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1、数学建模实验报告1 实验 2 离散数据拟合模型一、实验名称：离散数据拟合模型.二、实验目的：掌握离散数据拟合模型的建模方法，并会利用Matlab作数据拟合、数值计算与误差分析.三、实验题目：已知美国人口统计数据如表，完成下列数据的拟合问题：（单位：百万）年份1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 人口/3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 年份1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 人口/76
2、.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4 四、实验要求：1、如果用指数增长模型0()0()er ttx tx模拟美国人口 1790 年至 2000 年的变化过程，请用 Matlab 统计工具箱的函数nlinfit 计算指数增长模型的以下三个数据拟合问题：（1）取定 x0=3.9,t0=1790，拟合待定参数r；源程序：clear p=(r,t)3.9.*exp(r.*(t-1790);t=1790:10:2000;c=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62
3、.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4;r=nlinfit(t,c,p,0.0359)sse=sum(c-p(r,t).2)plot(t,c,r*,1790:1:2000,p(r,1790:1:2000),r)axis(1790,2000,0,290)xlabel(年份),ylabel(人口（单位:百万）)title(拟合美国人口数据指数增长型)legend(拟合数据)调试结果：r=0.0212 sse=1.7418e+004 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 10 页 -
4、数学建模实验报告2（2）取定 t0=1790，拟合待定参数 x0和 r；源程序：clear p=(r,t)r(2).*exp(r(1).*(t-1790);t=1790:10:2000;c=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4;r0=0.0359,3.9;r=nlinfit(t,c,p,r0)sse=sum(c-p(r,t).2)plot(t,c,r*,1790:1:2000,p(r,1790:1:200
5、0),r)axis(1790,2000,0,290)xlabel(年份),ylabel(人口（单位:百万）)title(拟合美国人口数据指数增长型)legend(拟合数据)调试结果：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 10 页 -数学建模实验报告3（3）拟合待定参数 t0,x0和 r.要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示误差平方和最小的拟合效果图.源程序：clear p=(r,t)r(2).*exp(r(1).*(t-1790+1.*r(3);t=1790:10:2000;c=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,
6、38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4;r0=0.0359,3.9,1;r,x=nlinfit(t,c,p,r0)sse=sum(c-p(r,t).2)a=1790+1.*r(3)subplot(2,1,1)plot(t,c,r*,1790:1:2000,p(r,1790:1:2000),r)axis(1790,2000,0,290)xlabel(年份),ylabel(人口（单位:百万）)title(拟合美国人口数据指数增长型)legend(拟合数据)subplot(2,1,2
7、)plot(t,x,k+,1790,2000,0,0,k)axis(1790,2000,-20,20)xlabel(年份),ylabel(误差)title(拟合误差)调试结果：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 10 页 -数学建模实验报告4 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 10 页 -数学建模实验报告5 2、通过变量替换，可以将属于非线性模型的指数增长模型转化成线性模型，并用 Matlab函数 polyfit 进行计算，请说明转化成线性模型的详细过程，然后写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示拟合效果图.解题思路：将属于非
8、线性模型的指数增长模型转化成线性模型，即对函数式两边求导：lnx(t)=lnx(0)+r*t-t(0),最后变成一次函数形式：Y=rX+b，即令 lnx(t)=Y,lnx(0)=b，t-t(0)=X.源程序：clear t=1790:10:2000;c=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4;p,s=polyfit(t-1790,log(c),1)b1=p(1)b2=exp(p(2)subplot(2,1,
9、1)plot(t,c,r*,t,exp(polyval(p,t-1790),r)axis(1790,2000,0,290)xlabel(年份),ylabel(人口（单位:百万）)title(拟合美国人口数据指数增长型)legend(拟合数据)c1=(c-exp(polyval(p,t-1790).2 c2=sum(c1)subplot(2,1,2)plot(t,c1,k+,1790,2000,0,0,k)axis(1790,2000,-20,20)xlabel(年份),ylabel(误差)title(拟合误差)调试结果：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 10 页 -
10、数学建模实验报告6 3、请分析指数增长模型非线性拟合和线性化拟合的结果有何区别？原因是什么？答:如下图：可以看出非线性拟合线性比较均匀、平滑，误差平方和的个数较多，误差相比较而言较小；而线性拟合线性不均匀，有很大的断点，误差平方和的个数也相比较而言较少，并且，误差随着人口数的增长而增长。非线性拟合名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 10 页 -数学建模实验报告7 线性拟合4、如果用阻滞增长模型00()00()()er ttNxx txNx模拟美国人口 1790年至 2000年的变化过程，请用 Matlab 统计工具箱的函数nlinfit 计算阻滞增长的以下三个数据拟合
11、问题：（1）取定 x0=3.9,t0=1790，拟合待定参数r 和 N；源程序：clear p=(a,t)(a(2).*3.9)./(3.9+(a(2)-3.9).*exp(-a(1).*(t-1790);t=1790:10:2000;c=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4;a=nlinfit(t,c,p,0.03,350)sse=sum(c-p(a,t).2)plot(t,c,r*,t,p(a,t),
12、r)axis(1790,2000,0,300)xlabel(年份),ylabel(人口（单位:百万）)title(拟合美国人口数据阻滞增长型)legend(拟合数据)调试结果：（2）取定 t0=1790,拟合待定参数 x0,r 和 N；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 10 页 -数学建模实验报告8 源程序：clear p=(a,t)(a(2).*a(3)./(a(3)+(a(2)-a(3).*exp(-a(1).*(t-1790);t=1790:10:2000;c=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9
13、,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4;a=nlinfit(t,c,p,0.03,350,4.0)sse=sum(c-p(a,t).2)plot(t,c,r*,t,p(a,t),r)axis(1790,2000,0,300)xlabel(年份),ylabel(人口（单位:百万）)title(拟合美国人口数据阻滞增长型)legend(拟合数据)调试结果：（3）拟合待定参数 t0,x0,r 和 N.要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 10
14、 页 -数学建模实验报告9 果，并展示误差平方和最小的拟合效果图.源程序：clear p=(a,t)(a(2).*a(3)./(a(3)+(a(2)-a(3).*exp(-a(1).*(t-1790+1*a(4);t=1790:10:2000;c=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4;a,x=nlinfit(t,c,p,0.03,350,4.0,10)sse=sum(c-p(a,t).2)t0=1790+
15、1*a(4)subplot(2,1,1)plot(t,c,r*,t,p(a,t),r)axis(1790,2000,0,300)xlabel(年份),ylabel(人口（单位:百万）)title(拟合美国人口数据阻滞增长型)legend(拟合数据)subplot(2,1,2)plot(t,x,k*,1790,2000,0,0,k-)axis(1790,2000,-20,20)xlabel(年份),ylabel(误差)title(拟合误差图阻滞增长型)legend(拟合数据)调试结果：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 10 页 -数学建模实验报告10 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 10 页 -