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1、专题08 数列中的最值问题【压轴综述】纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n项和与第n项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合探求数列中的最值问题，是数列不等式的综合应用问题的命题形式之一.本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.1.常见思路一：构建函数模型，利用函数的图象和性质解决最值问题；2.常见思路二：构建函数模型，应用导数研究函数的最值；3.常见思路三：构建不等式求解，确定范围，实现求最值；4.常见思路四：应用基本不等式，确定最值【压轴典例】例1.(2020北京
2、高考T8)在等差数列an中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2an(n=1,2,),则数列Tn()A.有最大项,有最小项 B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项 D.无最大项,无最小项【解析】选B.设公差为d,因为a1=-9,a5=a1+4d=-1,所以d=2,所以a1,a50,所以T10,T30,T50)，则p-1m取最小值时，数列 an的通项公式为( )Aan=43n-1Ban=34m-1Can=2n+1Dan=4n【答案】A【解析】设等比数列an的公比为q，当n=1时，a1=pa2+m，则a2=4-mp q=a2a1=4-m4p当n2时，Sn=pan+1+m，Sn-1=pan
3、+m，两式相减得：(1+p)an=pan+1，即q=an+1an=1+pp，1+pp=4-m4p，解得m=-4p，又p-1m=p+14p2p14p=1，当且仅当p=12时，等号成立.p-1m取最小值1时，q=1+1212=3，an=a1qn-1=43n-1例6.(安徽省黄山市2020高三)已知数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn，且an0，6Sn=an2+3an-4(nN*)，bn=1(an-1)(an+1-1)，若对任意的nN* ，kTn恒成立，则k的最小值为 ( )A13B19C112D115【答案】B【解析】因为6Sn=an2+3an-4，所以6Sn+1=an+12+3an+1-4，
4、相减得6an+1=an+12+3an+1-an2-3an，因为an0，所以an+1-an=3，又6S1=a12+3a1-4，所以6a1=a12+3a1-4, 因为a10，所以a1=4,因此an=3n+1，bn=1(an-1)(an+1-1)=19n(n+1)=19(1n-1n+1),从而Tn=191-1n+10.因为ckbkck+1，所以，其中k=1，2，3，m.当k=1时，有q1；当k=2，3，m时，有设f(x)=，则令，得x=e.列表如下：xe(e，+)+0f(x)极大值因为，所以取，当k=1，2，3，4，5时，即，经检验知也成立因此所求m的最大值不小于5若m6，分别取k=3，6，得3q3
5、，且q56，从而q15243，且q15216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5【压轴训练】1(2021陕西西安市西安中学高三)在等差数列中，且，则在中，n 的最大值为( )A17B18C19D20【答案】C【详解】设公差为，则，即，则时，n 的最大值为19.2(2021全国高三专题练习)已知数列an的前n项和为Sn=2n+1+m,且a1，a4，a5-2成等差数列,bn=数列bn的前n项和为Tn,则满足Tn,的最小正整数n的值为A11B10C9D8【答案】B【解析】根据可以求得，所以有，根据成等差数列，可得，从而求得，所以满足，从而求得，所以，所以，令，整理得，解
6、得，故选B.3(2021全国高三其他模拟)已知数列满足设，为数列的前项和若(常数)，则的最小值是( )ABCD【答案】C【详解】 当时，类比写出 ，由-得 ，即.当时， -得，(常数)，的最小值是4(2021安徽安庆市高三)已知等差数列满足，则数列的最大项为( )ABCD【答案】C【详解】因为数列是等差数列，所以，解得，则，因为，当且仅当时等号成立，所以当时，当时，故数列的最大项为，5(2021北京高三开学考试)等差数列的前项和为.已知，.记，则数列的( )A最小项为B最大项为C最小项为D最大项为【答案】C【详解】由题意，设等差数列的公差为，因为，可得，所以，则，可得，所以，可排除A、D；设，
7、则，因为，所以，所以在区间和上都是单调递增函数，即当时，数列为递增数列，当时，数列也为递增数列，其中，例如当时，可得，所以B不正确，C正确.6(2021江西高三其他模拟)在等差数列中，.记，则数列( )A有最大项，有最小项B有最大项，无最小项C无最大项，有最小项D无最大项，无最小项【答案】C【详解】依题意可得公差，所以当时，当时，因为，又当时，且，即，所以当时，数列单调递增，所以数列无最大项，数列有最小项.7(2019北京师大附中高考模拟)已知正项等比数列an满足：a7=a6+2a5，若存在两项am、an，使得aman=16a12，则+的最小值为()ABCD不存在【答案】C【解析】设正项等比数
8、列an的公比为q，且q0，由a7=a6+2a5得：a6q=a6+，化简得，q2-q-2=0，解得q=2或q=-1(舍去)，因为aman=16a12，所以=16a12，则qm+n-2=16，解得m+n=6，所以 .当且仅当时取等号，此时，解得，因为mn取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则，验证可得，当m=2、n=4时，取最小值为，8.(2020山东枣庄八中高三)已知数列的前n项和为，且，则使不等式成立的n的最大值为()A3B4C5D6【答案】B【解析】根据题意，数列满足，当时，得，当时，即，所以， 又满足上式，即 是以2为公比，1为首项的等比数列，则，则，则数列是以1为首项，4为公比的等比数
9、列，则，若，则有，变形可得：，又由，则，即n的最大值为4；9(2021安徽高三开学考试)已知是各项均不为零的等差数列的前项和，且，使不等式成立，则实数的最大值是_.【答案】【详解】因为，所以就是，.等差数列的首项，公差.因为一般项，所以原式.即.所以存在，使成立，又易知为递减数列，故当时，有最大值，故.故实数的最大值是.10.(2020江苏高考模拟)已知正项等比数列的前项和为若，则取得最小值时，的值为_【答案】【解析】由，得：q1，所以，化简得：，即，即，得，化简得，当，即时，取得最小值，所以11.(2020广东高考模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，若S4=10，S8=36，当nN*时，
10、的最大值为_【答案】【解析】由题意，等差数列的前n项和为，若，设首项为，公差为，则 ，解得，所以，所以，则，当取最小值时，取最大值，结合函数的单调性，可得当或时，12.(2019福建高考模拟(理)在数列中，若，则的前项和取得最大值时的值为_【答案】【解析】解法一：因为所以，得即，所以数列为等差数列在中，取，得即，又，则，所以因此，所以，所以， 又，所以时，取得最大值解法二：由，得，令，则，则，即，代入得，取，得，解得，又，则，故所以，于是由，得，解得或，又因为，所以时，取得最大值13(2021山东菏泽市高三期末)已知数列的前项和是.(1)求数列的通项公式；(2)记，设的前项和是，求使得的最小正
11、整数【答案】(1)；(2)1011.【详解】(1)，当时，符合上式，所以(2)，令，解得，所以最小正整数为1011.14(2021广东韶关市高三一模)已知数列的前项和为，若()，且的最大值为25.(1)求的值及通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)，()；(2).【详解】(1)由题可得，所以当为偶数时，解得；当为奇数时，此时无整数解.综上可得：，.时，.当时，当时也成立.综上可得：所以，()(2)两式相减得：则.则.15(2021江西吉安市高三期末)已知是公差不为0的等差数列，若是等比数列的连续三项(1)求数列的公比；(2)若，数列的前和为且，求的最小值【答案】(1)5；(2)50.【详解】(1)设等差数列的公差为，由是等比数列的连续三项，得，即，化简得 设数列的公比的公比为，则 (2)若，则， 由，得，故的最小值为50