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1、电磁场和电磁波第讲第1页，共34页，编辑于2022年，星期日2、矢量场的通量、矢量场的通量 问题问题：如何定量描述矢量场的大小？如何定量描述矢量场的大小？引入通量的概念。引入通量的概念。通量的概念通量的概念：其中：其中：面积元矢量；面积元矢量；面积元的法向单位矢量；面积元的法向单位矢量；穿过面积元穿过面积元 的通量；的通量；如果曲面如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面法矢由闭合曲面内指向外，是闭合的，则规定曲面法矢由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：矢量场对闭合曲面的通量是：面积元矢量面积元矢量第2页，共34页，编辑于2022年，星期日通过闭合曲面有通过闭合曲面有净的矢量线穿出净的矢量
2、线穿出有净的矢量有净的矢量线进入线进入进入与穿出闭合曲面进入与穿出闭合曲面的矢量线相等的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从闭合曲面的通量从宏观上宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。曲面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义通量的物理意义第3页，共34页，编辑于2022年，星期日3、矢量场的散度、矢量场的散度 为了定量研究为了定量研究场与源场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关
3、系。利用极限方法得到的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：这一关系：称为矢量场的称为矢量场的散度散度。散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。积之比的极限。第4页，共34页，编辑于2022年，星期日柱面坐标系柱面坐标系球面坐标系球面坐标系直角坐标系直角坐标系散度的表达式散度的表达式：散度的有关公式散度的有关公式：第5页，共34页，编辑于2022年，星期日直角坐标系下散度表达式的推导直角坐标系下散度表达式的推导 由此可知，穿出前、后两侧面的净通由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为
4、量值为oxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算FzzDxDyDP 不失一般性，令包围不失一般性，令包围P点的微体积点的微体积 V 为一直平行六面体，如图所示。为一直平行六面体，如图所示。则则第6页，共34页，编辑于2022年，星期日根据定义，则得到直角坐标系中的散度根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为表达式为 同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P 穿出该穿出该六面体的净通量为六面体的净通量为第7页，共34页，编辑于2022年，星期日4、散度定理、散度定理体积的剖分体积的剖分VS1S2en2en1S 从散度的定义出发
5、，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即 散度定理是闭合曲面积分散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。在电磁理论中有着广泛的应用。第8页，共34页，编辑于2022年，星期日例例1.6 己知矢量场己知矢量场 中，有一个边长为中，有一个边长为单位长度的正六面体，它位于第一象限内，其中一个单位长度的正六面体，它位于第一象限内，其中一个顶点在坐标原点。试求从该正六面体穿出的净通量，
6、顶点在坐标原点。试求从该正六面体穿出的净通量，并验证散度定理。并验证散度定理。例例1.6 己知矢量场己知矢量场 中，有一个边长为中，有一个边长为单位长度的正六面体，它位于第一象限内，其中一个单位长度的正六面体，它位于第一象限内，其中一个顶点在坐标原点。试求从该正六面体穿出的净通量，顶点在坐标原点。试求从该正六面体穿出的净通量，并验证散度定理。并验证散度定理。第9页，共34页，编辑于2022年，星期日解：先计算六面体的净通量，解：先计算六面体的净通量，前表面：前表面：左侧面：左侧面：解：先计算六面体的净通量，解：先计算六面体的净通量，前表面：前表面：后表面：后表面：第10页，共34页，编辑于20
7、22年，星期日右侧面：右侧面：顶面：顶面：底面：底面：闭合面总通量：闭合面总通量：右侧面：右侧面：顶面：顶面：底面：底面：闭合面总通量：闭合面总通量：第11页，共34页，编辑于2022年，星期日面积分和体积分结果相同，从而验证了散度定理。面积分和体积分结果相同，从而验证了散度定理。验证通量定理，由于验证通量定理，由于面积分和体积分结果相同，从而验证了散度定理。面积分和体积分结果相同，从而验证了散度定理。第12页，共34页，编辑于2022年，星期日1.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度 1.矢量场的环流与旋涡源矢量场的环流与旋涡源 例如：流速场例如：流速场 不是所有的矢量场都由通量源激发。
8、存在另一类不同于通量源的矢不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中沿闭合路径的积分不为零。为零。但在场所定义的空间中沿闭合路径的积分不为零。第13页，共34页，编辑于2022年，星期日 如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即：比，即：上式建立了磁场的环流与电流的关系。上式建立了磁场的环流与电流的关系。第14页，共34页，编辑于2022年，星期日如
9、果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场无旋场，又称，又称为为保守场保守场。如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢有旋矢量场量场，能够激发有旋矢量场的源称为，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源旋涡源。电流是磁场的旋涡。电流是磁场的旋涡源。源。环流的概念环流的概念 矢量场对于闭合曲线矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合曲线的环流定义为该矢量对闭合曲线C 的线积分，即的线积分，即第15页，共34页，编辑于2022年，星期日 过点过点M 作一微小曲面作一微小
10、曲面 S，它的边界曲线记为，它的边界曲线记为C，曲面的法线，曲面的法线方向方向n与曲线的绕向成右手螺旋法则。当与曲线的绕向成右手螺旋法则。当 S0时，极限时，极限称为矢量场在点称为矢量场在点M 处沿方向处沿方向n的的环流面密度环流面密度。矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。量场的旋度。特点特点：其值与点：其值与点M 处的方向处的方向n有关。有关。2、矢量场的旋度、矢量场的旋度（）（1）环流面密度）环流面密
11、度第16页，共34页，编辑于2022年，星期日概念概念：矢量场在矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为点处的旋度为一矢量，其数值为M点的环流面点的环流面 密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法 线方向，即线方向，即物理意义物理意义：旋涡源密度矢量。旋涡源密度矢量。性质性质：（2）矢量场的旋度）矢量场的旋度第17页，共34页，编辑于2022年，星期日oyDz DyCMzx1234计算计算 的示意图的示意图 直角坐标系中旋度的表达式直角坐标系中旋度的表达式如图，作一包围点如图，作一包围点 的边长的边长为为 和和 且平行于且平行于yz平面
12、的矩形回平面的矩形回路。由定义取环流在路。由定义取环流在x方向的分量方向的分量 旋度一般应为空间矢量，为讨论旋度一般应为空间矢量，为讨论简单，我们先计算其沿简单，我们先计算其沿x x方向的分量。方向的分量。第18页，共34页，编辑于2022年，星期日式中式中代入代入第19页，共34页，编辑于2022年，星期日得到得到第20页，共34页，编辑于2022年，星期日同理可得同理可得故得故得于是有于是有第21页，共34页，编辑于2022年，星期日旋度的计算公式旋度的计算公式:直角坐标系直角坐标系圆柱面坐标系圆柱面坐标系球面坐标系球面坐标系第22页，共34页，编辑于2022年，星期日旋度的有关公式旋度的
13、有关公式：矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零第23页，共34页，编辑于2022年，星期日3、Stokes定理定理 Stokes定理是闭合曲线积分与曲定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，在电面积分之间的一个变换关系式，在电磁理论中有广泛的应用。磁理论中有广泛的应用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等结果抵消相等结果抵消 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即场的旋度在该闭合曲线所围的曲面
14、的通量，即第24页，共34页，编辑于2022年，星期日4、散度和旋度的区别、散度和旋度的区别 第25页，共34页，编辑于2022年，星期日 旋度有一个重要性质：旋度的散度恒为旋度有一个重要性质：旋度的散度恒为0。即。即 这在直角坐标下很容易证明这在直角坐标下很容易证明第26页，共34页，编辑于2022年，星期日例例1.9 在矢量场在矢量场 中，有一个三中，有一个三角形围线角形围线C位于位于xy平面上，试计算环流平面上，试计算环流 ，并，并验证斯托克斯定理。验证斯托克斯定理。解：先计算闭合曲线上的积分解：先计算闭合曲线上的积分 在在 上，上，第27页，共34页，编辑于2022年，星期日第28页，
15、共34页，编辑于2022年，星期日而而结果与前面相同，从而验证了斯托克斯公式。结果与前面相同，从而验证了斯托克斯公式。第29页，共34页，编辑于2022年，星期日例例1.4.2 若某矢量场若某矢量场 场中有一半球面场中有一半球面S ，通过计算验证斯托克斯公式。，通过计算验证斯托克斯公式。解：在球坐标内，面元矢量为解：在球坐标内，面元矢量为 在直角坐标下的旋度为在直角坐标下的旋度为第30页，共34页，编辑于2022年，星期日因此有因此有第31页，共34页，编辑于2022年，星期日 另外，在另外，在xy平面内，闭合路径为平面内，闭合路径为 ，因此有环流，因此有环流第32页，共34页，编辑于2022年，星期日例例1.7 求矢量场求矢量场 在点在点M(1,2,1)处的旋度以及沿矢径方向的环量强度。处的旋度以及沿矢径方向的环量强度。将将M点坐标代入，得点坐标代入，得解：解：第33页，共34页，编辑于2022年，星期日由于由于M(1,2,1)点矢径方向为点矢径方向为第34页，共34页，编辑于2022年，星期日