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1、1 应用回归分析证明题及答案一.证明残差满足的约束条件：10niie，10niiix e。证明：由偏导方程即得该结论：01101?1001?11?2()0?2()0niiiniiiiQyxQyx x证毕.二.证明平方和分解式：SSTSSR SSE。证明：221122111?()()?()()2()()nniiiiiinnniiiiiiiiiSSTyyyyyyyyyyyyyy011110111?22()0?20nnniiiiiiiinniiiiie ye yexexe上式第三项2211?()()即nniiiiiSSTyyyySSR SSE证毕.三.证明三种检验的关系：（1）12?2t=?1xxL
2、rnr；(2)2212?/1F=t?/(2)xxLSSRSSE n证明：由于2121?SSR?,SSR,SSTxyxxxxxxyyyyLLrLr SSTL LL22?22ieSSTSSRnn名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 5 页 -2 所以12?22;?1yyxxyyrLnLrntLSSRr212?/1.?/(2)xxLSSRFSSE n证毕.四证明：222()1()1()iiixxVar enxx。证明：由于0111?()?()()1()iiiiiiiniiiiiixxeyyyxyyxxxx yyyxxnL于是121112()1()()()1()()12,2,(
3、)()12,()niiiiiiixxniiiiiixxniiiiiiixxniiiiixxxx yVar eVaryyxxnLxx yVar yVaryVarxxnLxx yCov yyCov yxxnLxx yCovyxxnL22222222()()1122()11iixxxxixxxxxxnLnLxxnL证毕.五证明：在一元回归中，201?(,)xxxCovL。证明：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 5 页 -3 01111111()()1?(,),()()1,()()1,()(1niiiiiixxxxnniiiiiixxxxnniiiiiixxxxniixxx
4、x yxx yCovCovyxnLLxxxxCovxyynLLxxxxCovxyynLLxxxnL22)ixxxxxxLxL证毕.六证明：21?1SSEnp是误差项方差2的无偏估计。证明：由于222()1()1()iiixxD enxx而22()()()()iiiiE eD eE eD e所以2212112211?()()1111()(1)111(1)1niinniiiiiEESSEE enpnpD ehnpnpnpnp证毕.七证明：?()E；21?()()D X X。证明：1111?()()()()()EEEEX XX yX XXyX XXX X XX X名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师
5、精心整理-第 3 页，共 5 页 -4 111112121?(),(),()(),()()()()DCovCovCovX XX y X XX yX XXy y X X XX XXIX X XX X证毕.八证明：在多元线性回归中，假设2(,)nN0I，则随机向量2(,)nNyXI。九证明：当2(,)nNyXI时，则：（1）21?(,()NX X；（2）2/(1)SSEnp。证明：（1）因为1?()X XX y，X 是固定的设计矩阵，因此，?是 y的线性变换。又当2(,)nN0I时，有随机向量2(,)nNyXI，所以?服从正态分布，且21?(),()()EDX X，即有21?(,()NX X。（2
6、）：由于0?()()()()SSENXeey-yy-y(I-H)y(I-H)yy(I-H)yy NyX N X N借助于定理：设(,)nNX0 I，A 为nn对称阵，秩为 r，则当 A 满足：2AA，二次型22rX A X，只需证明：()1rknpN即可。因为 N 是幂等阵，所以有()()rktrNN，故111()()()()1nrktrntrntrnpNIX X XXX X XXX XX X证毕.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 5 页 -5 十证明：在多元线性回归中，最小二乘估计?与残差向量e不相关，即?(,)0Cov e。证明：1112121?(,)(),()
7、(),()()()()()0CovCovCoveX XX yIH yX XXy yIHX XXI IHX XXI IX X XX证毕.十一证明：?2(1)DW，其中1222122?ntttnntttteeee。证明：由于22211122222222()2nnnnttttttttttnntttteeeeeeDWee如果认为22122nnttttee，则有1222?ntttntteee，所以1222?2 12(1)ntttntteeDWe.证毕.十 二.试 证 明：在 二 元 线 性 回 归 模 型01122iiiiyxx中，当1x和2x相互独立时，对回归系数1和2的 OLS 估计值，等于iy分别对1x和2x做简单线性回归时回归系数的OLS 估计值。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 5 页 -