多元向量值函数积分课件.ppt-淘文阁

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1、第八章第八章多元向量值函数积分多元向量值函数积分1-1 第二型曲线积分与向量场的环流量第二型曲线积分与向量场的环流量第一节第一节第二型曲线积分第二型曲线积分1-2 第二型曲线积分的计算法第二型曲线积分的计算法 2 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/241-1 第二型曲线积分与向量场的环流量第二型曲线积分与向量场的环流量一、变力沿曲线所作的功一、变力沿曲线所作的功1.分割分割将有向曲线将有向曲线L任意分成任意分成n小弧段小弧段（2.近似代替近似代替（3.求和求和3 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/244.取极限

2、取极限所作的功所作的功二、第二型曲线积分二、第二型曲线积分定义定义8.3.1（上任取上任取和式和式4 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24为空间向量场为空间向量场,5 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24则则（所以所以其中其中P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)称为被积函数称为被积函数,L称为积分路径称为积分路径.6 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24说明说明:7 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24三、第二型曲线积分

3、的性质三、第二型曲线积分的性质性质性质1.性质性质2.8 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24四、两型曲线积分的关系四、两型曲线积分的关系若若L为空间有向曲线为空间有向曲线,则则9 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24于是于是即即若若L为平面有向曲线为平面有向曲线,则则例例110 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24解解(1)直线上指定方向的切向量直线上指定方向的切向量单位化得方向余弦单位化得方向余弦所以所以(2)圆弧上指定方向的切向量圆弧上指定方向的切向量所以所以11 高高

4、等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24五、向量场的环流量五、向量场的环流量称为向量场称为向量场12 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/241-2 第二型曲线积分的计算第二型曲线积分的计算设自身不相交的有向光滑的空间曲线设自身不相交的有向光滑的空间曲线L的的参数方程为参数方程为13 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24又又根据两型曲线积分的关系和第一型曲线积根据两型曲线积分的关系和第一型曲线积分的计算公式得分的计算公式得注意注意:第二型曲线积分化为定积分时第二型曲线积分化为定积分时,

5、下限下限下限不一定小于上限下限不一定小于上限,这是与第一型曲线积这是与第一型曲线积分的区别分的区别.14 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24对于平面有向曲线对于平面有向曲线L15 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/2416 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例2解解 L的参数方程的参数方程17 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例3解解另解另解曲线曲线L由原点分成两部分由原点分成两部分,即即18 高高等等数数学学第第八八章章第

6、第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例4的曲线的曲线L为为解解(1)L:若用参数方程若用参数方程L19 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24(2)(3)此题表明积分与路径有关此题表明积分与路径有关.20 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例5解解21 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例5解解表明该积分与路径无关表明该积分与路径无关.22 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例6解解得截面圆在得截面圆在xoy面的投

7、影为面的投影为椭圆椭圆参数方程为参数方程为则则23 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24即即所以所以24 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24建立空间曲线参数方程的一般方法：建立空间曲线参数方程的一般方法：25 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24 第八章第八章1-3 格林格林(Green)公式公式第一节第一节第二型曲线积分第二型曲线积分26 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24一、格林一、格林(Green)公式公式定理定理8.1.

8、1(格林公式格林公式)部分始终在其左侧部分始终在其左侧,此方向称为此方向称为L的正向的正向.27 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24证证如图所示如图所示,不妨设不妨设先证先证设设于是于是28 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24又又所以所以同理可证同理可证故故29 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24特别地特别地,格林公式的应用格林公式的应用则闭曲线则闭曲线L所围成的区域所围成的区域的面积的面积其中闭曲线其中闭曲线L取正方向取正方向.30 高高等等数数学学第第八八章章第

9、第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例1解解由对称性由对称性31 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例2解解令令则则由格林公式由格林公式设边界闭曲线为设边界闭曲线为L取正方向取正方向,另另32 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24注意注意:应用格林公式应满足的条件应用格林公式应满足的条件则则33 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例3解一解一闭曲线闭曲线L分成三条线段分成三条线段34 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2

10、/24解二解二则则由格林公式由格林公式若曲线若曲线L取顺时针方向取顺时针方向,则则35 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24由格林公式由格林公式,所求曲线积分所求曲线积分36 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例4解解由于由于37 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例5解解由于由于补充补充由格林公式由格林公式38 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24否则否则,39 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1

11、1 2 2/24其中其中:特别地特别地,若若则则即包含奇点的任意闭曲线即包含奇点的任意闭曲线L上的积分转化为上的积分转化为特定闭曲线特定闭曲线l上的积分上的积分.40 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例6解一解一积分曲线积分曲线L的参数方程为的参数方程为所以所以41 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24则则解二解二由于由于L所围区域含奇点所围区域含奇点(0,0),不能用格林公式不能用格林公式.但但L的方程可化简积分得的方程可化简积分得,由格林公式由格林公式42 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1

12、 1 1|1 1 2 2/24解解因为因为由于由于L所围区域含奇点所围区域含奇点(0,0),补充以原点为补充以原点为则则43 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24解解因为因为由于由于L所围区域含奇点所围区域含奇点(0,0),补充以原点为补充以原点为则则44 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24解解因为因为L所围区域不所围区域不则由格林公式得则由格林公式得L所围区域含奇点所围区域含奇点(0,0),含奇点含奇点(0,0),补充圆补充圆l:则则45 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2

13、 2/24解解因为因为当当L所围区域不含奇点所围区域不含奇点(0,0)时时,则由格林公式得则由格林公式得当当L所围区域含奇点所围区域含奇点(0,0)时时,补充圆补充圆l:则则46 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例7解解则则由于偏导数在原点由于偏导数在原点(0,0)不连续不连续,则补充上半圆则补充上半圆取顺时针方向取顺时针方向.根据格林公式根据格林公式,47 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24其中其中48 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24另如图补充另如图补充:49

14、高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24将例将例6,例例7中的积分换为下列积分中的积分换为下列积分50 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24 第八章第八章第一节第一节第二型曲线积分第二型曲线积分1-4 第二型曲线积分与路径无关的条件第二型曲线积分与路径无关的条件 51 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/241-4 第二型曲线积分与路径无关的条件第二型曲线积分与路径无关的条件若若有有只与起点只与起点A,终点终点B有关有关,记作记作52 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1

15、1 1 1|1 1 2 2/24定理定理8.1.2则下列四个命题互相等价则下列四个命题互相等价.(1)在在D内沿任意分段光滑内沿任意分段光滑闭曲线闭曲线L,都有都有(2)在在D内连接内连接A,B两点的任意分段光滑曲线两点的任意分段光滑曲线L,(3)在在D内存在连续可微函数内存在连续可微函数u(x,y),使得使得53 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24证证由由(1)知知所以所以即即54 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24先构造二元函数先构造二元函数则则55 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|

16、1 1 2 2/24取图示路径取图示路径所以所以同理同理56 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24由于由于则则而而又因为又因为故故由格林公式由格林公式57 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24由由则则得得所以所以即得类似于定积分计算的牛顿莱布尼茨公式即得类似于定积分计算的牛顿莱布尼茨公式58 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24问题问题:59 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例1（解解则则在全平面恒成立在全平面恒成立,即积分与路径

17、无关即积分与路径无关.取取:60 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例2解解引力的方向引力的方向所以引力所以引力所作的功所作的功61 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24由于由于即积分与路径无关即积分与路径无关,取取:所作的功为所作的功为62 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例3求原函数求原函数u(x,y).解法一解法一(曲线积分法曲线积分法)则则所以所以63 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24解法二解法二(积分法积分法)

18、由已知得由已知得则则从而从而又又所以所以即即故故64 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24解法三解法三(凑全微分法凑全微分法)所以所以65 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例4解解则则依题意依题意,得得 a=2.66 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例例5解解依题意依题意则则又又67 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24所以所以两边对两边对 t 求导求导即即故故68 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1

19、1 2 2/24 第八章第二节第二型曲面积分2-1 第二型曲面积分与向量场的通量 69 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24一、曲面的侧1.双侧曲面与单侧曲面规定其中一个方向为正方向,2-1 第二型曲面积分与向量场的通量70 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24一般地,所讨论的曲面都是双侧曲面.单侧曲面默比乌斯(Mobius)带.默比乌斯带(单侧曲面的典型)71 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24曲面的侧指定了侧的曲面.2.有向曲面一般地,有向曲面侧的规定:曲面分内侧和外

20、侧曲面分上侧和下侧下侧上侧由曲面上法向量的指向来确定.72 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24曲面分左侧和右侧左侧右侧后侧前侧曲面分前侧和后侧73 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24例所围成闭曲面的外侧,试确定各曲面的侧.解上侧;前侧;下侧;左侧;后侧.右侧;74 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/2475 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24 综上所述,有向曲面在坐标面上的投影有正、负之别,即曲面的上侧投影为正,下侧为负;前侧为正

21、,后侧为负;右侧为正,左侧为负.二、流量问题设有定常不可压缩流体流速为常量的流体单位时间内流过面积为A的平面闭区域的流量76 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24(1)分割(2)近似代替(3)求和(4)取极限77 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24三、第二型曲面积分与向量场的通量定义8.2.1其中作和式78 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24有向曲面微元它是一个向量微元,方向:模:则第二型曲面积分又可表示为79 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|

22、1 1 2 2/2480 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24所以81 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24说明:积分,而将三个积分之和称为组合曲面积分.82 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24四、第二型曲面积分的性质性质1.性质2.简记为性质2可推广到83 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1 1|1 1 2 2/24五、两型曲面积分的关系其向量形式通常不将第二型曲面积分化为第一型曲面积分进行计算.84 高高等等数数学学第第八八章章第第一一节节1 1 1

25、第二节第二型曲面积分第二型曲面积分2-3 高斯公式与散度高斯公式与散度 98 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/36一、问题引入一、问题引入1.多元函数积分的类型多元函数积分的类型(1)重积分：重积分：(2)曲线积分：曲线积分：(3)曲面积分：曲面积分：99 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/362.计算方法计算方法化为化为累次积分累次积分或或定积分定积分应用应用牛顿牛顿-莱布莱布尼兹公式尼兹公式进行计算进行计算.3.计算技巧计算技巧将将一种类型的积分一种类型的积分转化为转化为另一种类型的另一种类型的积分积分进行计算进行计算.例如格林公式：例如

26、格林公式：至少需要化为六个二重积分！至少需要化为六个二重积分！100 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/364.公式特征公式特征(1)积分区域积分区域(区间区间)转化为转化为边界曲线边界曲线(点点)(2)被积函数被积函数转化为转化为原函数原函数101 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/36二、猜想二、猜想需要解决的问题：需要解决的问题：(1)猜想是否符合实际？猜想是否符合实际？(2)猜想中的函数猜想中的函数F(x,y,z)应该如何构造？应该如何构造？102 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/36实际问题模型实际问题模型103 高

27、高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/36104 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/36类似地类似地,可以得到可以得到从而有从而有105 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/36三、高斯三、高斯(Gauss)定理定理定理定理8.2.1106 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/36高斯公式注解高斯公式注解(1)高斯公式的其它表示形式高斯公式的其它表示形式(2)利用高斯公式计算曲面积分利用高斯公式计算曲面积分.107 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/36四、应用举例四、应用举例108 高高等等数

28、数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/36解解任一点任一点M(x,y,z)处的电场强度为处的电场强度为则所求电通量为则所求电通量为109 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/36所以所以这个结果显然是荒谬的这个结果显然是荒谬的.你知道问题出在你知道问题出在什么地方吗什么地方吗?110 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/36小结小结 2.牛牛顿顿-莱莱布布尼尼兹兹公公式式、格格林林公公式式、高高斯斯公公式式在在形形式式上上具具有有高高度度的的一一致致性性和和对对称称性性,体体现了数学科学的美学特征现了数学科学的美学特征.1.数学发现的重要方法

29、：数学发现的重要方法：仔细观察，合理猜想，严格推导，实现创新仔细观察，合理猜想，严格推导，实现创新.111 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/363.进一步猜想进一步猜想斯托克思公式斯托克思公式112 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/36解解例例2 2解法中存在的问题：解法中存在的问题：113 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/36例例2 2的正确解法：的正确解法：114 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/36例例3解解设设则则115 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/36例例4解

30、解由高斯公式得由高斯公式得116 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/36所求曲面积分所求曲面积分117 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/36例例5解解设设则则118 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/36例例6 计算曲面积分计算曲面积分119 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/36解解取左侧取左侧,设设则则120 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/36所求积分所求积分121 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/36例例7 计算曲面积分计算曲面积分解解则则同理同理

31、所以所以122 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/36直接应用高斯公式直接应用高斯公式.化简被积函数化简被积函数,从而所求积分变形为从而所求积分变形为此时积分满足定理条件此时积分满足定理条件,由高斯公式得由高斯公式得123 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/36(2)由于椭球面不能简化被积函数由于椭球面不能简化被积函数,为此作为此作一个半径足够小的球面一个半径足够小的球面124 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/36此例可知此例可知:125 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/36五、曲面积分与曲面无关的条件

32、五、曲面积分与曲面无关的条件定理定理8.2.2的充要条件是的充要条件是在在G内恒成立内恒成立.定理表明定理表明:当当非闭曲面积非闭曲面积分仅取决于张成它的边界曲线分仅取决于张成它的边界曲线.与曲面形状与曲面形状无关无关.126 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/36例例8 计算曲面积分计算曲面积分解解则则故所求曲面积分与曲面无关故所求曲面积分与曲面无关.所以所以127 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/36六、向量场的散度六、向量场的散度1.散度的定义散度的定义128 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/36定义定义8.2.212

33、9 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/362.散度的计算公式散度的计算公式130 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/36则由散度的定义则由散度的定义(积分中值定理积分中值定理)(高斯公式高斯公式)131 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/36或表示为或表示为高斯公式可表示为高斯公式可表示为例例9解解132 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|3 3/36又又所以所以故故133 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|4 4/21 第八章第八章2-4 斯托克斯（斯托克斯（Stokes）公式与旋度）公式与旋度第

34、二节第二节第二型曲线积分第二型曲线积分134 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|4 4/21一、斯托克斯一、斯托克斯(Stokes)公式公式定理定理8.2.3(斯托克斯公式斯托克斯公式)斯托克斯公式揭示了空间闭曲线斯托克斯公式揭示了空间闭曲线L上的上的第二型曲线积分与以闭曲线第二型曲线积分与以闭曲线L为边界曲线所为边界曲线所张的曲面张的曲面上的第二型曲面积分的关系上的第二型曲面积分的关系.135 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|4 4/21证证取上侧取上侧,单位化单位化136 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|4 4/21(格林公式格林公式)13

35、7 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|4 4/21同理可证同理可证三式相加三式相加可见格林公式是斯托克斯公式的特殊情形可见格林公式是斯托克斯公式的特殊情形.138 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|4 4/21斯托克斯公式可表示为斯托克斯公式可表示为向量表达式为向量表达式为139 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|4 4/21例例1解一解一取上侧取上侧,则其单位法向量则其单位法向量即即由斯托克斯公式由斯托克斯公式140 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|4 4/21解二解二曲线曲线L的参数方程的参数方程141 高高等等数数学学第第八八章

36、章第第二二节节2 2|4 4/21例例2解解如图所示如图所示,142 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|4 4/21即即由斯托克斯公式由斯托克斯公式143 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|4 4/21例例3解一解一即即144 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|4 4/21由斯托克斯公式由斯托克斯公式解二解二曲线曲线L的参数方程的参数方程145 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|4 4/21*二、空间曲线积分与路径无关的条件二、空间曲线积分与路径无关的条件定理定理8.2.4则下列四个命题互相等价则下列四个命题互相等价.146 高高等等数

37、数学学第第八八章章第第二二节节2 2|4 4/21147 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|4 4/21例例4解解则则所以积分与路径无关所以积分与路径无关.取图示路径取图示路径148 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|4 4/21三、向量场的旋度三、向量场的旋度1、环流量面密度、环流量面密度定义定义8.2.2149 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|4 4/21记为记为即即取得最大值取得最大值?150 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|4 4/212、向量场的旋度、向量场的旋度定义定义8.2.3151 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|4 4/21向量场旋度的计算向量场旋度的计算则环流量面密度则环流量面密度(斯托克斯公式斯托克斯公式)可见可见:152 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|4 4/21或或所以环流量面密度可表示为所以环流量面密度可表示为斯托克斯公式可表示为斯托克斯公式可表示为153 高高等等数数学学第第八八章章第第二二节节2 2|4 4/21例例5由力学可知由力学可知,旋度由此而得名旋度由此而得名.即即

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