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1、电路第八章演示文稿第1页，共42页，编辑于2022年，星期日 8.1 复数复数 1.复数的表示形式复数的表示形式+1+j0FbaFb+1+ja0|F|代数形式代数形式：F=a+j b三角形式：三角形式：向量形式向量形式：一个复数：一个复数F在复平面上可以用在复平面上可以用一条从原点一条从原点O指向指向F对应坐标点的有向线对应坐标点的有向线段表示。段表示。取复数的实部和虚部分别表示为：取复数的实部和虚部分别表示为：ReF=a，ImF=b ab|F|:称为复数的模称为复数的模:称为复数的辐角称为复数的辐角第2页，共42页，编辑于2022年，星期日 指数形式：指数形式：极坐标形式是复数的三角形式和指
2、数形式的简写极坐标形式是复数的三角形式和指数形式的简写利用欧拉公式：利用欧拉公式：Fb+1+ja0|F|极坐标形式：极坐标形式：第3页，共42页，编辑于2022年，星期日在正在正弦电路的分析中，常常涉及到复数的代数形式与极坐标形弦电路的分析中，常常涉及到复数的代数形式与极坐标形式之间的相互转换式之间的相互转换1）F=a+j b 2）F=a+j b *两种转换中均要注意两种转换中均要注意 所在的象限，从而确定所在的象限，从而确定 的大小的大小第4页，共42页，编辑于2022年，星期日例：例：将以下复数转换为极坐标形式将以下复数转换为极坐标形式 F1=3+j4；F2=3 3 j4 4；F3 =3+
3、j4；F4=3 3 j4 4 解：解：有有 F1=3+j4=553.13F2=3 j4=5 53.13F3=3+3+j4 F4=3 3 j4=(3+(3+j4)=553.13=5 126.87由由=5126.87 =(3 (3 j4)=5 53.13+1+j0 3+4F3=126.87 4F4=126.87 第5页，共42页，编辑于2022年，星期日a.复数相加和相减的代数运算必须用代数形式进行复数相加和相减的代数运算必须用代数形式进行b.复数的加减运算也可用四边形法复数的加减运算也可用四边形法则在复平面上进行则在复平面上进行F=F1+F2+1+j0F1F22.复数的运算复数的运算 复数的加减
4、运算复数的加减运算例如：设例如：设F1=a1+jb1,F2=a2+jb2,则则第6页，共42页，编辑于2022年，星期日 复数的乘除运算复数的乘除运算a.复数的乘除运算可以用代数形式进行复数的乘除运算可以用代数形式进行例如：设例如：设F1=a1+jb1,F2=a2+jb2,则则 第7页，共42页，编辑于2022年，星期日b.复数的乘除运算也可以用指数形式和极坐标进行复数的乘除运算也可以用指数形式和极坐标进行 两个复数的相乘，用指数形式进行两个复数的相乘，用指数形式进行,有有 两个复数的相除，用极坐标形式有两个复数的相除，用极坐标形式有用极坐标形式表示用极坐标形式表示,有有模相乘模相乘 辐角相加
5、辐角相加 第8页，共42页，编辑于2022年，星期日复数复数 ej F逆时针旋转一个角度逆时针旋转一个角度 ，模不变，模不变Fej 旋转因子旋转因子 另有另有 F=|F|,Fej Fej Fj+10=cos +jsin =1 则则 =|F|1 =|F|+第9页，共42页，编辑于2022年，星期日+j、-j、-1 都可以看成旋转因子都可以看成旋转因子 由于由于所以所以 =/2 /2 j,=/2 /2 j,=1,e j =Fj+10jF第10页，共42页，编辑于2022年，星期日 8.2 正弦量正弦量 凡按正弦（余弦）规律变化的电压、电流都称正弦量。凡按正弦（余弦）规律变化的电压、电流都称正弦量。
6、*本书用余弦函数表示正旋量本书用余弦函数表示正旋量正弦量的优点：正弦量的优点：i)正弦量易于用旋转电机获得，为世界各国电力系统采用。正弦量易于用旋转电机获得，为世界各国电力系统采用。ii)在线性电路中，只要激励是同频率的正弦量，则响应亦是在线性电路中，只要激励是同频率的正弦量，则响应亦是 同频率的正弦量，这为应用相量法提供了可能。同频率的正弦量，这为应用相量法提供了可能。iii)正弦量是周期量的特例，是分析其他周期量的基础。正弦量是周期量的特例，是分析其他周期量的基础。第11页，共42页，编辑于2022年，星期日Ri 1.正弦量的三要素正弦量的三要素(1)Im 幅值幅值 (振幅、振幅、最大值最
7、大值)(3)i=(t+i)|t=0 初相位初相位(初相初相)(t+i):称为称为i(t)相位角或相位相位角或相位(2(2)角频率，单位：弧度角频率，单位：弧度/秒秒(rad/s)以电流为例以电流为例正弦量的三要素正弦量的三要素 T=2，=2 /T=2 f,f 的单位为赫兹的单位为赫兹Hz(1/s)与与正弦量的周期正弦量的周期T和频率和频率f 的关系：的关系：i与计时零点选择有关，通常与计时零点选择有关，通常|i|，即在主值范围取值。，即在主值范围取值。第12页，共42页，编辑于2022年，星期日i(t)=Imcos(t+i)I Imi=0 ti 2 i tiImi 0 i第13页，共42页，编
8、辑于2022年，星期日2.同频率正弦量的相位差同频率正弦量的相位差(phase difference)设设 u(t)=Umcos(t+u),i(t)=Imcos(t+i)u与与i 的相位差的相位差 =(t+u)-(t+i)=u-i常数常数 0，u 领先领先(超前超前)i，或，或 i 落后落后(滞后滞后)u 0，i 领先领先(超前超前)u，或，或u 落后落后(滞后滞后)i*不同频率正弦量无固定的相位关系不同频率正弦量无固定的相位关系 tu,iu i u i 0第14页，共42页，编辑于2022年，星期日规定：规定：|(180)特殊相位关系：特殊相位关系：=0，同相：同相：tu,i u i0 =(
9、180o)，反相：，反相：tu,iu i0 tu,iu i0 =90，称为正交，称为正交 u 领先领先 i 90或或 i 落后落后 u 90 第15页，共42页，编辑于2022年，星期日3.正弦量的有效值正弦量的有效值(effective value)i）周期量的有效值：）周期量的有效值：是一个在效应（如热效应）上与周期是一个在效应（如热效应）上与周期 量在一个周期内的平均效应相等的直流量。量在一个周期内的平均效应相等的直流量。令令设周期电流设周期电流i 通过电阻通过电阻R，电阻一周期内吸收的能量为：电阻一周期内吸收的能量为：Ri设直流电流设直流电流I通过电阻通过电阻R，电阻在时间电阻在时间T
10、内吸收的能量为：内吸收的能量为：RI解得：解得：此即有效值的定义，此即有效值的定义，又称为又称为均方根值均方根值电压有效值为电压有效值为 第16页，共42页，编辑于2022年，星期日设设 i(t)=Imcos(t+i)，ii）正弦电流、电压的有效值）正弦电流、电压的有效值 即有即有 因此，因此，I 可以替代可以替代Im作为正弦量的一个要素，即作为正弦量的一个要素，即k工程中一般说正弦电压、电流的大小都指有效值。如测量工程中一般说正弦电压、电流的大小都指有效值。如测量 仪表上的刻度，设备名牌上的额定电压、电流均指有效值。仪表上的刻度，设备名牌上的额定电压、电流均指有效值。但电器设备的绝缘水平但电
11、器设备的绝缘水平 耐压值按最大值考虑。耐压值按最大值考虑。注意注意:只适用正弦量，其他周期量的最大值与有效值之只适用正弦量，其他周期量的最大值与有效值之 间无间无 倍的关系。倍的关系。又又所以所以 第17页，共42页，编辑于2022年，星期日8.3相量法的基础相量法的基础 1.相量法的理论基础相量法的理论基础 在线性电路中，在线性电路中，若激励是正弦量若激励是正弦量，则电路中各支路的电压和电流的，则电路中各支路的电压和电流的稳态响应将是同频率的正弦量；若电路中有多个同频率激励源时，根稳态响应将是同频率的正弦量；若电路中有多个同频率激励源时，根据线性电路的叠加定理，则据线性电路的叠加定理，则电路
12、的全部稳态响应都将是同频率的正电路的全部稳态响应都将是同频率的正弦量弦量 这是一个基本的结果。这是一个基本的结果。从电路分析中常涉及到的计算看：有正弦量乘常数（欧姆定律）从电路分析中常涉及到的计算看：有正弦量乘常数（欧姆定律），正弦量的微分、积分（电感、电容电路的电压电流约束关系），正弦量的微分、积分（电感、电容电路的电压电流约束关系），同频率正弦量的代数和（，同频率正弦量的代数和（KCL和和KVL）等运算，其结果仍是）等运算，其结果仍是一个同频率的正弦量。一个同频率的正弦量。基于以上原因，在同频正弦量的电路计算中，基于以上原因，在同频正弦量的电路计算中，是已知的常数，正弦是已知的常数，正弦量
13、的三要素已退化成两个要素，有效值（最大值）和初相，注意到量的三要素已退化成两个要素，有效值（最大值）和初相，注意到一个复数（相量）也有两个要素：模和辐角，这使得可用复数表征一个复数（相量）也有两个要素：模和辐角，这使得可用复数表征一个正弦量的信息（要素）。一个正弦量的信息（要素）。电工技术中的非正弦周期函数，可以分解成频率为整数倍的正弦电工技术中的非正弦周期函数，可以分解成频率为整数倍的正弦函数的无穷级数，最终归结为这里讨论的正弦稳态分析。函数的无穷级数，最终归结为这里讨论的正弦稳态分析。第18页，共42页，编辑于2022年，星期日2.正弦量的相量正弦量的相量复函数复函数则则由由i的有效值和初
14、的有效值和初相角构成的复常数相角构成的复常数即即i与与构成了一一对应关系构成了一一对应关系 称称 称为正弦量称为正弦量 i(t)的的相量相量,并记为并记为 第19页，共42页，编辑于2022年，星期日解解：已知已知例例1 1.试用相量表示试用相量表示 i,u。i=141.4cos(314t+300)Au=311.1cos(314t-600)V正弦量的相量表示正弦量的相量表示:相量的模表示正弦量的有效值相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位相量的幅角表示正弦量的初相位对于正弦电压对于正弦电压 解解：例例2.试写出电流的瞬时值表达式。试写出电流的瞬时值表达式。总之总之,由正弦量与它
15、相应相量之间的一一对应关系由正弦量与它相应相量之间的一一对应关系,给出一个正弦量给出一个正弦量,就可以写出它相应的相量就可以写出它相应的相量;反之反之,知道一个正弦量的相量知道一个正弦量的相量,则该正弦则该正弦量也就被确定。量也就被确定。第20页，共42页，编辑于2022年，星期日 3.相量图相量图 i u相量图相量图:相量是一个复数，它在复平面上的图形称为相量图。相量是一个复数，它在复平面上的图形称为相量图。第21页，共42页，编辑于2022年，星期日4.正弦量运算转换为相应相量运算正弦量运算转换为相应相量运算 (1)同频率正弦量的代数和同频率正弦量的代数和而而所以：所以：上对任何上对任何t
16、 都成立，所以总有：都成立，所以总有：第22页，共42页，编辑于2022年，星期日拓展到拓展到n个同频率正弦量的代数和，有：个同频率正弦量的代数和，有：即，正弦量的加减运算对应着其相应相量的加减运算。即，正弦量的加减运算对应着其相应相量的加减运算。第23页，共42页，编辑于2022年，星期日i2i1i解：解：1）由）由KCL，有：，有：例例1：电路如图，电路如图，求电流求电流i。解：解：2）由已知，有：）由已知，有：则则 i 的相量为：的相量为：所以所以第24页，共42页，编辑于2022年，星期日同同频频正正弦弦量量的的加加、减减运运算算可可借借助助相相量量图图进进行行。相相量量图图在在正正弦
17、弦稳稳态态分分析析中有重要作用，尤其适用于定性分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。+1+j+1j例例2：求求 u=u1+u2。解：解：有：有：第25页，共42页，编辑于2022年，星期日（2）正弦量的微分）正弦量的微分 证明：证明：的相量为：的相量为：问题问题：已知正弦电流：已知正弦电流i（它的相量为（它的相量为）,di/dt是与是与i 同频率的同频率的正弦量，求正弦量，求di/dt的相量的相量。结论结论：di/dt的相量为的相量为 则则第26页，共42页，编辑于2022年，星期日(3)正弦量得积分正弦量得积分证明：证明：设设问题问题：已知正弦电流：已知正弦电流i（它的相量为（它的相量为）,
18、正弦量，求正弦量，求是与是与i 同频率的同频率的的相量的相量。结论结论：的相量为的相量为 即：即：第27页，共42页，编辑于2022年，星期日小结小结 正弦量正弦量相量相量时域时域 复数域复数域 同频正弦量的运算转化为相应相量的运算同频正弦量的运算转化为相应相量的运算 di/dt 的相量为的相量为 的相量为的相量为 第28页，共42页，编辑于2022年，星期日例例3：已知：已知：求电流求电流 i。解：解：由由KCL:i=i1+i2，故，故ii2i1LCR+j+10平行四边形法则平行四边形法则第29页，共42页，编辑于2022年，星期日8.4 电路定律的相量形式电路定律的相量形式1.KCL、KV
19、L的相量形式的相量形式2.R、L、C 电路元件电压电流关系的相量形式电路元件电压电流关系的相量形式 电阻元件电阻元件已知：已知：则则故故U+-u(t)i(t)R第30页，共42页，编辑于2022年，星期日即即电阻的电压与电流同相位电阻的电压与电流同相位相量模形相量模形+R第31页，共42页，编辑于2022年，星期日 电感元件电感元件电压超前电流电压超前电流90 相量图相量图Ui(t)u(t)L+-时域模型时域模型+-相量模型相量模型j L第32页，共42页，编辑于2022年，星期日 电容元件电容元件U=I/C电压滞后电流电压滞后电流90 相量图相量图-时域模型时域模型i(t)u(t)C+-+相
20、量模型相量模型第33页，共42页，编辑于2022年，星期日线性受控源亦可用相量法处理线性受控源亦可用相量法处理 时域：时域：uk=uj相量形式：相量形式：小结小结：在在关联关联参考方向下参考方向下相量形式的欧姆定律相量形式的欧姆定律以以VCVS为例为例电压与电流同相位电压与电流同相位电压超前电流电压超前电流90 电压滞后电流电压滞后电流90 R:L:C:第34页，共42页，编辑于2022年，星期日例例1.电路如图，已知电路如图，已知 求稳态解求稳态解 i。解：解：由由KVL，有，有从数学方法上，可用待定系数法求它的特解，即稳态解从数学方法上，可用待定系数法求它的特解，即稳态解i。现用。现用相量
21、法：相量法：对上面的方程取相量，有对上面的方程取相量，有 则则 L+iRCus+uR +uc uL +R+j L+第35页，共42页，编辑于2022年，星期日解：解：例例2.电路如图，已知电路如图，已知 R=3 ，L=1H，C=1 F，=314 rad/s，求求uad、ubd。i+buLLaisRcd+C+uR uc b+aRcd+j L第36页，共42页，编辑于2022年，星期日例例3.电路如图，各电流表的读数（有效值）分别为电路如图，各电流表的读数（有效值）分别为 A1：5 A、A2：20 A、A3：25 A，求电流表，求电流表A、A4 的读数。的读数。令令则则由由 KCL所以，所以，A
22、的读数是的读数是7.07A，A4 的读数是的读数是5A 解解:+RAA1A2A4A3j L第37页，共42页，编辑于2022年，星期日例例4.电路如图，已知电压表的读数（有效值）分别是电路如图，已知电压表的读数（有效值）分别是 V2：60 V、V3：20 V，Us=50 V，求电压表，求电压表V1 的读数。的读数。令令则则由由 KVL:即即 UR=30 V 解：解：L+RC+V1V2V3+第38页，共42页，编辑于2022年，星期日用相量图求解用相量图求解所以所以+1+j0第39页，共42页，编辑于2022年，星期日例例5.电路由电压源电路由电压源us=100cos(1000t)V,R和和L=
23、0.025H串联组成。串联组成。电感上最大电压为电感上最大电压为35.4V，试求电阻，试求电阻R的值和电流的表达式。的值和电流的表达式。解法一解法一：解析法解析法L=10000.025=25 由由KVL:R=66.1 +jLR第40页，共42页，编辑于2022年，星期日解法二解法二：平行四边形法平行四边形法0+1j第41页，共42页，编辑于2022年，星期日小结：小结：1.求求正正弦弦稳稳态态解解是是求求微微分分方方程程的的特特解解，应应用用相相量量法法将将该该问题转化为求解复数代数方程问题。问题转化为求解复数代数方程问题。2.引引入入电电路路的的相相量量模模型型，不不必必列列写写时时域域微微分分方方程程，而而直直接接列列写写相量形式的代数方程。相量形式的代数方程。3.采采用用相相量量法法后后，电电阻阻电电路路中中所所有有网网络络定定理理和和一一般般分分析析方法都可应用于交流电路。方法都可应用于交流电路。第42页，共42页，编辑于2022年，星期日