一次掷得向上一面点数是偶数的事件为A,第二次掷得向上一面点数是偶数的事件为B,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为213618369)()()(APABPABP。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 11 页 -6已知每个人的血清中含有乙型肝炎病毒的概率为3，混合100 人的血清，则混合血清中有乙型肝炎病毒的概率约
11、为。(参考数据：0.996100 0.6698，0.997100 0.7405，0.998100 0.8186)答案：0.2595。解析：P=1100003.010.2595。7一张储蓄卡的密码共6 位数字，每位数字都可从0 到 9 中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，则（1）任意按一位数字，不超过2 次就按对的概率为；（2）如果他记得密码的最后一位数字是偶数，不超过两次就按对的概率为。答案：1 2;5 5。解析：（1）19 111010 95P，（2）14 125545P。8设随机变量X B(2,P)，Y B(3,P），若7(1)16P X,则 P（Y=2）=
12、.答案:964.解析：27(1)1(0)1(1)16P XP XP，解得14P，故223139(2)()4464P YC。9一高考考生咨询中心有A、B、C 三条咨询热线。已知某一时刻热线A、B 占线的概率均为0.5，热线C 占线的概率为0.4，各热线是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有条热线占线，试求随机变量的分布列和它的期望。答案：解：随机变量可能取的值为0，1，2 依题意，得P(=0)=0.15，P(=1)=0.4，P(=2)=0.35，P(=3)=0.1 的分布列如下表：0 1 2 3 P 0.15 0.4 O.35 0.1 它的期望为E=00.15+11.0335.024.0=1.4
13、。10某校要组建明星篮球队，需要在各班选拔预备队员，规定投篮成绩A 级的可作为入围选手，选拔过程中每人投篮5 次，若投中3 次则确定为B 级，若投中4 次及以上则可确定为A级，已知某班同学阿明每次投篮投中的概率是0.5.（1）求阿明投篮4 次才被确定为B级的概率；（2）设阿明投篮投中次数为X，求 X的分布列及期望；（3）若连续两次投篮不中则停止投篮，求阿明不能入围的概率.答案：解：（1）阿明投篮4 次才被确定为B级的概率1632121)21(223CP.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 11 页 -（2）由已知 XB1(5,)2，X的分布列为：X 0 1 2 3 4
14、 5 P 132532103210325321325()2E X（3）若连续两次投篮不中则停止投篮，阿明不能入围这一事件有如下几种情况：5 次投中 3 次，有24C种投球方式，其概率为163)21()3(524CP；投中 2 次，分别是中中否否、中否中否否、否中中否否、否中否中否，概率是325)21(3)21()2(54P；投中 1 次分别有中否否、否中否否，概率为163)21()21()1(43P；投中 0 次只有否否一种，概率为41)21()0(2P；所以阿明不能入围这一事件的概率是3225)0()1()2()3(PPPPP。【作业本】A组1在 10 支铅笔中，有 8 支正品，2 支次品，
15、从中任取 2 支，则在第一次抽的是次品的条件下，第二次抽得是正品的概率是（）A、51 B、458 C、98 D、54答案：C。解析：第一次抽次品后余下9 件，其中有8 件正品，89P。2设每门高射炮命中飞机的概率是0.6，今有一架飞机来犯，问需要多少门高射炮射击，才能以至少99%的概率命中它（）A、3 B、4 C、5 D、6 答案：D。解析：1(0.4)99%n，n5,n=6。3坛子中放有3 个白球，2 个黑球，从中进行不放回地摸球，用A 表示第一次摸得白球，B表示第二次摸到白球，则A与 B是（）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 11 页 -A、互斥事件 B、相互独
16、立事件 C、对立事件 D、不相互独立事件答案：D。解析：A与 B相互有影响且可以同时发生。4某地区气象台统计，该地区下雨的概率是154，刮风的概率是152，既刮风又下雨的概率是101，设 A=“刮风”，B=“下雨”，)(ABP=；)(BAP=。答 案：3 3,4 8。解 析：241,151510P AP BP AB)(ABP=34PABP A；)(BAP=38P ABP B。5设某批产品有4%是废品，而合格品中的75%是一等品，任取一件产品是一等品的概率是。答案：0.72。解析：设A=“任取一件产品为一等品”，B=“任取一件产品为合格品”，所求概率为()()(|)(10.04)0.750.72
17、P AP BP A B。6已知甲、乙、丙三名射击运动员集中目标的概率分别是0.7，0.8，0.85，若他们分别向目标各发一枪，命中弹数记为X,求 X的分布列及期望.答案：X的分布列：X 0 1 2 3 P 0.009 0.108 0.407 0.476 EX=2.35。7现有甲、乙两个盒子，甲盒中装有4 个白球和 4 个红球，乙盒中装有3 个白球和若干个红球，若从乙盒中任取两个球，取到同色球的概率是2813.（1）求乙盒中红球的个数；（2）若从甲盒中任取两个球，放入乙盒中均匀后，再从乙盒中任意取出2 个球放回到甲盒中，求甲盒中白球没有增加的概率；（3）从甲、乙两个盒子中各任取两个球进行交换，若
18、交换后乙盒子中的白球数和红球数相等，就说这次交换是成功的，试求当进行150 次交换（都从初始状态交换）时，大约有多少次是成功的.答案：解：（1）设乙盒中有n 个红球，由已知可得223231328nnCCC，解的 n=5，即乙盒中含有5个红球.（2）若甲盒中白球增加了，则有以下两种情况：从甲盒中取出了两个红球，放入乙盒中均匀后从乙盒中取出两个白球或一个白球一个红球放入甲盒中，此时的概率是35421017132328241CCCCCCP；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 11 页 -从甲盒中取出一个红球和一个白球，放入乙盒中均匀后从乙盒中取出2 个白球放入甲盒中，此时概
19、率是1058210242814142CCCCCP；所以甲盒中白球增加了的概率是2141058354，所以甲盒中白球没有增加的概率是2117.（3）从甲乙两个盒中各取2 个球交换后乙盒中白球数和红球数相等的情况有以下两种：一是从甲盒中取个白球与乙盒中取个白球、一个红球进行交换；二是从甲盒中取出个白球、个红球与乙盒中取出个红球进行交换；所以概率是11221135544422228888125347C CCCC CPCCCC.12515054347(次)，即大约有 54 次是成功的。8在 2006 年多哈亚运会中，中国女排与日本女排以“五局三胜”制进行决赛，根据以往战况，中国女排每一局赢的概率为53
20、。已知比赛中，第一局日本女排先胜一局，在这个条件下，（）求中国女排取胜的概率；（）设决赛中比赛总局数，求的分布列及E。（）（）均用分数作答）答案：（）解：中国女排取胜的情况有两种：中国女排连胜三局；中国女排在第2 局到第 4 局中赢两局，且第5 局赢。故中国女排取胜的概率为535253532233Cp62529762516212527，所求概率为625297（）比赛局数则25452)3(2P1255153525352)4(212CP12554625270535253525352)5(223213CCP的分布列为:1255341255451255142543E。3 4 5 P 254125511
21、2554名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 11 页 -B组1在某一试验中事件A出现的概率为p，则在n次试验中A出现k次的概率为（）A、1kp B、knkpp1 C、1kp1 D、knkknppC1答案：D。解析：设在n次试验中A出现 X次，则 XB（n，1p），P（X=k）=knkknppC1。2已知)(,21)(,43)(ABPABPAP则等于（）A、32 B、83 C、31 D、85答案：B。解析：832143/ABPAPABP。3接处某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80。现有 5 人接种该疫苗，至少有3 个出现发热反应的概率为（精确到0.001）（）A、0.
22、942 B、0.205 C、0.737 D、0.993 答案：A。解析：33244555550.80.20.80.20.80.942PCCC。4从 1，2，15 中，甲、乙依次任取一数（不放回），已知甲取到的数是5 的倍数的条件下，则甲数大于乙数的概率是 _.答案：914。解析：A=“甲数是 5 的倍数”，B=“甲数大于乙数”，49 14()915 14(|)3 14()1415 14P ABP BAP A。5甲、乙、丙三台机床是否需要维修相互之间没有影响。在一小时内甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是0.1,0.2,0.3，则一小时内至少有一台机床需要维修的概率是。答案：0.496。解析：
23、1(10.1)(10.2)(10.3)0.496P。6袋中有分别写着“团团”和“圆圆”的两种玩具共7 个且形状完全相同，从中任取2 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 11 页 -个玩具都是“圆圆”的概率为71，A、B两人不放回从袋中轮流摸取一个玩具，A先取，B后取，然后 A再取，直到两人中有一人取到“圆圆”时即停止游戏.每个玩具在每一次被取出的机会是均等的，用X表示游戏终止时取玩具的次数.（1）求 X=4时的概率；（2）求 X的数学期望.答案：解：（1）设袋中原有玩具“圆圆”n 个由题意知：71272CCn所以 n(n 1)=6，解得 n=3(n=2 舍去).353
24、45673234)4(XP（2）由题意可知X的可能取值为1，2，3，4，5,.2351535343563722731)(;3513456731234)5(;35345673234)4(;356567334)3(;726734)2(;73)1(XEXPXPXPXPXP7粒子 A位于数轴0 x处，粒子 B位于2x处，这两个粒子每隔一秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率是32，向左移动的概率是31.（1）求 3 秒后，粒子A在点1x处的概率；（2）求 2 秒后，粒子A、B同时在2x处的概率.答案：（1）由题意知，粒子A在三次移动中有一次向左移动，故123124()339PC；（2）由题意知，
25、粒子 A在两次移动中均向右，粒子 B向左、向右移动各一次，故2212221 216()33 381PCC.8高校招生是根据考生所填报的志愿，从考试成绩所达到的最高第一志愿开始，按顺序分批录取，若前一志愿不能录取，则依次给下一个志愿（同批或下一批）录取.某考生填报了三批共 6 个不同志愿（每批 2 个），并对各志愿的单独录取以及能考上各批分数线的概率进行预测，结果如表所示（表中的数据为相应的概率，a、b 分别为第一、第二志愿）.（）求该考生能被第2 批 b 志愿录取的概率；（）求该考生能被录取的概率；（）如果已知该考生高考成绩已达到第2 批分数线却未能达到第1 批分数线，请计算其最有可能在哪个志
26、愿被录取？（以上结果均保留二个有效数字）批次高考上线a b 第 1 批0.6 0.8 0.4 第 2 批0.8 0.9 0.5 第 3 批0.9 0.95 0.8 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 11 页 -答案：解：分别记该考生考上第1、2、3 批分数线为事件A、B、C，被相应志愿录取为事件Ai、Bi、Ci，（i=a、b）,则以上各事件相互独立.（）“该考生被第2 批 b 志愿录取”包括上第1 批分数线和仅上第2 批分数线两种情况，故所求概率为)()(1bababaBBBAPBBAAAPP5.0)9.01(8.0)6.01(5.0)9.01)(4.01)(8.
27、01(6.045.0.（）设该考生所报志愿均未录取的概率为2P，则)()()(2babababababaCCCBAPCCBBBAPCCBBAAAPP)(CBAP)8.01)(95.01)(5.01)(9.01)(4.01)(8.01(6.0)8.01)(95.01)(5.01)(9.01(8.0)6.01()8.01)(95.01(9.0)8.01)(6.01()9.01)(8.01)(6.01(00892.0.该考生能被录取的概率为99.000892.0112PP.（）由已知,该考生只可能被第2 或第 3 批录取，仿上计算可得各志愿录取的概率如表所示：从表中可以看出，该考生被第2 批 a 志愿录取的概率最大，故最有可能在第2 批 a 志愿被录取.批次a b 第 2 批0.9 0.05 第 3 批0.048 0.0020 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 11 页 -