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1、直线与椭圆的位置关系弦长问题晋江市养正中学 张开春 2020.12.24一、备考指导解析几何是高中数学的重要内容，高考主要考查直线与圆，椭圆、抛物线、双曲线的定义、标准方程和简单的几何性质，其中直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系是考查的重点；其中弦长问题、最值问题、参数范围问题、定点定值问题、共线问题、存在性问题等都是解析几何的主要问题。重视考查运动与变化时研究几何问题的基本观点，考查利用代数方法研究几何问题是基本方法。强调综合性，强调考查数学思想方法（数形结合，函数与方程，化归与转化，特殊与一般），强调考查推理论证能力和运算求解能力二、学情和教学问题诊断本次授课的学生来自养正中学高三（12）
2、班历史班的学生，学生基础一般，学生对圆锥曲线的基本性质有了一定认识，对直线与圆锥曲线的位置关系认识，从直线与圆的位置关系里有一定掌握，本节就从直线与椭圆的位置关系第一节课弦长问题开始，选取最基本的弦长问题，学生较易掌握的，从规范解析法，到条件的转化及弦长的应用开始. 直线与圆锥曲线的位置关系，都是综合题，学生因需掌握多个知识点而出现困难，不知道从哪一个方面入手，对问题及条件的关系需要进一步理解，并找到解决的点，强化转化与化归的思想，逐步提升学生的逻辑推理能力.教学中可能遇到的问题有：弦长公式推导，问题情境中条件的转化及判断出是弦长问题；计算化简的过程及综合问题最值的解决.三、教学目标分析基于上
3、述教材和学情分析，确定本节复习课的教学目标如下：1.掌握直线与椭圆中的弦长公式，能对弦长正确运算；2.能从问题情境中分析、转化为弦长问题，并能进一步处理最值问题，渗透转化与化归的思想，强化解析法.重点：直线与椭圆中的弦长公式及应用；难点：弦长公式的计算、能从问题情境中分析、转化为弦长问题，最值问题的处理.四、教学过程分析（一）教学流程设计环节一、知识回顾 呈现直线与圆的弦长求法，并明确本节研究内容.环节二、例题辩析 明确直线与椭圆的弦长的求法及弦长公式的推导过程，并强调应用.环节三、提高应用 在学生思考、交流及教师点拨的基础上，强调从问题情境中分析出弦长应用并解决问题.环节四、归纳小结 学生的
4、反思总结，突出对本节内容复习掌握情况，并归纳问题及方法.环节五、作业布置 基于课堂复习内容，设计加以巩固，主要突出有关弦长问题的应用，加深对本节课内容以及学习方法的认识与体会.（二）教学过程设计一知识回顾1直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法:运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形,计算弦长AB=2r2-d2.(2)代数法: 直线l与圆有两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2)，解出两交点，用两点间的距离公式AB=(x1-x2)2+(y1-y2)22直线被椭圆截得的弦长的求法?(完成下面问题)二例题辩析例1 已知椭圆E:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2，过F2的直线
5、l与E交于A，B两点.问：当直线l的倾斜角为3时，求弦长AB.解：由消去得：，解得，或代入直线得：，所以师：用两点间的距离公式AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2求弦长，有不同的想法吗？变式1：当弦长AB=165时，求直线l的方程.分析 直线过已知一点，还差斜率，只要求出斜率即可；用待定系数法设直线方程，直线的点斜式要注意没有包括直线垂直于轴，需要对直线的斜率分类.A、B两点坐标不易求出，就要推导出弦长公式，A、B两点坐标设而不求，它是通过韦达定理进行表示，这是与问题一的最大区别，这是本题关键.解：当直线的斜率存在时，设直线的方程为由消去得：由题设知：需设，则解得:当直线的斜率不存在时，不
6、合题意舍去综上：直线的方程为： 总结反思 解决直线与椭圆相交时弦长问题：（1）联立直线与椭圆方程,解方程组求出两个交点坐标,代入两点间的距离公式求解;(2)弦长公式法:根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程,利用根与系数的关系得到两根之和,两根之积的代数式,然后整体代入弦长公式进行求解.设斜率为k(k0)的直线l与椭圆C的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=1+k2x1-x2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2或AB=1+1k2y1-y2=(1+1k2)(y1+y2)2-4y1y2.当直线的斜率不存在时, AB=y1-y2.设计意图：弦长公式的推导；初步
7、使用韦达定理，让学生理解韦达定理引入的作用，通过设而不求，对交点A、B的应用；利用直线或椭圆方程，对相互转化；利用韦达定理前，需有两交点，则（这是今后学生易漏的点）；学会直线方程的设法一：联立方程消，则用点斜式，此形式直线没有包括直线斜率不存在这种，故要讨论斜率存在与不存在（这是今后学生易漏的点）.师:有了弦长求法，在问题中能判断出有弦长问题，就要突出学会用弦长解决了。试一试：（1）例1 已知椭圆E:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2，过F2的直线l与E交于A，B两点.变式2：求弦长AB的最小值.分析 考虑直线斜率存在和不存在，用斜率表示出弦长是关键，得出弦长关于斜率的函数，通过函
8、数可求得最值.当直线的斜率存在时，当时，且当直线的斜率不存在时，综上：当时，当直线垂直于轴时， (2)已知椭圆x24+y2b2=10bb0)的离心率为12，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为23.（1）求a,b的值；（得出椭圆:x24+y23=1）（2）当过点P6,0的动直线l与椭圆C交于不同的点A,B时，在线段AB上取点Q，使得APBQ=AQBP，问：点Q是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.分析： 点Q是否总在某条定直线上，考虑点Q的轨迹，需要设点Q坐标；条件APBQ=AQBP的转化：AP距离的表示（由两点间距离公式计算，类似弦长公式表示）解：
9、设直线的方程为由消去得：则，所以设，则由APBQ=AQBP得： 小结：直线上的两点距离，都可以类似弦长公式，用两点的横坐标或纵坐标及直线的斜率表示，进而解题。设计意图：对弦长公式应用的进一步拓展，理解弦长的表示、应用.四归纳小结师：本节你有什么收获？（1） 弦长公式直线上的两点距离（可以类似用弦长公式）（2） 在问题情境中分析出弦长问题并能解决（3） 最值的处理（下节重点复习内容）五作业布置12018北京卷改编 已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,焦距为22.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.(1)求椭圆M的方程;(2)若k=1,求|AB|的最大值.2 2019潍坊三模 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆经过点P(6,-1),且PF1F2的面积为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设斜率为1的直线l与以原点为圆心,半径为2的圆交于A,B两点,与椭圆C交于C,D两点,且|CD|=|AB|(R),当取得最小值时,求直线l的方程.3已知椭圆E:x2t+y23=1的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为k （k 0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.（1）当t=4，AM=AN时，求AMN的面积；（2）当2AM=AN时，求k的取值范围.六板书设计七课后反思4