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1、第四节第四节 多元复合函数求导法则多元复合函数求导法则一一 链式法则链式法则二二 全微分形式不变性全微分形式不变性1 复合函数的中间变量为一元函数的情形定理 1 如果函数及都在点 可导,函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数在对应点 可导,且其导数可用下列公式计算:证获得增量获得增量设设则则一、链式法则由于函数由于函数在点在点有连续偏导数有连续偏导数当当时时,当当时,时,上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为全导数全导数全导数全导数.2 复合函数的中间变量为多元函数的情形定理2 ,如果及及都在点具有对
2、 和 的偏导数且函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数在对应点的两个偏导数存在,且可用下列公式计算链式法则如图示 类似地再推广,设、都在点具有对 和 的偏导数,复合函数在对应点两个偏导数存在,且可用下列公式计算即令令,),(yxyxfzf f=把复合函数中的y看作不变而对x的偏导数把),(yxufz=中的u及y看作不变而对x的偏导数两者的区别两者的区别区别类似特殊地其中解例 1 设,而,求 和和.例 2 设tuvzsin+=,而,而teu=,tvcos=,求全导数dtdz.解解令记同理有 例 3 设,具有二阶 连续偏导数,求和.于是二、全微分形式不变性 设函数设函数具有连续偏导数,则有全微分具有连续偏导数,则有全微分;当当时,有时,有.全微分形式不变形的实质:无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数,它的全微分形式是一样的.解例4 已知已知,求,求 和和.