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1、第五章三角函数5.1.1 角的概念的推广【教学目标】1 .理解正角、负角、终边相同的角、第几象限的角等概念，掌握角的加减 运算.2 .通过观察实例，使学生认识角的概念推广的可能性和必要性，树立运动 变化的观点，并由此深刻理解任意角的概念.3 .通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想.【教学重点】理解任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、第几象限的角的概念， 掌握终边相同的角的表示方法和判定方法.【教学难点】任意角和终边相同的角的概念.【教学方法】本节采用教师引导下的讨论法，结合多媒体课件，带领学生发现旧概念的不 足之处，进而探索新的概念.讲课过程中，紧扣“旋转”两个字，让学生在动手 画图
2、的过程中深刻理解任意角的概念.【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图1 .复习初中学习过的角的定义.复习导入师：初中学过的角的定 义是什么？生：在平面内，角可以 看作一条射线绕着它的端点 旋转而成的图形.师：如图：AOB=BOA=1202 .提出新问题：运动员掷链球时，旋转方向 可以是逆时针也可以是顺时针，旋 转量也不止一个平角，那如何来度 量角的大小呢？复习旧知，使 学生发现旧知识的 局限性，激发学习 新知识的兴趣.初中时的角不考虑旋 转方向，只考虑旋转的绝 对量而且角的范围在0-360.1 .任意角的概念.(1)射线的旋转方向：逆时针方向一一正角； 顺时针方向一一负角； 没有旋转一一零角
3、.画图时，常用带箭头的弧来表 示旋转的方向和旋转的绝对量.旋 转生成的角，又常称为转角.例如，ZAOB = 120 , /BOA =- 120.(2)射线的旋转量：当射线绕端点旋转时，旋转量 可以超过一个周角，形成任意大小 的角.角的度数表示旋转量的大小.例如 450。，-630.2.角的加减运算.90-30= 90。+ (-30)教师画图说明正角， 负角，零角，以及角的始 边、终边.教师小结：由旋转方 向的不同定义正负角，由 旋转量的不同得到任意范 围内的角.1 .教师画图，学生说角的 度数.2 .学生练习：画出下列各 角：(1) 0, 360。，720,1 080, -360, -720；
4、(2) 90, 450, -270,-630.学生通过自己 练习画图，深刻体 会“旋转”两个字 的含义，加深对任 意角的概念的理 解.= 60.各角和的旋转量等于各角旋转 量的和.3.终边相同的角.所有与a终边相同的角构成的 集合可记为S= x x = a +k* 360, k Z.学生自己动手 画图求和，加深对 旋转变化的理解.学生练习：求和并作图表 示：30+45, 60-180.师：观察我们刚画过的 角，(1) 0, 360, 720, 1080,-360, -720；(2) 90, 450, -270, -630.思考：始边、终边相同例1 (1)写出与下列各角终边相 同的角的集合.(1
5、)45；(2) 135；(3) 240；(4) 330.解略.4.第几象限的角.在直角坐标系中讨论角时, 通 常使角的顶点和坐标原点重合，角 的始边与x轴的正半轴重合.这样 角的大小和方向可确定终边在坐 标系中的位置.这样放置的角，我们 说它在坐标系中处于标准位置.处于标准位置的角的终边落 在第几象限，就把这个角叫做第几 象限的角.如果角的终边落在坐标 轴上，就认为这个角不属于任何象 限.例1 (2)指出下列各角分别是第 几象限的角.(1)45； (2)135； (3)240； (4) 330.例2写出终边在y轴上的角的集 合解终边在y轴正半轴上的一 个角为90。，终边在y轴负半轴上 的一个角
6、为一90。，因此，终边在y 轴正半轴和负半轴上的角的集合 分别是S = a 。= 90+360, keZS2=a | a =90。+ 2360。， keZ所以终边在y轴上的角的集合 为SSi=aa = 90 + k 360。， keZU| a=-904-360, 依Z的两个角的度数有什么关 系？学生讨论后回答：终边 相同的两个角的度数相差 360。的整数倍.师：与30始边、终边 都相同的角有哪些？有多少 个？它们能不能统一用一个 集合来表示？得出结论.例1 (1)由学生口 答，教师给出规范的书写 格式.例1 (2)学生口答.讲解例2时，教师结 合教材图示的平面直角坐 标系，带领学生分析题-vV
7、- 忌、.师：角的终边落在y 轴上包含哪两种情况？生：终边落在y轴正 半轴上或者落在y轴负半 轴上.师：90。的角终边落在 y轴的正半轴上吗？与它终 边相同的角的集合是什将例1分解为 两个小题，边讲边 练，小步子，低台 阶，学生容易消化 吸收.例2难度较 大，教师应详细讲 解两个集合如何求 并集.本模仿练习意 在渗透B组练习的 解题思路.=a。=90。+4180。， 婕Z.模仿练习：写出终边在X轴上的角的集 合.例3在。360。之间，找出与下列 各角终边相同的角，并分别判定各 是第几象限的角？(1)-120； (2)640； (3)-950.例4写出第一象限的角的集合.解在。360。之间，第一
8、象 限的角的取值范围是090, 所以第一象限角的集合是 ak -360a90+-360, 依Z.么？90。的角终边落在y 轴的负半轴上吗？与它终 边相同的角的集合是什 么？这两个集合的并集怎么 求？例3引导学生画图解 决，或者用计算器解答.教师结合平面直角坐 标系讲解例4.学生分组练习：(1)写出第二象限角的集 合；(2)写出第三象限角的集 合；(3)写出第四象限角的集 合.可增加判断题：使学 生准确区分。90。的角， 锐角，小于90。的角，第一 象限角.小结1 .任意角的概念.2 .角的加减运算.3 .终边相同的角的集合.4 .象限角的概念.教师带领学生回顾本 节课的知识脉络图.本节课概念众
9、 多，通过梳理脉络， 帮助学生巩固知 识.作L2LJ教材P127,练习A组第3、4题； 练习B组第1、3题.巩固拓展.5.1.2弧度制【教学目标】1 .理解弧度制的概念以及弧长公式，掌握角度制与弧度制的换算.2 .理解角的弧度数与实数之间的一一对应关系.3 .通过教学，使学生体会等价转化与辩证统一的思想.【教学重点】理解弧善椅的概念，掌握弧度制与角度制的换算.【教学难点】理解弧度制的概念.【教学方法】本节课采用类比教学法，在复习角度制的基础上引入弧度制，深入探究它们 之间的换算方法，使学生认识它们之间相互联系、辩证统一的关系.通过弧度制 与角度制的比较，使学生认识到弧度制的优越性，逐步适应用弧
10、度制度量角.【教学过程】环节教学内容复习初中学过的角度制.师生互动师:初中学过角度制，1度 角是怎么定义的？生：把一圆周360等分， 则其中一份所对的圆心角是 1 度角.且 1 = 60； 1=60.师：在数学和其他科学中 我们还经常用到另一种度量 角的单位制弧度制.设计意图复习角度制.通过说明同心 圆中弧长与半径的 比值是一个仅与圆 心角。的大小有关 的常数，引入1弧 度的概念.1 .弧度制的度量单位一一1弧度的角.(1)弧长与半径的比值;等 于一个常数，只与的大小 有关，与半径长无关.教师引导学生考察圆心 角、弧长和半径之间的关 系：如图，两个大小不同的 同心圆中圆心角为C6设。二 废，则
11、2兀一l=n 360=2兀.1 n 360 由止匕,2兀360 ,所以，对于任何一个圆心 角0,所对弧长与半径的比值(2)定义：等于半径长的圆弧 所对的圆心角叫做1弧度的角； 弧度记作rad.2.角度制与弧度制的换算公式.27r厂周角=360= = 2ti rad,r即 360=2ti rad.平角= 180=兀 rad, 即 180=兀 rad.711= rad 0.017 45 rad, 1 oU1 QQ1 rad = ()”57.30 =57O18Z .由此得到n与rad的换 算公式：兀什 c /180、c 。=项或者废=。(与T)特殊角的弧度数与角度数的 互化，见教材P 130对应值表
12、.例1把67。30化成弧度.135解 6730, = (-) , A6730z = radX-1 oUZ3兀i=rad.练习1教材P131,练习A组第 2题.3 7T例2把y- rad化成度.M3兀,80、八，解 rad = ( ) X5713兀T= 108.练习2教材P131,练习A组第 3、4题.是一个仅与角4的大小有关 的常数.这就启示我们可以用圆 的半径作单位去度量弧，从而 得到一种新的度量角的制度一 一弧度制.师举例：若所对的弧长I = 2r,那么圆心角的弧度数就 是 2 rad；若所对的弧长l=3r, 那么圆心角的弧度数是多少？生：3 rad.若所对的弧长就是/, 那么圆心角的弧度
13、数是多 少？力 I 生：rad.r师：圆的周长所对的圆心 角是多少弧度？生：圆的周长/=2兀-，2 71r周角=360=2兀 rad,r即 360 = 2ti rad.师：180。等于多少弧度?90。呢？ 60, 45, 30。呢？得到特殊角的角度数与 弧度数的换算.利用教材 P130的对应值表或者数轴来 记忆特殊角的弧度数.由定义出发， 让学生在教师的问 题引导下自己探究 得出角度制与弧度 制之间的换算公式 和弧长公式.帮助学生熟记 特殊角的弧度数.例1和例2可由学生自己 完成，教师只指导书写格式.相应的练习题的练习方 式：(1)教师说出特殊角的 角度，学生说弧度；熟练角的弧度 数与角度数的
14、互 化.(2)教师说出特殊角的 弧度数，学生说角度数.例3使用函数型计算器，把下 列度数化为弧度数或把弧度数化 为度数（精确到小数点后4位 数）：（1） 67, 168, -86；（2） 1.2 rad, 5.2 rad.解略.在例4中，可 加上求扇形的面积 一问，为课后B 组第4题作准备.由于角有正负，我们规定： 正角的弧度数为正数，负角的弧 度数为负数，零角的弧度数为0 这种用“弧度”做单位来度 量角的制度叫做弧度制.无论是用角度制还是弧度 制，都能在角的集合与实数集R 之间建立一一对应的关系.（3） 长公式.由弧度的定义，我们知道弧 长/与半径一的比值等于所对圆 心角a的弧度数（正值），即“得到 l=这是弧度制下的弧长计算公 式.（4） 图，所对的圆心角为60,半径为5 cm,求愈的长I （精确到（5） cm）.B60解因为60。一；，一7T所以 1 arX55.2.即前的长约为5.2 cm.小 结本节知识点：(1)弧度制的定义；(2)角度制与弧度制的换算公式；(3)弧长公式.让学生根据板书自己总 结本节主要内容.归纳整理知识点， 明确弧度制的意 义.作业必做题：教材P131,练习A组第6题，练习B组第1、2、3题；选做题：教材P 132,练习B组第4题.