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1、关于定积分及其应用第1页，讲稿共113张，创作于星期日第一节第一节 定积分的概念定积分的概念v重点：定积分的概念和性质重点：定积分的概念和性质v难点：定积分概念的理解难点：定积分概念的理解第2页，讲稿共113张，创作于星期日abxyo实例实例1 1 （求曲边梯形的面（求曲边梯形的面 积）积）一、两个实例一、两个实例第3页，讲稿共113张，创作于星期日 在初等数学中，以矩形面积为基础，解决了较在初等数学中，以矩形面积为基础，解决了较复杂的直边图形的面积问题复杂的直边图形的面积问题.现在的曲边梯形有一现在的曲边梯形有一条边是曲线，所以其面积就不能按照初等数学的方条边是曲线，所以其面积就不能按照初等
2、数学的方法来计算法来计算.困难就在于曲边梯形底边（区间）上的高是变困难就在于曲边梯形底边（区间）上的高是变化的，而且这种变化规律不是线性的化的，而且这种变化规律不是线性的.但由于曲线是连续但由于曲线是连续的，所以当在上的变化很小时，相应的高的变化也很的，所以当在上的变化很小时，相应的高的变化也很小小.由于这个想法，可以用一组平行于轴的直线把曲边由于这个想法，可以用一组平行于轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，只要分割的充分细，梯形分割成若干个小曲边梯形，只要分割的充分细，每个小曲边梯形就很窄，则其高的变化就很小，每个小曲边梯形就很窄，则其高的变化就很小，第4页，讲稿共113张，创作于星期
3、日abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）第5页，讲稿共113张，创作于星期日曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，第6页，讲稿共113张，创作于星期日曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为曲边梯形面积为第7页，讲稿共113张，创作于星期日实例二、求变速直线运动的路程实例二、求变速直线运动的路程思路：把整段时间分割成若干个小段，每小思路：把整段时间分割成若干个小段，每小段上速度看作不变。求出
4、各小段的路程再相段上速度看作不变。求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值。最后通过对时间加，便得到路程的近似值。最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值。的无限细分过程求得路程的精确值。第8页，讲稿共113张，创作于星期日（1）分割）分割部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（2）求和）求和（3）取极限）取极限路程的精确值路程的精确值第9页，讲稿共113张，创作于星期日二、定积分的定义二、定积分的定义定义定义第10页，讲稿共113张，创作于星期日被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和第11页，讲稿共113张，创作于
5、星期日注意：注意：第12页，讲稿共113张，创作于星期日定理定理1 1定理定理2 2三、存在定理三、存在定理第13页，讲稿共113张，创作于星期日四、定积分的几何意义四、定积分的几何意义第14页，讲稿共113张，创作于星期日几何意义：几何意义：ab第15页，讲稿共113张，创作于星期日 例例1、用定积分表示下列图中阴影部分的面积、用定积分表示下列图中阴影部分的面积第16页，讲稿共113张，创作于星期日第17页，讲稿共113张，创作于星期日解：根据定积分的几何意义，解题如下：解：根据定积分的几何意义，解题如下：第18页，讲稿共113张，创作于星期日第19页，讲稿共113张，创作于星期日对定积分的
6、对定积分的补充规定补充规定:说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小且不考虑积分上下限的大小五五 定积分的性质定积分的性质第20页，讲稿共113张，创作于星期日证证性质性质1 1第21页，讲稿共113张，创作于星期日证证性质性质2 2第22页，讲稿共113张，创作于星期日例例 若若（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）则则性质性质3 3第23页，讲稿共113张，创作于星期日证证性质性质4 4第24页，讲稿共113张，创作于星期日证证由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知性质性质5 5（
7、定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式第25页，讲稿共113张，创作于星期日使使即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：第26页，讲稿共113张，创作于星期日 第二节第二节 微积分基本公式微积分基本公式重点：牛顿重点：牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式难点：难点：积分上限的函数积分上限的函数第27页，讲稿共113张，创作于星期日变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为一、问题的提出一、问题的提出第28页，讲稿共113张，创作于星期日考察定积分考察
8、定积分记记积分上限函数积分上限函数二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数第29页，讲稿共113张，创作于星期日积分上限函数的性质积分上限函数的性质证证第30页，讲稿共113张，创作于星期日由积分中值定理得由积分中值定理得第31页，讲稿共113张，创作于星期日第32页，讲稿共113张，创作于星期日第33页，讲稿共113张，创作于星期日第34页，讲稿共113张，创作于星期日 （2）第35页，讲稿共113张，创作于星期日第36页，讲稿共113张，创作于星期日分母的导数为分母的导数为所以有所以有第37页，讲稿共113张，创作于星期日定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）证证三、
9、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式第38页，讲稿共113张，创作于星期日令令令令牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式第39页，讲稿共113张，创作于星期日微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：注意注意求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.第40页，讲稿共113张，创作于星期日例计算下列定积分例计算下列定积分（1）(2)(3)(4)(5)第41页，讲稿共113张，创作于星期日第42页，讲稿共113张，创作于星期日第43页，讲稿共113张，创作于星期日第44页，讲稿共113张，创作于星期日 第三节第三节 积分的换元法积分的换元法 重点与难点：重点与难点：掌握定积分的换元
10、积分公式掌握定积分的换元积分公式 牛顿莱布尼茨公式把定积分的计算问转化牛顿莱布尼茨公式把定积分的计算问转化为求原函数（不定积分）的问题，因而求不为求原函数（不定积分）的问题，因而求不定积分的各种具体方法经过适当的变化，都可定积分的各种具体方法经过适当的变化，都可用于求定积分，本节我们来学习定积分的换元用于求定积分，本节我们来学习定积分的换元法法.第45页，讲稿共113张，创作于星期日第46页，讲稿共113张，创作于星期日第47页，讲稿共113张，创作于星期日 解法解法2要比解法要比解法1简便些，因为它省去了变量回代简便些，因为它省去了变量回代这一步。这一步。一般的，定积分的换元法可表述为：一般
11、的，定积分的换元法可表述为：第48页，讲稿共113张，创作于星期日定积分的换元法有两个特点：定积分的换元法有两个特点：换成新变量换成新变量时，积分限也要换成相应于新变量时，积分限也要换成相应于新变量的积分限的积分限.即所谓的即所谓的“换元必换限换元必换限.”（）求出（）求出的一个原函数后，不必象不定积分那样再把原变量的一个原函数后，不必象不定积分那样再把原变量回代，而直接代入新变量回代，而直接代入新变量的上下限，然后相减就的上下限，然后相减就把原变量把原变量（1）用）用可以了。可以了。第49页，讲稿共113张，创作于星期日第50页，讲稿共113张，创作于星期日第51页，讲稿共113张，创作于星
12、期日第52页，讲稿共113张，创作于星期日第53页，讲稿共113张，创作于星期日第54页，讲稿共113张，创作于星期日第55页，讲稿共113张，创作于星期日 第四节第四节 定积分的分部积分法定积分的分部积分法重点与难点：重点与难点：熟练掌握定积分的分部积分公式熟练掌握定积分的分部积分公式第56页，讲稿共113张，创作于星期日把不定积分的分部积分公式把不定积分的分部积分公式添加上积分限，就得到定积添加上积分限，就得到定积 分的分部积分公式：分的分部积分公式：第57页，讲稿共113张，创作于星期日第58页，讲稿共113张，创作于星期日第59页，讲稿共113张，创作于星期日第60页，讲稿共113张，
13、创作于星期日第61页，讲稿共113张，创作于星期日 例例 求求 解：由例解：由例4的结果知的结果知当当时时，当当时，时，第62页，讲稿共113张，创作于星期日第63页，讲稿共113张，创作于星期日第64页，讲稿共113张，创作于星期日第65页，讲稿共113张，创作于星期日令令则则当当时，时，当当时时代入到代入到中得：中得：第66页，讲稿共113张，创作于星期日 第五节第五节 无穷区间上的广义积分无穷区间上的广义积分 重点与难点：重点与难点：广义积分的概念与计算广义积分的概念与计算第67页，讲稿共113张，创作于星期日第68页，讲稿共113张，创作于星期日第69页，讲稿共113张，创作于星期日显
14、然，当显然，当在在内变化时，内变化时，曲边体形的面积曲边体形的面积也随着也随着b的变化而变化的变化而变化 时，这个曲边梯形面积的极限就应该是时，这个曲边梯形面积的极限就应该是“开口曲边梯形开口曲边梯形”的面积，即的面积，即当当第70页，讲稿共113张，创作于星期日第71页，讲稿共113张，创作于星期日二、二、广义积分的定义广义积分的定义第72页，讲稿共113张，创作于星期日第73页，讲稿共113张，创作于星期日第74页，讲稿共113张，创作于星期日第75页，讲稿共113张，创作于星期日第76页，讲稿共113张，创作于星期日为了书写方便起见，我们规定：为了书写方便起见，我们规定：记为记为写为写为
15、第77页，讲稿共113张，创作于星期日第78页，讲稿共113张，创作于星期日第六节第六节 定积分应用举例定积分应用举例重点与难点：重点与难点：正确理解定积分的元素法；正确理解定积分的元素法；熟练掌握用元素法求平面图形的面积和旋熟练掌握用元素法求平面图形的面积和旋转体的体积；转体的体积；会求平面曲线的弧长、变力作功和函数的会求平面曲线的弧长、变力作功和函数的平均值。平均值。第79页，讲稿共113张，创作于星期日 回顾回顾曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题一、问题的提出一、问题的提出ab xyo第80页，讲稿共113张，创作于星期日（3）求和求和 得得A的近似值的近似值 面积表示为定积分的步
16、骤是：面积表示为定积分的步骤是：第81页，讲稿共113张，创作于星期日ab xyo（4）求极限求极限 得得A的精确值的精确值提示提示面面积积元元素素第82页，讲稿共113张，创作于星期日第83页，讲稿共113张，创作于星期日微元法的一般步骤：微元法的一般步骤：第84页，讲稿共113张，创作于星期日这个方法通常叫做这个方法通常叫做微元法微元法应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等水压力；引力和平均值等第85页，讲稿共113张，创作于星期日曲边梯形的面积曲边梯形的面积平面图形的面积平面图形的面积二、平面图形的面
17、积二、平面图形的面积第86页，讲稿共113张，创作于星期日解解 两曲线的交点为两曲线的交点为面积元素面积元素选选 为积分变量为积分变量第87页，讲稿共113张，创作于星期日第88页，讲稿共113张，创作于星期日第89页，讲稿共113张，创作于星期日第90页，讲稿共113张，创作于星期日第91页，讲稿共113张，创作于星期日 旋转体旋转体就是由一个就是由一个平面图形平面图形饶这平面内一条饶这平面内一条直直线线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台三、旋转体的体积三、旋转体的体积第92页，讲稿共113张，创作于星期日xyo旋转体的体积为旋转体的
18、体积为第93页，讲稿共113张，创作于星期日解解直线直线 方程为方程为第94页，讲稿共113张，创作于星期日第95页，讲稿共113张，创作于星期日第96页，讲稿共113张，创作于星期日第97页，讲稿共113张，创作于星期日第98页，讲稿共113张，创作于星期日弧长元素弧长元素弧长弧长 四、平面曲线的弧长四、平面曲线的弧长第99页，讲稿共113张，创作于星期日解解所求弧长为所求弧长为第100页，讲稿共113张，创作于星期日第101页，讲稿共113张，创作于星期日如图所示如图所示第102页，讲稿共113张，创作于星期日第103页，讲稿共113张，创作于星期日点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停
19、暂停解解建立坐标系如图建立坐标系如图第104页，讲稿共113张，创作于星期日这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为功元素为功元素为(千焦千焦)第105页，讲稿共113张，创作于星期日第106页，讲稿共113张，创作于星期日等份，每个小区间的长度为等份，每个小区间的长度为由于由于连续，所以当连续，所以当足够大时，我们可把足够大时，我们可把在区间在区间上看作常数上看作常数，先把区间先把区间用分点用分点第107页，讲稿共113张，创作于星期日第108页，讲稿共113张，创作于星期日第109页，讲稿共113张，创作于星期日第110页，讲稿共113张，创作于星期日第111页，讲稿共113张，创作于星期日 这就是说，纯电阻电路中正弦交流电的平这就是说，纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流电压峰值乘积的一半均功率等于电流电压峰值乘积的一半.通常交流电器上注明的功率就是平均功率通常交流电器上注明的功率就是平均功率第112页，讲稿共113张，创作于星期日感感谢谢大大家家观观看看第113页，讲稿共113张，创作于星期日