初中三角函数公式和定理.doc

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1、初中三角函数公式及其定理 第十一次授课1、勾股定理:直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方。 2、如下图,在RtABC中,C为直角,则A的锐角三角函数为(A可换成B):定 义表达式取值围关 系正弦(A为锐角)余弦(A为锐角)正切(A为锐角) (倒数)余切(A为锐角) 对边邻边斜边ACB3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 5、0、30、45、60、90特殊角的三角函数值(重要)三角函数030456090011001-10 6、正弦、余弦的增减性: 当090时,sin

2、随的增大而增大,cos随的增大而减小。 7、正切、余切的增减性: 当090时,tan随的增大而增大,cot随的增大而减小。1、解直角三角形的定义:已知边和角(两个,其中必有一边)所有未知的边和角。依据:边的关系:;角的关系:A+B=90;边角关系:三角函数的定义。(注意:尽量避免使用中间数据和除法)2、应用举例:(1)仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。 (2)坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示,即。坡度一般写成的形式,如等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角),那么。3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。如图3,OA、OB、O

3、C、OD的方向角分别是:45、135、225。4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90的水平角,叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是:北偏东30(东北方向) , 南偏东45(东南方向),南偏西60(西南方向), 北偏西60(西北方向)。 典型例题例题1(2009中考) 长为4m的梯子搭在墙上与地面成45角,作业时调整为60角(如图所示),则梯子的顶端沿墙面升高了 m练习1(2008庆阳中考)如图,一架梯子斜靠在墙上,若梯子底端到墙的距离=3米,则梯子长AB = 米.例题2(2007中考)小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15的倾斜角斜靠在栏杆上,严重影响了同学们的行走

4、安全。他自觉地将拖把挪动位置,使其的倾斜角为75,如果拖把的总长为1.80m,则小明拓宽了行路通道_m(结果保留三个有效数字,参考数据:sin1526,cos150.97) 练习2(2009庆阳中考)如图(1),一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定如图(2)是如图(1)中窗子开到一定位置时的平面图,若AOB=45, OAB=30,OA=60cm,求点B到OA边的距离(,结果精确到整数)例题3(2009中考)如图,数学活动小组来到校园的一盏路灯下测量路灯的高度,测角仪AB的高度为1.5米,测得仰角为,点B到电灯杆底端N的距离BN为10米,求路灯的高度MN是多少米?(取=1.414,=1.732,结

5、果保留两位小数) 练习3(2009眉山中考)海船以5海里/小时的速度向正向行驶,在A处看见灯塔B在海船的北偏东60方向,2小时后船行驶到C处,发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向,求此时灯塔B到C处的距离。 例题4(2009中考)如图,某人在D处测得山顶C的仰角为30o,向前走200米来到山脚A处,测得山坡AC的坡度为i=10.5,求山的高度(不计测角仪的高度,结果保留整数) 练习4(2008中考)如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园的滑滑板的倾角由45降为30,已知原滑滑板AB的长为5米,点D、B、C 在同一水平地面上(1)改善后滑滑板会加长多少?(精确到0.01)(2)若滑滑板的正前方

6、能有3米长的空地就能保证安全,原滑滑板的前方有6米长的空地,像这样改造是否可行?说明理由。 (参考数据: ) 家庭作业10.(2008庆阳中考)如图,一架梯子斜靠在墙上,若梯子底端到墙的距离=3米,则梯子长AB = 米.答案:411.(2007中考)小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15的倾斜角斜靠在栏杆上,严重影响了同学们的行走安全。他自觉地将拖把挪动位置,使其的倾斜角为75,如果拖把的总长为1.80m,则小明拓宽了行路通道_m(结果保留三个有效数字,参考数据:sin1526,cos150.97) 答案:1.28三、解答题12.(2009庆阳中考)如图(1),一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定

7、如图(2)是如图(1)中窗子开到一定位置时的平面图,若AOB=45, OAB=30,OA=60cm,求点B到OA边的距离(,结果精确到整数)【解析】如图,过点B作BCOA于点C AOB=45,CBO=45,BC=OC 设BC=OC=x,OAB=30, AC=BCtan60=x OC+CA=OA,x+x=60, x=22(cm) 即点B到OA 边的距离是22 cm13.(2009中考)如图,数学活动小组来到校园的一盏路灯下测量路灯的高度,测角仪AB的高度为1.5米,测得仰角为,点B到电灯杆底端N的距离BN为10米,求路灯的高度MN是多少米?(取=1.414,=1.732,结果保留两位小数)【解析

8、】在直角三角形中,米MP=10tan300 =105.773米因为米所以MN=1.5+5.77=7.27米 答:路灯的高度为7.27米14.(2009眉山中考)海船以5海里/小时的速度向正向行驶,在A处看见灯塔B在海船的北偏东60方向,2小时后船行驶到C处,发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向,求此时灯塔B到C处的距离。【解析】如图,过B点作BDAC于DDAB906030,DCB904545设BDx,在RtABD中,ADtan30在RtBDC中,BDDCx BC又AC5210 , 得, (海里)答:灯塔B距C处海里15.(2009中考)如图,某人在D处测得山顶C的仰角为30o,向前走200米来到山脚A处,测得山坡AC的坡度为i=10.5,求山的高度(不计测角仪的高度,结果保留整数)【解析】设山高BC =,则AB=, ,得, 解得米16.(2008中考)如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园的滑滑板的倾角由45降为30,已知原滑滑板AB的长为5米,点D、B、C 在同一水平地面上(1)改善后滑滑板会加长多少?(精确到0.01)(2)若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全,原滑滑板的前方有6米长的空地,像这样改造是否可行?说明理由。 (参考数据: )【解析】(1)在中,中改善后的滑滑板会加长2.07m(2)这样改造能行因为,而

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